Механика и молекулярная физика. Законы сохранения в механике (90

Введение

Вприроде существует несколько законов сохранения; одни из них считают точными, другие - приближенными. Законы сохранения обычно являются следствием симметрии пространства и времени.

Вмеханике же существует три закона сохранения, относящиеся к движению и взаимодействию материальных тел: закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса и закон сохранения энергии. Мы рассматриваем эти законы в нерелятивистской области, в

которой справедливы преобразования Галилея. Все три закона согласуются с принципом относительности Галилея.

Законы сохранения не зависят от траектории движения и характера действующих сил. Они могут быть использованы и в тех случаях,

когда силы неизвестны, так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.

Законы сохранения оказывают существенную помощь при решении практических задач: они применяются последовательно друг за другом. Только после этого, если в задаче ничего не упущено,

переходят к решению дифференциальных уравнений движения.

Импульс тела. Закон сохранения импульса

Простые наблюдения и опыты доказывают, что покой и движение относительны, скорость тела зависит от выбора системы отсчета; по второму закону Ньютона независимо от того, находилось ли тело в покое или двигалось, изменение скорости его движения может происходить только под действием силы, т. е. в результате взаимодействия с другими телами. Однако существуют величины, которые могут сохраняться при взаимодействии тел. Такими величинами являются полная энергия и импульс.

3

За единицу импульса в СИ принят импульс тела массой 1 кг, движущегося поступательно со скоростью 1 м/с. Единицей импульса является килограмм-метр в секунду (кг*м/с).

Выясним, как изменяются импульсы двух тел при их взаимодействии.Обозначим скорости тел массами m1 и m2 до

взаимодействия через υ1 и υ2 , а после взаимодействия — через υ1' и

υ2' .

По третьему закону Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по

направлению; поэтому их можно обозначить F и - F .

Для изменений импульсов тел при их взаимодействии на основании равенства (1) можно записать

Ft = m1υ1' − m2υ1

− Ft = m1υ'2 − m2υ2 ,

где t — время взаимодействия тел. Из этих выражений получаем

m1υ1 + m2υ2 = m1υ1' + m2υ'2 .

Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел

— от планет и звезд до атомов и элементарных частиц — показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.

Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.

5

Взамкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Этот фундаментальный закон природы называется законом

сохранения импульса.

Другая формулировка: в замкнутой физической системе геометрическая сумма импульсов тел до взаимодействия равна геометрической сумме импульсов этих тел после взаимодействия.

Вслучае незамкнутой системы импульс тел системы не сохраняется. Однако, если в системе существует направление, по

которому внешние силы не действуют или их действие скомпенсировано, то сохраняется проекция импульса на это направление. Кроме того, если время взаимодействия мало (выстрел, взрыв, удар), то за это время даже в случае незамкнутой системы

внешние силы незначительно изменяют импульсы взаимодействующих тел. Поэтому для практических расчетов в этом

случае тоже можно применять закон сохранения импульса

.

Энергия. Закон сохранения энергии

Энергия — универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую,

электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в

других — переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной

последним телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F (F), то работа этой силы равна скалярному произведению силы

F на перемещение точки приложения силы s (s):

A = F s = Fs, или A = Fs cosα , где α - угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

Вобщем случае, когда сила может изменяться как по модулю, так

ипо направлению, выше приведенной формулой пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения — прямолинейным.

Элементарной работой силы F на перемещении ds называется

скалярная величина

где α − угол между векторами F и dr, ds = | dr| - элементарный путь; FS - проекция вектора F на вектор dr (см.рис.1).

Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

22

A = ∫Fds cosα = ∫Fs ds

11

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы Fs

от пути s вдоль траектории 1-2. Пусть эта

зависимость представлена графически (см.рис.2), тогда искомая работа А

определяется на графике площадью закрашенной фигуры. Если например,

7

Рис. 2

тело движется прямолинейно сила F = const и α = const, то получим

2 2

A = ∫Fds cosα = F cosα ∫ds = Fs cosα ,

1 1

где s — пройденный телом путь.

Из формулы следует, что при α < π /2 работа силы положительна, в этом случае составляющая Fs совпадает по направлению с вектором скорости движения v. Если α > π / 2, то работа силы отрицательна. При α = π /2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н-м).

Кинетическая энергия при поступательном движении тела

Если тело некоторой массы m двигалось под действием

приложенных сил, и его скорость изменилась от υ1 до υ2 , то силы

совершили определенную работу A.

Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы F. В этом случае вектора силы F, перемещения s, скорости υ и ускорения a направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F, s, υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs. При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой

Отсюда следует, что

8

движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Быстрота вращения характе-ризуется вектором угловой скорости

ω , направленной вдоль оси вращения.

Величина угловой скорости определяется отношением угла поворота тела ко времени, за которое произошел этот поворот:

Единицей измерения угловой скорости является рад/с.

Пусть за малый промежуток времени dt материальная точка

повернулась относительно оси вращения на малый угол dϕ (рис.3).

перемещение dr можно считать равным произведению радиуса вращения r на угол поворота dϕ, т.е. dr = rdϕ .

Отсюда

υ = r dϕ = rω . dt

10