Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы оптимальных решений. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей (110

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

589.25 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

оптимальная по критерию Лапласа стратегия 2, выигрыш 1,75; оптимальная по критерию Сэвиджа стратегия 2, наибольший риск 1.

Решение типового примера задания №5

Требуется найти графо-аналитическим методом решение игры задан-

2			11	2	7
2		3	11		5
ной матрицей а)				и б) 3	5	.
	7	5	2
	7	5	2
				11	2

Решение. Если матричная игра не имеет седловой точки, её решение находят в смешанных стратегиях. При этом смешанной стратегией игрока

	n
называют всякий вектор Х=(х1, х2 ,…, хn), для которого хi	0; xi 1 и n –
	i 1

число теперь называемых чистыми стратегий игрока. Компоненты смешан-

ных стратегий с содержательной точки зрения есть вероятности с которыми игрок принимает соответствующую чистую стратегию или, если это возмож-

но, части в которых следует смешать чистые стратегии. По основной теореме теории матричных игр каждая игра имеет решение в смешанных стратегиях.

	a	a
Для матричных игр формата 2 2	11	12	оптимальное
Для матричных игр формата 2 2	с матрицей А=		оптимальное
	a21	a22


решение Х*=(р, 1-р) и					У=(q, 1-q*)						находится по формулам:
p*		a22 a21					;	q*				a22 a12							.
p*	a a a		21	a	22		;	q*		a a a					21	a		22	.
11		12	21		22			11				12			21			22
При этом цена игры (выигрыш игрока 1в ситуации равновесия) равен:
								v	a11a22 a12a21								.
								v	a a			a	21	a		22	.
								11			12		21			22
а) Построим на промежутке [0;1] отрезки прямых:
					v=2p+7(1-p)							(1)
						v=3p+5(1-p)						(2)
						v=11p+2(1-p)						(3),
задающих выигрыш v игрока 1, при											условии, что игрок 2 примет чистую

стратегию соответственно 1, 2 и 3. Затем построим нижнюю огибающую и

найдём её наивысшую точку М (см. рис.2). Так как точка М получилась на

пересечении прямых (2) и (3), то, исходя из матрицы													3	11				, найдём для неё
пересечении прямых (2) и (3), то, исходя из матрицы																		, найдём для неё
															2
													5		2
решение							по			указанным	формулам:	v	3 2 5 11							49 4,45 ;
решение							по			указанным	формулам:	v	3 2 5 11							49 4,45 ;
													3 2 5 11							11
p*	2 5					3		;
p*	11				11			;
	11				11
q*	2 11					9								3			8
q*									. Оптимальная стратегия игрока			1: Х*=				,			, а игрока 2 -
		11				11								11 11
			9		2
У*=		0,		,				, так как его чистая стратегия 1 не входила в решение.
У*=		0,		,				, так как его чистая стратегия 1 не входила в решение.
			11 11

13
12
11						11
10
9
8
7	7
6
5	5
4
3						3
2	2					2
1
0
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2
		Рис.2
	б) для игры, заданной матрицей

2		7
	3	5	, построим на промежутке [0;1]

		2
11

отрезки прямых:
v=2q+7(1-q)	(1)
v=3q+5(1-q)	(2)
v=11q+2(1-q)	(3),

задающих выигрыш v игрока 1, при условии, что он примет чистую стратегию соответственно 1, 2 и 3. Затем построим верхнюю огибающую и найдём её низшую точку N (см. рис.3). Так как точка N получилась на пересечении

	2	7
прямых (1) и (3), то, исходя из матрицы			, найдём для неё решение по
прямых (1) и (3), то, исходя из матрицы			, найдём для неё решение по
	11	2
22

указанным формулам: v				2 2 7	11	73	5,21;	p*			2 11						9	;
указанным формулам: v				2 2 7		14	5,21;	p*					14					;
				2 2 7	11	14							14				14
q*	2 7	5						9				5
q*			. Оптимальная стратегия			игрока 1: Х*=			,0,						,	так как его
	14	14						14				14
										5					9
чистая стратегия 2 не входила в решение, а игрока 2 - У*=														,		.
чистая стратегия 2 не входила в решение, а игрока 2 - У*=														,		.
										14					14

13
12
11						11
10
9
8
7	7
6
5	5
4
3						3
2	2					2
1
0
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2

									Рис.3
														3			8
		Ответ:								а) цена	игры v=4,45; оптимальное решение: Х*=				,			,
		Ответ:								а) цена	игры v=4,45; оптимальное решение: Х*=				,			,
													11 11
			9				2
У*=	0,					,			.
У*=	0,					,			.
			11 11
											9						5
		б)					цена			игры	v=4,21; оптимальное решение: Х*=			,0,				,
		б)					цена			игры	v=4,21; оптимальное решение: Х*=			,0,				,
												14				14
	5					9
У*=				,				.
У*=				,				.
	14				14

В контрольной работе в каждом варианте присутствует либо задание а) либо б).

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Задание №1

Решите задачи линейного программирования графическим методом:

L 2x1		3x2 max
2x1 x2							2
x 3x				9
	1		2
					24
4x1 3x2					24


						0
x1 0, x2						0
L 2x1		3x2 max
6x1		x2					3
5x 9x							45
	1				2
	x1 3x2					3
	x1 3x2					3
	х1 5
	х1 5

	x1 0, x2						0
	x1 0, x2						0
L 5x1		5x2 max
2x1 x2							2
	x1 3x2						9
	x1 3x2						9
	x1 x2			3
	x1 x2			3
	x1	4
	x1	4

							0
x1 0, x2							0

L x1 x2 min

2x1 3x2 05x1 9x2 455x1 4x2 20

	x1 6


	x1 0, x2	0

L 5x1 3x2

min

4x1

x1 x2

3x2 6

2x1

x1 4

x1 0, x2

L 2x1

3x2 max

3x1 2x2 4

x1 2x2

0, x2

L x1 2x2

max

3x1 2x2 4

x1 2x2

x1 x2

x1 0, x2

L 2x1 4x2

min

3x1 2x2 6

x1 5x2 5

x1 x2 4

0, x2 0

L x1 2x2 max				L 2x1 2x2 max
3x1 2x2 6				2x1 x2 2
	x x		0	x 2x			7
	1	2			1	2
	x1 x2 8				3x2 18
9.	x1 x2 8			10. x1	3x2 18
	x2 3				x1 6
	x2 3				x1 6

	x1 0, x2 0				0, x2 0
	x1 0, x2 0			x1	0, x2 0

Задание №2

Решите задачу линейного программирования симплекс-методом:

11. L =7х1 + 5х2 → max			12. L = х1 – х2→ min
2х1	3х2	19	х1		3х2			12
	х2
2х1		13			х2
			3х1					6
3х1		18	3х	1	4х	2	0
	3х2	15

xj ≥ 0 (j = 1, 2,)

13. L =х1 + 2х2+х3 → max

2х1	х2	х3	2
	х2	5х3
2х1				6
	х2	х3		6
4х1

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3)

15. L =2х1 + х2+2х3 +3х4 → max

3х1		х3	х4	6
	х2	х3	х4		2

	х2	х3			5
х1

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4)

xj ≥ 0 (j = 1, 2, )

14. L =-3х1 + х2 -4 → min

х1		2х2	2
		х2
2х1			0
	х1	3х2	6

xj ≥ 0 (j = 1, 2,)

16. L = х2 – х1→ min

2х1		х2	2
	х1	2х2	2

	х1	х2	5

xj ≥ 0 (j = 1, 2,)

17. L = 3х1 - х3 → max

18. L = 2х3 – х4→ min

х1	х2	х4	5
	2х2 х3			4

	2х3			8

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4)

19. L =2х1 + 3х2+2х3+х4 → max

2х1		2х2	3х3	х4	6
	х1	х2	2х3	х4		2

	х1	х2	2х3			5

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4)

	х2		3х4		5
х1	2х2	х3		8

		2х3	х5		10

xj ≥ 0 (j = 1, 2, 3, 4, 5)

20.L = -х1 – х2→ min

х1		х2	1
	х1	2х2	2

xj ≥ 0 (j = 1, 2,)

Задание №3

На трех базах А1, А2, А3 находится однородный груз в количестве a1, a2 , a3 т. Этот груз необходимо развезти пяти потребителям В1, В2, В3, В4, В5,

потребности которых в данном грузе составляют в1, в2, в3, в4, в5 т соответственно. Матрица тарифов и значения а1, а2, а3 и в1, в2, в3, в4, в5 приведены в таблице. Требуется спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

21.

		В1	В2	В3	В4	В5	Запасы (аi)
	А1	7	9	15	4	18	200
	А2	13	25	8	15	5	250
	А3	5	11	6	20	12	250
	Потребности (вj)	80	260	100	140	120	700
22.
		В1	В2	В3	В4	В5	Запасы (аi)
	А1	19	8	14	5	9	150
	А1						150
	А2	6	10	5	25	11	200
	А2						200
	А3	7	13	8	12	14	150
	А3						150
	Потребности (вj)	60	140	100	80	120	500

23.

			В1			В2		В3		В4			В5		Запасы (аi)
	А1	3				10	6		13			8		200
	А1													200
	А2	7				5	11		16			4		300
	А2													300
	А3	12				15	18		9			10		300
	А3													300
	Потребности (вj)	220				120	160		100			200		800
24.
			В1			В2	В3		В4		В5				Запасы (аi)
	А1		15			8	9		11			12		100
	А1													100
	А2		4			10	7		5			8		150
	А2													150
	А3		6			3	4		15			20		250
	А3													250
	Потребности (вj)		100			40	140		60			160		500
25.
			В1			В2		В3		В4			В5		Запасы (аi)
	А1		25			9		12		6			18		300
	А1														300
	А2		4			7		5		11			19		200
	А2														200
	А3		10			15		18		13			8		200
	А3														200
	Потребности (вj)		120			180		100		140			160		700
26.
			В1			В2		В3	В4			В5			Запасы (аi)
	А1		15			8		5	21			15			150
	А1														150
	А2		4			12		7	8			10			200
	А2														200
	А3		11			20		13	4			5			200
	А3														200
	Потребности (вj)		100			180		40	120			110			550
27.
					В1	В2		В3		В4			В5		Запасы (аi)
	А1				20	22		9	6			13		100
	А1													100
	А2				5	13		7	4			10		180
	А2													180
	А3				30	18		15	12			8		120
	А3													120
	Потребности (вj)				40	120		60	100			80		400
28.
					В1	В2		В3		В4		В5			Запасы (аi)
	А1			16		7		10		9		14		220
	А1													220
	А2			11		5		3		8		15		180
	А2													180
	А3			9		20		15		11		6		200
	А3													200
	Потребности (вj)			80		140		200		60		120		600
						27

29.

			В1		В2	В3			В4	В5	Запасы (аi)
	А1	5		8			15	20		9	240
	А1										240
	А2	8		7			6	12		14	160
	А2										160
	А3	16		11			19	10		5	200
	А3										200
	Потребности (вj)	180		40			160	120		100	600
30.
			В1		В2		В3		В4	В5	Запасы (аi)
	А1		7		6		4		3	6	100
	А1										100
	А2		8		5		15		9	10	200
	А2										200
	А3		4		6		3		5	2	300
	А3										300
	Потребности (вj)		110		200		80		90	120	600

Задание №4

Фирма может выставить на рынок т видов товара. Рынок может нахо-

диться в п состояниях, в зависимости от которых доходы фирмы в денежных единицах представлены матрицей размерности m n.

Требуется составить модель матричной игры и найти а) нижнюю цену игры и все максиминные стратегии игрока 1;

б) верхнюю цену игры и все минимаксные стратегии игрок 2;

в) цену игры и седловые точки, если они существуют;

г) рассматривая её как игру с природой, найти оптимальные стратегии игрока 1 по критериям Вальда, Гурвица (полагая коэффициент пессимизма

= 0,2 и =0,5), Сэвиджа и Лапласа.

	1			2 3		1		4		1 2				3	4 7
		2		1 0 3				5			3	2		5	3	0
31.		2		1 0 3				5	32.		3	2		5	3	0
31.		4		2	1 2			0	32.		7	4		2	1 2
		4		2	1 2			0			7	4		2	1 2

		3		1 2		1		0			3	5	1		2
		3		1 2		1		0			3	5	1		2	1
				2			4					2	1	1	1	4
			1	2		3	4
33.			2	1		0	3		34.			4	2	5	2	3
33.			2	1		0	3		34.			3	0	3	0	2
			2	1	3		0					3	0	3	0	2
			2	1	3		0					3	1	4	1	2
												3	1	4	1	2

	2	1	1 3		3		1		2	3	4	1
	6	2	4	3	4			2	3	1	2	2
35.						36.
	2	1	3	2				4	5	3	1	4
					1

	3	1	4	2	0			1	4	2	1	3

				1 2				3 4				1			1			3 1			2 5

37.				2		3		5	1 1					38.		2		3	1 4 5
37.			2			1	3 5					2		38.		0 4 0
			2			1	3 5					2				0 4 0					2 1

				3		2		1 0								2		4	1 3 5
				3		2		1 0				1				2		4	1 3 5
	3					1		5 4							1			1		2 3
					3													5
39.			2		3			7	3					40.		4		5		3	7	.
			2			1		3 2								2		1		3 4
			2			1		3 2								2		1		3 4
														Задание №5
			Требуется найти решение матричных игр графо-аналитическим мето-
дом:
41.	2 4 0								42.			1 2 4			43.			2 3		1 5
41.									42.						43.
												4 2 1
	1 0					4						4 2 1						4 1 6 0
	2			4						4 3 1						1 2 5
44.		4		0					45.	4 3 1				46.		1 2 5
44.		4		0					45.					46.

		0		8							2 5 7					7 5 4
		0		8
	8			1						10			1			1		8
	8			1												1		8
47.			5	3				48.			6		2	49.			4	4
47.			5	3				48.			3		4	49.			4	4
			4	6							3		4				5	0
			4	6							2		6				5	0
											2		6
	0			3		4	7
50.
50.								.
	9			6		3	2

СОДЕРЖАНИЕ

Общие методические указания…………………………………………………..3

1.Линейное программирование………………………………………………….4

Решение типового примера задания №1……………………………………...4 Решение типового примера задания №2……………………………………...7 Решение типового примера задания №3…………………………………….10

2.Теория игр……………………………………………………………………..16 Решение типового примера задания №4……………………………………16

Решение типового примера задания №5……………………………………21

Задания к контрольной работе…………………………………………………24

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]