Механика и молекулярная физика. Законы сохранения в механике (90

В векторном виде связь линейной скорости υ и угловой ω можно представить с помощью векторного произведения

υ = ω×r ,

υ = ω rsin(ω,r) .

При вращении вокруг неподвижной оси угол между векторами ω

и r равен π2 , следовательно υ = ω r .

Чтобы рассчитать кинетическую энергию вращательного движения твердого тела, мысленно его разобьем на n материальных точек с массами m1, m2,...,mn, находящихся на расстояниях r1, r2,...,rn от оси вращения. Так как тело абсолютно твердое, угловые скорости всех его точек одинаковы и равны

Линейные скорости точек будут разные υ1 = ω r1 , υ1 = ω r2 и т.д.

Кинетическая энергия вращающегося тела Ек.вр равна

11

n

где ∑miri2 =J – момент инерции тела, относительно оси

i=1

вращения.

Единицей измерения момента инерции является кг·м2.

Работа внешних сил при вращении тела идет на увеличение его

кинетической энергии. dA=dЕк.вр, следовательно работу можно пред-

ставить как разность кинетических энергий конечного и начального

положений

Если тело катится без скольжения, то оно одновременно участвует

в двух движениях: поступательном и вращательном, и его кинетичес-

кая энергия равна

Е = m2υ2 + Jω2 2 .

Потенциальная энергия тела

В физике наряду с кинетической энергией или энергией движения важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел.

Потенциальная энергия — механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела. Такие силы называются консервативными.

12

где M – масса Земли, G – гравитационная постоянная.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

A = −(Ep 2 − Ep1 )

Знак и величина потенциальной энергии Eр зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от выбора начала отсчета. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение Eр = Eр2 – E р1 при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Потенциальная энергия деформированной пружины

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для силы

упругости. Эта сила также обладает свойством консервативности.

Сила упругости совершает работу, которая зависит только от

удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально

пружина была недеформирована.

Эта работа силы упругости равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком:

2

Aупр = −А = − kx2 ,

где k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии.

Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

2

Ep = kx2

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

14

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.

Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

Закон сохранения механической энергии

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему, взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:

Следовательно

Ek 2 − Ek1 = −(Ep 2 − Ep1)

Ek1 + Ep1 = Ek 2 + Ep 2

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона.

15

Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией.

Таким образом, получаем, что полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, остается постоянной.

При переходе из одного состояния в другое могут меняться кинетическая и потенциальная энергии, взятые в отдельности, но их сумма остается постоянной.

Следует всегда помнить, что закон сохранения механической

энергии замкнутой системы только тогда имеет место, когда силы,

действующие в системе, являются консервативными.

При наличии неконсервативных сил, например, сил трения, сумма кинетической и потенциальной энергии системы не будет оставаться постоянной.

Рассмотрим незамкнутую систему и допустим, что среди внутренних сил имеются силы трения. При этом ограничимся учетом только механических явлений. Разобьем все силы, действующие на материальные точки, на три группы:

1)силы консервативные внутренние,

2)силы трения (внутренние неконсервативные),

3)внешние. вызванные воздействием со стороны тел, не входящих

всистему.

Тогда равенства (2) и (3) разобьются на соответственные части:

Ек2 − Ек1 = Авнутр.консерв + Атр + Авнешн ,

Ер1 − Ер2 = Авнутр.консерв. .

16

Из этих равенств получаем:

(Ек2 + Ер2 ) − (Ек1 + Ер1) = Авнешн. + Атр.

или:

Е2 − Е1 = Авнеш + Авнутр

Значит, изменение полной механической энергии системы равно сумме работ внешних сил и сил трения.

Заметим, что работа сил трения всегда отрицательна. Поэтому сила трения всегда обуславливает уменьшение полной механической энергии системы.

Лабораторная работа 107

ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ ПРИ ПОМОЩИ

БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: определить скорость полета пули баллистическим

методом.

Принадлежности: 1) баллистический маятник; 2) духовое ружье; 3)

шкала с ползунком отсчета максимального смещения; 4) три пули.

Настоящая работа представляет собой один из примеров практического использования закона сохранения импульса при неупругом ударе для определения скорости полета пули при помощи баллистического маятника.

17

Теория метода

Баллистический маятник массой М подвешен на четырех длинных нитях (бифилярный подвес). В него стреляют в горизонтальном направлении пулей, масса которой m, а скорость V. Общая масса системы М+m приобретает скорость u, и маятник отклоняется на некоторый угол φ и высоту подъема h. Если время τ соударения пули с маятником мало по сравнению с периодом его колебания Т, то систему пуля-маятник можно считать замкнутой и применять закон сохранения

где mV – количество движения до удара и (M+m)u – после удара. Возможность использования закона сохранения количества движения связана в данном случае с тем, что размеры маятника малы по сравнению с длиной нити подвеса, т.е. данный маятник можно рассматривать как математический. В общем случае, когда маятник имеет произвольную форму, для решения задачи следует пользоваться законом сохранения момента количества движения.

Если М и m известны, а скорость u определена на опыте, то скорость пули V может быть найдена из соотношения (1). После удара маятник повернется вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса, и его центр тяжести поднимется на высоту h. Закон сохранения механической энергии после удара запишется в этом случае в виде:

18

Величину h можно найти из измерений отклонения маятника от положения равновесия, если длина

нитей l, на которых подвешен маятник,

задана.

Из рис следует:

где φ – угол отклонения маятника от положения равновесия,

который может быть вычислен из соотношения

Здесь х – смещение по шкале отсчета в горизонтальном направлении, R – расстояние от шкалы до точки

подвеса, т.е. R = l + a.

Тогда из формул (1), (2) и (3) при малых углах отклонения φ получим окончательное выражение для расчета скорости полета пули:

19

Измерение и обработка полученных результатов

Значения всех величин, входящих в формулу (5), кроме смещения

х, известны:

М = (1160 ± 1) г, m = (0,555 ± 0,0055) г, g = (981 ± 0,5)

см/с2

l = (195 ± 1) см, R = (205 ±1) см

1. Для определения х установить тело маятника в горизонтальном положении. Шкалу с ползунком отсчета максимального смещения подставить под маятник так, чтобы стрелка на цилиндре касалась ползунка, и отметить его начальное положение.

Зарядить духовое ружье, произвести выстрел и записать деление шкалы, против которого остановился ползунок вследствие отклонения маятника. Разность между двумя последовательными положениями ползунка после выстрела и до него даст нам величину горизонтального смещения маятника х.

2. По результатам трех выстрелов определить среднее арифметическое значение смещения:

(n – число измерений, xi – результат отдельного измерения) и

по формуле (5) рассчитать среднюю скорость полета пули.

20