Методы оптимальных решений. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей (110

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей

аграрного университета

Саратов 2012

УДК 519.6 ББК 22.161(я73)

Методы оптимальных решений. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей / Сост. Н.Б. Уейская, Саратов: ФГБОУ ВПО СГАУ им. Н.И.Вавилова, 2012. – 30 с.

Настоящие методические указания разработаны для студентов-заочников экономических специальностей сельскохозяйственных вузов.

Методические указания содержат общие рекомендации по изучению данного курса, программные вопросы по темам курса, список рекомендуемой литературы, контрольные задания, а также образцы их решения, снабжённые необходимыми теоретическими сведениями.

2

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Заочная форма обучения предполагает самостоятельную работу студента над учебным материалом: изучение учебной литературы, выполнение контрольных заданий. В случае возникновения затруднений студент может обратиться за консультацией к преподавателю кафедры «Математика, моделирование и информатика».

В соответствии с действующим учебным планом студент должен выполнить контрольную работу и сдать зачёт.

При выполнении контрольных работ студент обязан руководствоваться следующими требованиями:

1.Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку, на титульном листе которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, специальность, номер группы и дата её отсылки, домашний адрес студента.

2.Перед решением каждой задачи необходимо полностью переписать её условие.

3.Решение задачи следует записывать аккуратно в соответствии с порядком решения соответствующей типовой задачи, приведённой в данных методических указаниях.

4.На каждой странице тетради необходимо оставлять поля 3-4 см для замечаний преподавателя.

5.В случае незачёта по контрольной работе студент обязан в кратчайший срок исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочёты и предъявить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

6.Номер варианта контрольной работы должен совпадать с последней цифрой учебного шифра студента (номер студенческого билета).

Номера задач к контрольной работе

1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Программные вопросы

1. Основная задача линейного программирования. Теорема об опти-

мальном плане.

2.Графический метод решения задач линейного программирования.

3.Симплекс-метод решения задач линейного программирования в ка-

нонической форме.

3. Транспортная задача и её решение методом потенциалов.

Литература:

1.Бось, В.Ю., Иоанно, А.Д., Н.Б. Уейская Экономико-математические методы: учебное пособие / В.Ю. Бось, А.Д. Иоанно, Н.Б. Уейская. ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ». - Саратов. 2009.- 188с.

2.Экономико-математические методы и модели: учебное пособие /Под ред. С.И. Макарова. – М.: КНОРУС, 2009. – 240с.

Решение типового примера задания №1

Требуется решить задачу линейного программирования графическим

методом:

L 3x1 2x2 max

Решение. Построим сначала область допустимых решений, которая представляет собой множество решений системы линейных ограничений.

Графически решение каждого неравенства есть одна из полуплоско-

4

стей, на которые прямая линия ax +by =c делит координатную плоскость.

Решением системы неравенств будет выпуклый многоугольник, представля-

ющий собой пересечение полуплоскостей – решений каждого неравенства.

Пронумеруем каждое неравенство и решим его (см. рис.1.1)

1. x1 x2 2 0

Построим прямую x1 x2 2 0 , для чего найдём координаты двух её точек, например, (0; 2) и (2; 4). Чтобы выбрать полуплоскость-решение для

данного неравенства, подставим в это неравенство координаты любой точки,

не лежащей на построенной прямой, например точки с координатами (0; 0).

Получаем 0 – 0 +2 0. Это верное неравенство. Следовательно, полуплос-

кость, содержащая эту точку, будет являться решением неравенства 1.

Стрелками отметим решение.

2. 3x1 2x2 6 0

Строим прямую 3x1 2x2 6 0 , проходящую через точки с координа-

тами (0;-3) и (2;0). Решением неравенства является полуплоскость, содержа-

n

Рис. 1. Решение задачи линейного программирования.

5

3. 2x1 x2 2 0

Строим прямую 2x1 x2 2 0 , проходящую через точки с координата-

ми (0;2) и (1;0). Затем в неравенство подставляем координаты точки (0;0):

2∙0 + 0 – 2 0. Так как это неравенство неверное, то решением является по-

луплоскость, не содержащая точку с координатами (0;0).

4. x2 3

Прямая, определяемая уравнением x2 3 проходит через точку (0;3)

параллельно оси абсцисс. Полуплоскость, лежащая ниже этой прямой и есть решение данного неравенства.

Два последних неравенства х1 0; х2 0 определяют первый квадрант координатной плоскости.

На рис. 1 многоугольник ABCDE представляет собой область допу-

стимых решений задачи линейного программирования.

Для нахождения оптимального решения построим вектор n (3;2), коор-

динаты которого равны коэффициентам при переменных в целевой функции

L. Этот вектор является нормальным вектором для линий уровня L=const, а

также одну из линий уровня, например, 3х1 2x2 0 . Так, как задача на отыс-

кание максимального значения целевой функции, то линию уровня переме-

щаем в направлении нормали до опорной прямой, то есть такой линии уров-

ня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых реше-

ний и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплос-

достигает максимума Lmax 3 4 2 3 18 .

Ответ: Lmax 18 при Х*= (4;3).

6

Решение типового примера задания №2

Требуется решить задачу линейного программирования симплекс-

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

Решение. При решении используем

Алгоритм симплекс-метода.

1.Составляем математическую модель задачи.

2.Приводим задачу к канонической форме: путём введения новых переменных преобразуем систему ограничений к системе уравне-

ний, а затем приравниваем целевую функцию её свободному члену.

Свободные члены в системе ограничений должны быть неотрица-

тельны.

3.Выделяем базисные переменные в каждом уравнении системы ограничений. Базисная переменная в данном уравнении имеет ко-

эффициент равный единице, а в остальных уравнениях и в целевой функции он равен нулю.

4.Составляем симплексную таблицу: записываем в первом столбце базисные переменные, во втором – свободные члены, а затем ко-

эффициенты при переменных.

5.Получаем опорный план. Все планы получаются одинаково: неба-

зисные переменные равны нулю, а базисные переменные и целевая функция равны свободным членам.

6.Выбираем разрешающий столбец, то есть столбец коэффициентов при переменной, которая на данном шаге вводится в базис. При решении задачи на максимум в строке коэффициентов при пере-

менных целевой функции находим наибольшее по абсолютной ве-

личине отрицательное число; при решении задачи на минимум –

наибольшее положительное число. Если разрешающий

7

столбец найти нельзя, то полученный план – оптимальный.

7.Находим разрешающую строку. При решении задачи на максимум или на минимум она находится одинаково: выбирается наименьшее из отношений свободных членов к положительным коэффициентам разрешающего столбца. Если разрешающую строку найти нельзя,

то задача не имеет решения.

8.Находим разрешающий элемент, стоящий на пересечении разре-

шающего столбца и разрешающей строки.

9.Составляем новую симплексную таблицу, в которую вносим раз-

решающую строку, поделённую на разрешающий элемент. Осталь-

ные строки находим путём получения нулей в разрешающем

столбце с помощью разрешающей строки.

10.Получаем новый план и переходим к пункту 6.

Приведем задачу к канонической форме:

хj ≥ 0 (j=1,2,3,4,5,6)

Целевую функцию приравняем свободному члену:

L – 4х1 – 2х2 = 0 → max

Выберем базисные переменные Б = (х3, х4, х5, х6) и составим первую симплексную таблицу.

Первоначальный, или опорный план данной задачи будет следующий:

Х0 = (0, 0, 5, 14, 10, 8), а значение целевой функции L0 = 0.

Выбираем разрешающий столбец и разрешающую строку. Так как за-

дача на отыскание максимального значения L , то ищем в последней строке таблицы наибольшее по абсолютной величине отрицательное число, это (-4),

следовательно, столбец соответствующий х1 будет разрешающим. Выделим его в таблице.

ответствует первой строке, следовательно, она будет разрешающей. Выделим ее в таблице. Итак, будем вводить в число базисных переменных х1 вместо х3. Получаем Б = (х1, х4, х5, х6)

Разрешающий элемент равен 1, поэтому в новую симплексную таблицу перепишем разрешающую строку без изменения. Ко второй строке прибавим разрешающую, умноженную на (-2). К третьей строке прибавим разрешаю-

щую, умноженную на (-1). В четвертой строке разрешающего столбца стоит

0, поэтому перепишем ее без изменения. К последней строке прибавим раз-

решающую, умноженную на 4. Получили вторую симплексную таблицу и новый план:

Х1 = (5, 0, 0, 4, 5, 8), при этом L1 = 20. Этот план лучше предыду-

щего. Можно ли его улучшить?

В строке для целевой функции есть отрицательное число (- 2), оно со-

ответствует разрешающему столбцу. Для нахождения разрешающей строки

решающей. Следовательно будем вводить в базис х2 вместо переменной х4.

Получаем Б = (х1, х2, х5, х6) и строим следующую симплексную таблицу.

Разрешающий элемент равен 1, поэтому в новую таблицу разрешающую строку переносим без изменения. Нули в разрешающем столбце получаем следующим образом: к третьей и четвертой строкам прибавляем разрешаю-

щую, умноженную на (-1), а к последней прибавляем разрешающую строку,

умноженную на 2. В первой строке разрешающего столбца стоит 0, поэтому переписываем ее без изменения. Получаем третью симплексную таблицу:

Получили новый план Х2 = (5, 4, 0, 0, 1, 4), при этом L2 = 28. Этот план лучше предыдущего. Очевидно, что найденный план оптимальный, так как в последней строке больше нет отрицательных чисел, и, следовательно,

увеличить значение целевой функции невозможно. Максимум целевой функции Lmax = 28 достигается при плане Х2 = (5, 4, 0, 0, 1, 4).

Ответ: Х* = (5, 4, 0, 0, 1, 4), Lmax = 28.

Решение типового примера задания №3

Требуется составить оптимальный план доставки 135 ед. груза oт трех поставщиков, у которых имеется соответственно 55, 65 и 15 ед. груза к трем потребителям. Причем первому из них требуется 35 ед. груза, второму - 60

ед. и третьему - 40 ед. Стоимости перевозки 1 ед. груза (тарифы) приведены в таблице:

10