Математика (110

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Определитель матрицы А =

отличен от нуля:

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

638.6 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

б) Система уравнений в матричном виде имеет вид:

1 2			3	x1	5	, т.е.	А X В ,
						, т.е.	А X В ,
	3	2	5	x2	2
	2	1	2		7
	2	1	2	x3	7

тогда Х А 1 B .

20, следовательно, для матрицы А существует обратная матрица А 1 .

Вычислим алгебраические дополнения к элементам

матрицы А:
А 1 2 4 5 9 ,													А 1 3		4 3 7 ,
11													21
А 1 3		( 6 10) 16,											А 1 4		( 2 6) 8 ,
12													22
А 1 4 (3 4) 1,													А 1 5			1 4 3,
13													23
			А 1 4						10 6				4 ,
				31
			А 1 5 (5 9) 4 ,
				32	1 6 (2 6) 4 .
			А		1 6 (2 6) 4 .
			33
Обратная матрица для матрицы											А имеет вид:
									9		7		4
				A 1		1			16		8		4	.

						20
						20			1		3		4
									1		3		4
Итак,
x1		1	9 7	4		5			1		45 14 28				1		3
		1							1						1
x2			16 8 4			2						80 16 28					92
x2		20	16 8 4			2			20			80 16 28			20		92
		20	1 3	4		7			20			5 6 28			20		27
x3			1 3	4		7						5 6 28					27
3 / 20

	92 / 20		.
	27 / 20
	27 / 20
Решение системы:					3	;	92	;		27		.
Решение системы:						;		;				.
					20		20			20
							11

4.2. Решить матричное уравнение:	3		2	1		2
4.2. Решить матричное уравнение:	Х						.
		5	4		5	6
		5	4		5	6

Решение.

Обозначим матрицы:

3		2		1		2
А			, В				.
	5	4			5	6
	5	4			5	6

Определитель матрицы А отличен от нуля: 2 , следовательно, для матрицы А существует обратная матрица А 1 .

Умножим обе части матричного уравнения на А 1 справа, получим:

ХА А 1 В А 1 ,

ХЕ В А 1 ,

Х В А 1 .

Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

А11 1 2 4 4 ,	А12 1 3 5 5 ,
А21 1 3 2 2 ,	А22 1 4 3 3 .

Обратная матрица для матрицы А имеет вид:

			А 1		1	4				2
											.
											.
					2		5
					2		5			3
Запишем решение уравнения:
			1	2				1			4		2
			Х
			Х
								2			5		3
			5	6				2			5		3
	1	1 4 2 5		1 2 2 3								1	6


	2		5 4 6 5									2		10
	2		5 4 6 5	5 2 6 3								2		10
				3		2
			Х						.

				5		4

4.3. Решить систему уравнений методом Гаусса:

4	3		2

8		5	4

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к ступенчатому виду с помощью эквивалентных преобразований:

	3 2		1			1 1				1		0		1 1		1	0
	3 2		1	5		1 1				1		0		1 1		1	0
			1			~ 3 2						5 ~ 0			1		5 ~
1		1	1	0		~ 3 2				1		5 ~ 0			1	4	5 ~
	4	1	5	3					1						5
	4	1	5	3		4			1	5	3			0	5	9	3
						4								0			3
							1		1	1			0
					~		0	1		4		5 ~
							0		5	9			3
							0		5	9			3

	1	1	1			1	1	1	0
				0
~	0	1	4	5	~	0	1	4	5 .
	0	0	11	22
						0	0	1	2

По числу ненулевых строк ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы (r = 3). По теореме Кронекера-Капелли система совместна и имеет единственное решение, так как число неизвестных в системе тоже равно трем.

Система уравнений примет вид:

				x1	x2	x3	0
					x2	4x3	5 .
					x2	4x3	5 .
						x3	2
						x3	2
Подставляя			вместо		х3 его значение во второе уравнение,
найдем	х2 3 ,		затем из первого уравнения при					х3 2	и х2 3
найдем х1 1.
Итак, (-1; 3; 2) – решение системы.
4.4. Найти общее решение системы:
х1		2х2		4х3	0
		х2		5х3	0 ;
a) 2х1		х2		5х3	0 ;
	х	х		х	0
	1		2	3

2х1		4х2		5х3		0
б)	х1	2х2		3х3		0	.

3х		х	2	2х	3	0
	1

Решение.

а) Запишем матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду, последовательно умножая первую строку на (–2) и на (–1), затем прибавляя ее ко второй и третьей строке. Из двух одинаковых строк оставляем одну. Из первого уравнения

исключим неизвестную х2 :

1	2	4		1 2			4	1		2	4
			~
2	1	5			0	3	3	~				~
									0	3	3
	1	1			0	3	3
1

число неизвестных в системе равно 3, следовательно система имеет бесчисленное множество ненулевых решений.

Выберем базисными переменными х1 и х2 , так как базисный

минор 1 0 0 , свободная переменная будет одна – х3 .Выразим

0 1

базисные переменные через свободную, получим общее решение системы:

х1	2х3	0	,
	х2 х3	0

Пусть х3 t , тогда

x1x2x3

	х	2х
	1	3 .
х2		х3

общее решение системы имеет вид:

t	, или	2t,	t, t .
t
	14

б) Определитель системы
		4	5
	2	4	5
	1	2	3	11 0,
	3	1	2

поэтому система имеет единственное нулевое (тривиальное) решение: x1 x2 x3 0 .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задание 1.

Даны векторы a, b, c . Необходимо: а) вычислить смешанное

произведение трех векторов; б) найти площадь параллелограмма, построенного на векторах; в) вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеарными или ортогональными два вектора; д) проверить, будут ли компланарны три вектора.

1.1.

a 2i

3 j k ,

c 5i

2 j 3k ;

а) a, 3

, c ; б) 3a, 2c ; в) b , 4c ; г) a , c ; д) a, 2b , 3c .

1.2.

a 3i

2 j 7k

c 3i

21k ;

а) 5a, 2b , c ; б) 4b , 2c ; в) a , c ; г)

, c ; д) 2a, 3b , c .

1.3.

a 2i

c 3i

;

а) a, 2b , 3c ; б) 3a, 7b ;

в) c , 2a ; г) a , c ; д) 3a, 2

, 3c .

1.4.

a 7i

c i

;

в) 2a , 7c ; г)

а) a, 2b , 7 c ; б) 4

, 3c ;

, c ; д) 2a, 4b , 3c .

и c j 5k ;

1.5.

a 4i

k ,

а) a, 6

, 3c ; б) 2

, a ; в) a , 4c ; г) a,

; д) a, 6

, 3c .

1.6.

a 3i

c 3i 2

k ;

а) a, 3b , 2c ; б) 5a, 3c ;

в) 2a, 4

; г) a , c ; д) 5a, 4b , 3c .

1.7.

a 4i

2i 3 j 5k

c 7i

;

а) 7a, 4b , 2c ; б) 3a, 5c ;

в) 2b , 4c ; г) b , c ; д) 7a, 2b , 5c .

1.8.

a 4i 2 j 3k

b 2i k и

а)

2a, 3

, c ; б) 4a, 3

; в)

, 4c ; г) a , c ;

1.9.

a i 5k

b 3i

2 j 2k

а)

3a, 4

, 2c ; б) 7a , 3c ; в) 2

, 3a ; г)

c 12i 6 j 9k ;

д) 2a, 3b , 4c .

и c 2i 4 j k ; c ; д) 7a, 2b , 3c .

1.10. a 6i 4 j 6k , b 9i 6 j 9k и c i 8k ;

а) 2a, 4b , 3c ; б) 3b , 9c ; в) 3a , 5c ; г) a, b ; д) 3a, 4b , 9c .

1.11. a 5i 3 j 4k , b 2i 4 j 2k и c 3i 5 j 7k ;

а) a, 4b , 2c ; б) 2b , 4c ; в) 3a , 6c ; г) b , c ; д) a, 2b , 6c .

1.12. a 4i 3 j 7k , b 4i 6 j 6k и c 6i 9 j 3k ;

а) 2a, b , 2c ; б) 4b , 7c ; в) 5a, 3b ; г) b , c ; д) 2a, 4b , 7c .

1.13. a 5i 2 j 2k , b 7i 5k и c 2i 3 j 2k ;

а) 2a, 4b , 5c ; б) 3b , 11c ; в) 8a , 6c ; г) a , c ; д) 8a, 3b , 11c .

1.14. a 4i 6 j 2k , b 2i 3 j 1k и c i 5 j 3k ;

а) 5a, 7b , 2c ;б) 4b , 11a ; в) 3a , 7c ; г) a, b ; д) 3a, 7b , 2c .

1.15.

a 4i

2 j 3k ,

b 3

c 6i

6 j 4k ;

а) 5a,

, 3c ; б) 7a, 4c ; в) 3a, 9

; г) a , c ; д) 3a, 9b , 4c .

1.16.

a 3i

3 j 2k

c 8i

12 j 8k ;

а) 4a, 6b , 5c ; б) 7a, 9c ; в) 3b , 8c ; г) b , c ; д) 4a, 6b , 9c .

1.17. a 2i 4 j 2k , b 9i 2k и c 3i 5 j 7k ;

а) 7a, 5b , c ; б) 5a, 4b ; в) 3b , 8c ; г) a , c ; д) 7a, 5b , c .

1.18. a 9i 3 j k , b 3i 15 j 21k и c i 5 j 7k ;

а) 2a, 7b , 3c ; б) 6a, 4c ; в) 5b , 7a ; г) b , c ; д) 2a, 7b , 4c .

1.19. a 2i 4 j 3k , b 5i j 2k и c 7i 4 j k ;

а) a, 6b , 2c ; б) 8b , 5c ; в) 9a , 7c ; г) a, b ; д) a, 6b , 5c .

1.20. a 9i 4 j 5k , b i 2 j 4k и c 5i 10 j 20k ;

а) 2a, 7b , 5c ; б) 6b , 7c ; в) 9a, 4c ; г) b , c ; д) 2a, 7b , 4c .

1.21. a 2i 7 j 5k , b i 2 j 6k и c 3i 2 j 4k ;

а) 3a, 6b , c ; б) 5b , 3c ; в) 7a, 4b ; г) b , c ; д) 7a, 4b , 3c .

1.22. a 7i 4 j 5k , b i 11 j 3k и c 5i 5 j 3k ;

а) 3a, 7b , 2c ; б) 2b , 6c ; в) 4a, 5c ; г) a , c ; д) 4a, 2b , 6c .

1.23. a 4i 6 j 2k , b 2i 3 j k и c 3i 5 j 7k ;

а) 6a, 3b , 8c ; б) 7b , 6a ; в) 5a , 4c ; г) a, b ; д) 5a, 3b , 4c .

1.24. a 3i j 2k , b i 5 j 4k и c 6i 2 j 4k ;

а) 4a, 7b , 2c ; б) 6a , 4c ; в) 2a, 5b ; г) a , c ; д) 6a, 7b , 2c .

1.25. a 3i j 5k , b 2i 4 j 8k и c 3i 7 j k ;

а) 2a, b , 3c ; б) 9a , 4c ; в) 5b , 4c ; г) b , c ; д) 2a, 5b , 6c .

1.26.

a 3i

2 j 7k ,

b i 5k

c 6i 4 j k ;

а) 2a,

, 7c ; б) 5a , 2c ; в) 3

, c ; г) a , c ; д) 2a, 3

, 7c .

1.27.

a 3i j 5k

4 j 6k

c i 2 j 3k

;

а) 3a, 4b , 5c ; б) 6b , 3c ; в) a, 4c ; г) b , c ; д) 3a, 4b , 5c .

1.28. a 4i 5 j 4k , b 5i j и c 2i 4 j 3k ;

а) a, 7b , 2c ; б) 5a, 4b ; в) 8c , 3a ; г) a , c ; д) 3a, 4b , 8c .

1.29. a 9i 4k , b 2i 4 j 6k и c 3i 6 j 9k ;

а) 3a, 5b , 4c ; б) 6b , 2c ; в) 2a , 8c ; г) b , c ; д) 3a, 6b , 4c .

1.30. a 5i 6 j 4k , b 4i 8 j 7k и c 3 j 4k ;

а) 5a, 3b , 4c ;б) 4b , a ; в) 7a , 2c ; г) a, b ; д) 5a, 4b , 2c .

Задание 2.

Даны вершины треугольника.

Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты СН; в) уравнение медианы АМ; г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН; д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB; е) расстояние от точки C до прямой AB.

2.1.А(0;-1), В(12;-10) С(10;4).

2.2.А(2;4), В(14;-5) С(12;9).

2.3.А(3;0), В(15;-9) С(13;5).

2.4.А(-5;6), В(7;-3) С(5;11).

2.5.А(-8;5), В(4;-4) С(2;10).

2.6.А(-4;-2), В(8;-11) С(6;3).

2.7.А(4;9), В(16;0) С(14;14).

2.8.А(-2;-3), В(0;7) С(8;3).

2.9.А(-4;-1), В(-2;9) С(6;5)

2.10.А(4;1), В(6;11) С(14;7).

2.11.А(-3;-2), В(-1;8) С(7;4).

2.12.А(3;0), В(5;10) С(13;6).

2.13.А(2;-5), В(4;5) С(12;1).

2.14.А(0;3), В(2;13) С(10;9).

2.15.А(-1;5), В(1;15) С(9;11)

2.16.А(5;4), В(7;14) С(15;10).

2.17.А(2;3), В(14;-8) С(12;8).

2.18.А(3;5), В(15;-6) С(13;10).

2.19.А(0;-2), В(13;-11) С(11;5).

2.20.А(-4;2), В(10;-9) С(8;7).

2.21.А(-2;4), В(12;-7) С(10;9).

2.22.А(-2;4), В(3;1) С(10;7).

2.23.А(-3;-2,) В(14;4) С(6;8).

2.24.А(1;7), В(-3;-1) С(11;-3).

2.25.А(1;0), В(-1;4) С(9;5).

2.26.А(1;-2), В(7;1) С(3;7).

2.27.А(-2;-3), В(1;6) С(6;1).

2.28.А(-4;2), В(-6;6) С(6;2).

2.29.А(4;-3), В(7;3) С(1;10).

2.30.А(4;-4), В(8;2) С(3;8).

Задание 3.

Составить

канонические

уравнения:

а)

эллипса;

б) гиперболы; в) параболы.

(А,

–

точки,

лежащие

на

кривой,

–

фокус,

–

действительная

полуось,

–

мнимая

полуось,

– эксцентриситет,

y kx –

уравнения

асимптот

гиперболы,

D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).

2 );

3.1. а) А(–5, 0), ε

21 /5; б) А(

80 ,

3),

В(4

6 ,

в) D: y = 1.

3.2. а) 2а

= 22, ε

57 11;

б)

2/3, 2с

13 ;

в) ось симметрии Ox и A(27, 9).

3.3.

а)

15 ,

10 25 ;

б)

3/4,

2а

16;

в) ось симметрии Ox и А(4, –8).

3.4.а) а = 4, F(3, 0); б) b = 2 10 , F(-11, 0); в) D: x = – 2.

3.5.а) b = 4, F(9, 0); б) а = 5 ε = 7/5; в) D: x = 6.

3.6. а) A(0, 3 ), B( 143, 1); б) k = 2110 , ε = 11/10; в) D: y = – 4.

3.7. а) ε = 7/8, А(8, 0); б) А(3, – 35 ), B( 135 , 6);

в) D: y = 4.

3.8. а) 2а = 24, ε = 226; б) k = 23 , 2с = 10;

в) ось симметрии Ox и А(–7, –7).

3.9. а) b = 2, ε = 52929 ; б) k = 12/13, 2а = 26;

в) ось симметрии Ox и А(–5, 15).

3.10.а) а = 6, F(– 4, 0); б) b = 3, F(7, 0); в) D: x = –7.

3.11.а) b = 7, F(5, 0); б) а = 11, ε = 12/11; в) D: x = 10.

3.12. а) А(– 173 , 1/3), В( 212 , 1/2); б) k = 1/2, ε = 52 ; в) D: y = – 1.


3.13. а) ε = 3/5, А(0, 8);	б) А( 6 , 0), В(-	2 , 1); в) D: y = 9.
3.14. а) 2а = 22, ε	= 10/11; б) k	=		5, 2с = 12;
			11

в) ось симметрии Ox и А(–7, 5).

3.15.а) b = 5, ε = 12/13; б) k = 1/3, 2a = 6; в) ось симметрии Oy

иА(–9, 6).

3.16.а) а = 9, F(7, 0); б) b = 6, F(12, 0); в) D: x = – 1/4.

3.17.а) b = 5, F(–10, 0); б) а = 9, ε = 4/3; в) D: x = 12.

3.18.а) b = 15, F(–10, 0); б) а = 13, ε = 14/13; в) D: x = – 4.

3.19.а) b = 2, F(4 2 , 0); б) а = 7, ε = 85 /7; в) D: x = 5.

3.20.а) А(3, 0), В(2, 53); б) k = 3/4, ε = 5/4; в) D: y = – 2.

3.21. а) А(0,

–2), В(

15 2 ,

1); б)

= 2

10 /9,

= 11/9;

в) D: y = 5.

3.22. а) ε = 2/3, А(-6, 0); б) А(

8 , 0), В(

20 /3, 2); в) D: y = 1.

3.23. а) 2а

= 50, ε

= 3/5; б)

14 ,

2с

= 30;

в) ось симметрии Oy и А(4, 1).

3.24. а) b = 2 15 , ε = 7/8; б) k = 5/6, 2a = 12; в) ось симметрии Oy и А(–2, 3 2 ).

3.25.а) а = 13, F(–5, 0); б) b = 44, F(–7, 0); в) D: x = –3/8.

3.26.а) b = 7, F(13, 0); б) b = 4, F(–11, 0); в) D: x = 13.

3.27. а) А(-3,

0),

В(1,

40 3 );

б)

2 / 3 , ε

15 3 ;

в) D: y = 4.

3.28.

а)

5/6,

А(0, – 11 );

б)

А(

32 / 3 , 1),

В(

8 ,

0);

в) D: y = – 3.

3.29. а) 2а

30, ε

17/15;

б)

17 / 8 ,

2с

18;

в) ось симметрии Oy и А(4, –10).

3.30.

а) b

2 ,

= 7/9;

б)

12;

2 ,

в) ось симметрии Oy и А(–45, 15).

Задание 4.

4.1. Найти решение системы уравнений методом Крамера

методом обратной матрицы:

2х1

х2

3х3

4.1.1.

х1

3х2

х3

2х

3х1

2х2

4х3

4.1.2.

4х2

2х3

3х1

2х

8х1

3х2

6х3

4.1.3.

х2

х3

х1

4х

3х

4х1

х2

3х3

4.1.4.

х1

х2

х3

8х

3х

6х

4.1.5.

2х1

3х2

4х3

5х2

7х1

4х

11х

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022261.96 Кб8Маркс К.. Манифест Коммунистической партии (Пер. М.Бакунина).pdf
#
15.11.2022385.84 Кб3Масалов В.В.. Влияние глицината цинка на продуктивность и антиоксидантную защиту кур.pdf
#
15.11.2022653.7 Кб6Массаж (90..pdf
#
15.11.2022555.1 Кб2Массовая неприязнь к милиции (66..pdf
#
15.11.2022308.71 Кб16Мастерство концертмейстера в классе оркестровых инструментов Учебно-методическое пособие..pdf
#
15.11.2022638.6 Кб2Математика (110..pdf
#
15.11.2022762.14 Кб3Математика (90..pdf
#
15.11.2022975.01 Кб8Математика. Функции одной переменной. Пределы. Дифференцирование (110.pdf
#
15.11.2022670.87 Кб5Математика. Ч. III. Теория вероятностей. Тема III. Дискретная случайная величина (110.pdf
#
15.11.2022300.86 Кб20Математическая логика и теория алгоритмов (120..pdf
#
15.11.20221.04 Mб12Математическая логика и теория алгоритмов (90..pdf