Методы оптимальных решений. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей (110
.pdfМЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей
аграрного университета
Саратов 2012
УДК 519.6 ББК 22.161(я73)
Методы оптимальных решений. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников экономических специальностей / Сост. Н.Б. Уейская, Саратов: ФГБОУ ВПО СГАУ им. Н.И.Вавилова, 2012. – 30 с.
Настоящие методические указания разработаны для студентов-заочников экономических специальностей сельскохозяйственных вузов.
Методические указания содержат общие рекомендации по изучению данного курса, программные вопросы по темам курса, список рекомендуемой литературы, контрольные задания, а также образцы их решения, снабжённые необходимыми теоретическими сведениями.
2
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Заочная форма обучения предполагает самостоятельную работу студента над учебным материалом: изучение учебной литературы, выполнение контрольных заданий. В случае возникновения затруднений студент может обратиться за консультацией к преподавателю кафедры «Математика, моделирование и информатика».
В соответствии с действующим учебным планом студент должен выполнить контрольную работу и сдать зачёт.
При выполнении контрольных работ студент обязан руководствоваться следующими требованиями:
1.Контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку, на титульном листе которой должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, полный шифр, специальность, номер группы и дата её отсылки, домашний адрес студента.
2.Перед решением каждой задачи необходимо полностью переписать её условие.
3.Решение задачи следует записывать аккуратно в соответствии с порядком решения соответствующей типовой задачи, приведённой в данных методических указаниях.
4.На каждой странице тетради необходимо оставлять поля 3-4 см для замечаний преподавателя.
5.В случае незачёта по контрольной работе студент обязан в кратчайший срок исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочёты и предъявить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.
6.Номер варианта контрольной работы должен совпадать с последней цифрой учебного шифра студента (номер студенческого билета).
Номера задач к контрольной работе
Вариант № |
Задание |
Задание |
|
Задание |
Задание |
Задание |
|
№1 |
№2 |
|
№3 |
№4 |
№5 |
1 |
1 |
11 |
|
21 |
31 |
41 |
2 |
2 |
12 |
|
22 |
32 |
42 |
3 |
3 |
13 |
|
23 |
33 |
43 |
4 |
4 |
14 |
|
24 |
34 |
44 |
5 |
5 |
15 |
|
25 |
35 |
45 |
6 |
6 |
16 |
|
26 |
36 |
46 |
7 |
7 |
17 |
|
27 |
37 |
47 |
8 |
8 |
18 |
|
28 |
38 |
48 |
9 |
9 |
19 |
|
29 |
39 |
49 |
0 |
10 |
20 |
|
30 |
40 |
50 |
Задания для контрольной |
работы помещены на стр. 24 – 29. |
|||||
|
|
|
3 |
|
|
1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Программные вопросы
1. Основная задача линейного программирования. Теорема об опти-
мальном плане.
2.Графический метод решения задач линейного программирования.
3.Симплекс-метод решения задач линейного программирования в ка-
нонической форме.
3. Транспортная задача и её решение методом потенциалов.
Литература:
1.Бось, В.Ю., Иоанно, А.Д., Н.Б. Уейская Экономико-математические методы: учебное пособие / В.Ю. Бось, А.Д. Иоанно, Н.Б. Уейская. ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ». - Саратов. 2009.- 188с.
2.Экономико-математические методы и модели: учебное пособие /Под ред. С.И. Макарова. – М.: КНОРУС, 2009. – 240с.
Решение типового примера задания №1
Требуется решить задачу линейного программирования графическим
методом:
L 3x1 2x2 max
x1 |
x2 2 0 |
|
|
|
2x2 6 0 |
3x1 |
||
|
2x1 |
x2 2 0 |
|
||
|
|
x2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
0, x2 0 |
|
Решение. Построим сначала область допустимых решений, которая представляет собой множество решений системы линейных ограничений.
Графически решение каждого неравенства есть одна из полуплоско-
4
стей, на которые прямая линия ax +by =c делит координатную плоскость.
Решением системы неравенств будет выпуклый многоугольник, представля-
ющий собой пересечение полуплоскостей – решений каждого неравенства.
Пронумеруем каждое неравенство и решим его (см. рис.1.1)
1. x1 x2 2 0
Построим прямую x1 x2 2 0 , для чего найдём координаты двух её точек, например, (0; 2) и (2; 4). Чтобы выбрать полуплоскость-решение для
данного неравенства, подставим в это неравенство координаты любой точки,
не лежащей на построенной прямой, например точки с координатами (0; 0).
Получаем 0 – 0 +2 0. Это верное неравенство. Следовательно, полуплос-
кость, содержащая эту точку, будет являться решением неравенства 1.
Стрелками отметим решение.
2. 3x1 2x2 6 0
Строим прямую 3x1 2x2 6 0 , проходящую через точки с координа-
тами (0;-3) и (2;0). Решением неравенства является полуплоскость, содержа-
щая начало координат (0,0), так как: 3∙0 –2∙ 0 – 6 0 |
- верное неравенство. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
E |
D |
3 |
2 |
Рис. 1. Решение задачи линейного программирования.
5
3. 2x1 x2 2 0
Строим прямую 2x1 x2 2 0 , проходящую через точки с координата-
ми (0;2) и (1;0). Затем в неравенство подставляем координаты точки (0;0):
2∙0 + 0 – 2 0. Так как это неравенство неверное, то решением является по-
луплоскость, не содержащая точку с координатами (0;0).
4. x2 3
Прямая, определяемая уравнением x2 3 проходит через точку (0;3)
параллельно оси абсцисс. Полуплоскость, лежащая ниже этой прямой и есть решение данного неравенства.
Два последних неравенства х1 0; х2 0 определяют первый квадрант координатной плоскости.
На рис. 1 многоугольник ABCDE представляет собой область допу-
стимых решений задачи линейного программирования.
Для нахождения оптимального решения построим вектор n (3;2), коор-
динаты которого равны коэффициентам при переменных в целевой функции
L. Этот вектор является нормальным вектором для линий уровня L=const, а
также одну из линий уровня, например, 3х1 2x2 0 . Так, как задача на отыс-
кание максимального значения целевой функции, то линию уровня переме-
щаем в направлении нормали до опорной прямой, то есть такой линии уров-
ня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых реше-
ний и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплос-
костей. |
Эта |
прямая проходит через точку С пересечения прямых |
|||
3x1 2x2 |
6 0 |
и x2 |
3 , для определения координат точки С решим систему |
||
уравнений |
3х1 2х2 6 0 |
, получаем С(4;3) в этой точке целевая функция |
|||
|
х2 |
3 |
|||
|
|
|
|
достигает максимума Lmax 3 4 2 3 18 .
Ответ: Lmax 18 при Х*= (4;3).
6
Решение типового примера задания №2
Требуется решить задачу линейного программирования симплекс-
методом: |
L = 4x1 + 2x2 |
max |
||
|
x1 |
|
|
5 |
|
|
x2 |
|
14 |
|
2x1 |
|||
|
|
x2 |
|
|
|
x1 |
10 |
||
|
|
x2 |
|
8 |
|
|
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0
Решение. При решении используем
Алгоритм симплекс-метода.
1.Составляем математическую модель задачи.
2.Приводим задачу к канонической форме: путём введения новых переменных преобразуем систему ограничений к системе уравне-
ний, а затем приравниваем целевую функцию её свободному члену.
Свободные члены в системе ограничений должны быть неотрица-
тельны.
3.Выделяем базисные переменные в каждом уравнении системы ограничений. Базисная переменная в данном уравнении имеет ко-
эффициент равный единице, а в остальных уравнениях и в целевой функции он равен нулю.
4.Составляем симплексную таблицу: записываем в первом столбце базисные переменные, во втором – свободные члены, а затем ко-
эффициенты при переменных.
5.Получаем опорный план. Все планы получаются одинаково: неба-
зисные переменные равны нулю, а базисные переменные и целевая функция равны свободным членам.
6.Выбираем разрешающий столбец, то есть столбец коэффициентов при переменной, которая на данном шаге вводится в базис. При решении задачи на максимум в строке коэффициентов при пере-
менных целевой функции находим наибольшее по абсолютной ве-
личине отрицательное число; при решении задачи на минимум –
наибольшее положительное число. Если разрешающий
7
столбец найти нельзя, то полученный план – оптимальный.
7.Находим разрешающую строку. При решении задачи на максимум или на минимум она находится одинаково: выбирается наименьшее из отношений свободных членов к положительным коэффициентам разрешающего столбца. Если разрешающую строку найти нельзя,
то задача не имеет решения.
8.Находим разрешающий элемент, стоящий на пересечении разре-
шающего столбца и разрешающей строки.
9.Составляем новую симплексную таблицу, в которую вносим раз-
решающую строку, поделённую на разрешающий элемент. Осталь-
ные строки находим путём получения нулей в разрешающем
столбце с помощью разрешающей строки.
10.Получаем новый план и переходим к пункту 6.
Приведем задачу к канонической форме:
х1 |
|
х3 |
|
|
5 |
|
|
|
х2 |
х4 |
|
14 |
|
2х1 |
|
|||||
|
х1 |
х2 |
|
х5 |
10 |
|
|
|
|||||
|
|
х2 |
|
х6 |
|
8 |
|
|
|
хj ≥ 0 (j=1,2,3,4,5,6)
Целевую функцию приравняем свободному члену:
L – 4х1 – 2х2 = 0 → max
Выберем базисные переменные Б = (х3, х4, х5, х6) и составим первую симплексную таблицу.
Базисные |
Свободные |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
переменные |
Члены |
|
|
|
|
|
|
х3 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х4 |
14 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
х5 |
10 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
х6 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
L |
0 |
-4 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
Первоначальный, или опорный план данной задачи будет следующий:
Х0 = (0, 0, 5, 14, 10, 8), а значение целевой функции L0 = 0.
Выбираем разрешающий столбец и разрешающую строку. Так как за-
дача на отыскание максимального значения L , то ищем в последней строке таблицы наибольшее по абсолютной величине отрицательное число, это (-4),
следовательно, столбец соответствующий х1 будет разрешающим. Выделим его в таблице.
Для отыскания разрешающей строки найдем |
|
5 |
|
14 |
|
10 |
|
5 , это со- |
||
min |
|
; |
|
|
; |
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
ответствует первой строке, следовательно, она будет разрешающей. Выделим ее в таблице. Итак, будем вводить в число базисных переменных х1 вместо х3. Получаем Б = (х1, х4, х5, х6)
Разрешающий элемент равен 1, поэтому в новую симплексную таблицу перепишем разрешающую строку без изменения. Ко второй строке прибавим разрешающую, умноженную на (-2). К третьей строке прибавим разрешаю-
щую, умноженную на (-1). В четвертой строке разрешающего столбца стоит
0, поэтому перепишем ее без изменения. К последней строке прибавим раз-
решающую, умноженную на 4. Получили вторую симплексную таблицу и новый план:
Базисные |
Свободные |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
Х6 |
переменные |
члены |
|
|
|
|
|
|
х1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х4 |
4 |
0 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
0 |
х5 |
5 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
х6 |
8 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
L |
20 |
0 |
-2 |
4 |
0 |
0 |
0 |
Х1 = (5, 0, 0, 4, 5, 8), при этом L1 = 20. Этот план лучше предыду-
щего. Можно ли его улучшить?
В строке для целевой функции есть отрицательное число (- 2), оно со-
ответствует разрешающему столбцу. Для нахождения разрешающей строки
найдем |
|
4 |
|
5 |
|
8 |
|
4 , это соответ- |
ствует второй строке, она и будет раз- |
min |
|
; |
|
; |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
решающей. Следовательно будем вводить в базис х2 вместо переменной х4.
Получаем Б = (х1, х2, х5, х6) и строим следующую симплексную таблицу.
Разрешающий элемент равен 1, поэтому в новую таблицу разрешающую строку переносим без изменения. Нули в разрешающем столбце получаем следующим образом: к третьей и четвертой строкам прибавляем разрешаю-
щую, умноженную на (-1), а к последней прибавляем разрешающую строку,
умноженную на 2. В первой строке разрешающего столбца стоит 0, поэтому переписываем ее без изменения. Получаем третью симплексную таблицу:
Базисные |
Свободные |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
переменные |
члены |
|
|
|
|
|
|
х1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х2 |
4 |
0 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
0 |
х5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
1 |
0 |
х6 |
4 |
0 |
0 |
2 |
-1 |
0 |
1 |
L |
28 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
Получили новый план Х2 = (5, 4, 0, 0, 1, 4), при этом L2 = 28. Этот план лучше предыдущего. Очевидно, что найденный план оптимальный, так как в последней строке больше нет отрицательных чисел, и, следовательно,
увеличить значение целевой функции невозможно. Максимум целевой функции Lmax = 28 достигается при плане Х2 = (5, 4, 0, 0, 1, 4).
Ответ: Х* = (5, 4, 0, 0, 1, 4), Lmax = 28.
Решение типового примера задания №3
Требуется составить оптимальный план доставки 135 ед. груза oт трех поставщиков, у которых имеется соответственно 55, 65 и 15 ед. груза к трем потребителям. Причем первому из них требуется 35 ед. груза, второму - 60
ед. и третьему - 40 ед. Стоимости перевозки 1 ед. груза (тарифы) приведены в таблице:
10