Методы математической физики. Сборник задач и тестовых заданий (110
.pdfЮ.В. Иванов, В.А. Саранин
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Сборник задач и тестовых заданий
Учебно–методическое пособие
Глазов
2012
УДК 531.0 ББК 22.311
И20
Р е ц е н з е н т ы :
В. А. Саранин, доктор физико-математических наук, профессор (г. Глазов)
А. В. Проказов, кандидат физико-математических наук, доцент (г. Глазов)
Иванов Ю.В., Саранин В.А.
И20 Методы математической физики. Сборник задач и тестовых заданий: Учебно–методическое пособие. – Глазов: ООО «Глазовская типография», 2012. – 24 с.
ISBN 978-5-905538-08-7
Пособие содержит задачи и тестовые задания по основным разделам математической физики. Предназначено для студентов физико-математи- ческих факультетов педагогических вузов.
|
УДК 531.0 |
|
ББК 22.311 |
ISBN 978-5-905538-08-7 |
© Иванов Ю.В., 2012 |
|
© Саранин В.А., 2012 |
2
СОДЕРЖАНИЕ
ЗАДАЧИ ............................................................................................ |
4 |
|
1. |
Элементы математической теории поля ................................... |
4 |
2. |
Классификация уравнений с частными производными вто- |
|
|
рого порядка ................................................................................ |
7 |
3. |
Математические методы решения уравнений .......................... |
8 |
4. |
Применение методов математической физики к решению |
|
|
задач физики ................................................................................ |
11 |
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ................................................................... |
12 |
|
1. |
Элементы математической теории поля ................................... |
12 |
2. |
Классификация уравнений математической физики ............... |
14 |
3. |
Классификация задач математической физики ........................ |
18 |
4. |
Методы решения уравнений математической физики ............ |
20 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................ |
24 |
|
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
||
|
|
1. Элементы математической теории поля |
|
|
|||||||||
|
1.1. Даны векторы |
{ |
|
} и |
{ |
}. Найдите проекции |
|||||||
вектора на направление и вектора на направление . |
|
|
|||||||||||
|
1.2. Даны модули векторов a = 13, b = 19 и | |
| |
. Вычислите |
||||||||||
| |
|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. |
Даны |
векторы |
|
{ |
|
} |
и |
{ |
|
}. |
Вычислите |
|
( |
) ( |
) ( |
) ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|||
|
1.4. Векторы и взаимно перпендикулярны. Зная, что a = 3; b = 4, |
||||||||||||
вычислите |( |
) |
( |
)| и |( |
|
) |
( |
)|. |
|
|
||||
|
1.5. Векторы , |
и удовлетворяют условию |
|
|
. Дока- |
||||||||
жите: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. Вычислите работу силы |
|
{ |
}, |
если под ее действием |
||||||||
совершается перемещение |
{ |
|
} |
|
|
|
|
|
|||||
|
1.7. Даны силы |
{ |
|
} и |
{ |
} |
приложенные к од- |
||||||
ной материальной точке. Определите работу сил при перемещении точки
{ |
} |
|
|
|
|
|
|
|
1.8. Даны два вектора |
{ |
}; |
{ |
|
} Найдите вектор |
|||
при условии, что он перпендикулярен оси |
и |
|
|
|||||
1.9. Сила |
{ |
} приложена к точке |
( |
). Определите |
||||
ее момент относительно начала координат. Сделайте чертеж. |
||||||||
1.10. Сила |
{ |
} приложена к точке |
( |
). Определите |
||||
ее момент относительно точки |
( |
). Сделайте чертеж. |
||||||
1.11. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы |
||||||||
векторы ( |
) и ( |
) были коллинеарны? |
|
|
|
|||
1.12. Сила |
{ |
} приложена к точке |
( |
). Опреде- |
||||
лите величину и направление момента этой силы относительно начала координат.
1.13. Найдите вектор , который перпендикулярен векторам и и удовлетворяет условию: ( ) ; { }
{}
4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
1.14. Вектор перпендикулярен оси |
и вектору |
{ |
} и |
||||||||||||||||||||
образует с осью |
|
|
острый угол. Зная, |
что |
, найдите его коорди- |
||||||||||||||||||||
наты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1.15. Даны точки |
( |
) |
( |
|
) |
( |
|
). Найдите коор- |
|||||||||||||||
динаты векторных произведений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1) |
|
2) ( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1.16. Векторы |
, |
, , |
|
связаны соотношением |
|
|
и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
. Докажите коллинеарность векторов ( |
) и ( |
). |
|||||||||||||||||||
|
|
1.17. Даны векторы |
{ |
|
} и { |
|
|
}. Найдите коор- |
|||||||||||||||||
динаты векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
) ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
) ( |
|
|
) |
( |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1.18. Найдите градиент полей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1) |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и вычислите его значение в точке |
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1.19. Докажите, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1) |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3) |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где |
и |
– скалярные поля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1.20. |
Найдите |
градиент модуля |
радиус-вектора |
(радиус-вектор |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1.21. Найдите производную по направлению: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
№ |
|
|
|
|
Функция |
|
|
|
Направление |
|
|
Вычислить |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
} |
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
} |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
) |
|
|
|
|
|
5
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1.22. Найдите градиент |
, |
– модуль радиус-вектора. |
|
|||||||||
1.23. Найдите градиент произвольной функции модуля радиус- |
||||||||||||
вектора |
( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.24. Найдите градиент функции |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
1.25. Найдите градиент функции |
( |
). |
|
|
||||||||
1.26. Найдите угол между градиентами функций |
и |
в точке |
||||||||||
( |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.27.** Докажите: |
|
( ) |
( |
) |
( ) . |
|
|
|||||
1.28. Найдите уравнение векторных линий полей. Найдите дивер- |
||||||||||||
генцию этих полей и сделайте рисунки. |
|
|
|
|
||||||||
1) |
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
||
2) |
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
||
3) |
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
||
1.29. Какие из следующих векторных полей являются соленоидаль- |
||||||||||||
ными? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
( |
) |
( |
|
) |
( |
) ; |
|
|
|||
2) |
|
|
( |
) |
( |
|
|
|
) ; |
|
|
|
3) |
|
( |
) |
|
( |
|
|
|
|
) . |
|
|
1.30.Найдите дивергенцию радиус-вектора.
1.31.Найдите дивергенции следующих полей:
1) |
; |
|
6) |
( |
) |
; |
|
2) |
; |
|
7) |
|
; |
|
|
3) |
; |
; |
8) |
( |
); |
|
|
4) ( ) ; |
|
9) |
[ |
|
]; |
; |
|
5) ( ) ; |
|
10) ( |
) |
|
|
||
1.32. Найдите поток вектора |
( |
) через поверхность сферы |
|||||
радиуса a. Центр сферы в начале координат.
1.33.Вычислите поток векторного поля ру радиуса R с центром в начале координат.
1.34.Найдите ротор следующих полей:
1) |
|
|
; |
3) ( |
) |
2) ( ) |
|
4) |
( |
||
|
|
|
через сфе- |
).
1.35. Докажите потенциальность следующих полей:
1) ;
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2) |
|
( |
|
|
|
) |
( |
|
) |
; |
||
3) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
( |
|
|
|
) |
|
; |
|
|||
5) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
7) |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( |
) ; |
|
|
|
|
|
|
|||
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
1.36.** Докажите: |
|
|
|
|
||||||||
( )( |
|
) |
|
( |
) |
|
( ) . |
|||||
1.37.* Докажите: |
|
|
|
|
||||||||
1) |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
2) |
|
( |
|
) |
|
|
( |
) |
|
. |
||
1.38. Найдите лапласиан функций:
1);
2);
3) ( ); |
. |
2.Классификация уравнений
счастными производными второго порядка
2.1. Проверьте, является ли функция ( ) ( ), где – произвольная дифференцируемая функция, общим решением уравнения
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.2. Проверьте, является ли функция |
( |
|
) |
( ( ) |
( )), |
||||||||||
где ( ), |
( ) – |
произвольные дважды дифференцируемые функции, |
|||||||||||||
общим решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.3. |
Найдите |
решение |
уравнения |
|
|
, |
удовлетворяющее |
||||||||
условию ( |
)| |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Докажите, что функция ( |
) |
|
( |
) |
( |
) явля- |
|||||||||
ется решением волнового уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7
2.5.Докажите, что уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа.
2.6.Докажите, что уравнение диффузии относится к уравнениям параболического типа.
2.7.Докажите, что уравнение Лапласа относится к уравнениям эллиптического типа.
2.8.Определите тип дифференциального уравнения:
2.9.Определите тип дифференциального уравнения:
3.Математические методы решения уравнений
3.1.В начальный момент времени неограниченной струне придана
форма:
|
|
|
|
|
( ) |
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Начертите профили струны в момент времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Примите |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3.2.* В начальный момент времени участку неограниченной струны |
||||||||||||||||||||||||
придана скорость |
|
|
. Постройте профили струны в моменты |
|||||||||||||||||||||||
времени |
|
|
|
Примите |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
ширину |
|||||||||||
участка с начальной скоростью . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3.3. Найдите |
решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
если |
( |
) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3.4. Найдите |
решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
( |
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3.5. |
Найдите |
форму |
струны, определяемой |
|
уравнением |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
в момент времени |
|
, если ( |
) |
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3.6. |
Найдите |
решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
если |
( |
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3.7. Найдите |
решение |
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
если |
( |
) |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8
3.8. Найдите форму струны, определяемой уравнением |
|
|
|
|
|
в |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
момент времени |
, если ( |
) |
( ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
3.9. Найдите отклонение точек струны |
( |
), если ее концы за- |
|||||||||||
креплены жестко, а начальное отклонение задано равенством |
( |
) |
|
||||||||||
( |
|
|
), при |
. Начертите профили струны в момент времени |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Примите |
|
|
см. |
|
|
|
|||
3.10.* Струна, закрепленная на концах |
и |
, в начальный |
|||||||||||
момент |
|
времени |
имеет форму |
параболы, |
вершина которой |
в |
точке |
||||||
|
|
, а соответствующее максимальное отклонение равно h. Найдите |
|||||||||||
отклонение точек струны в любой момент времени. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.11.* Найдите решение одномерного волнового уравнения для слу- |
|||||||||||||
чая колебаний струны с закрепленными концами |
|
|
|
|
|
если |
|||||||
начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение
имеет форму треугольника с вершиной в точке ( ). |
|
|
3.12. Конец |
полубесконечной струны сечением 1 мм соверша- |
|
ет в поперечном направлении гармоническое колебание вида |
. |
|
Найдите смещение точек струны в любой момент времени, а также скорость распространения волны, если натяжение струны , плотность металла 7,8 г/см3. Начальное смещение и скорость примите рав-
ными нулю. Начертите профиль струны в момент времени |
и , |
||||||
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.13. Найдите закон колебания струны, |
закрепленной |
на концах |
|||||
, если в начальный момент времени всем ее точкам сообщена |
|||||||
скорость |
. Начальное смещение равно нулю. Постройте профиль |
||||||
струны в момент времени |
. Считайте, что основ- |
||||||
ной вклад в |
колебания дает первая гармоника. Примите |
; |
|||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
3.14.** Найдите закон колебаний струны длиной , если в начальный
момент ей была придана форма ( |
) |
( |
). Струна за- |
|
креплена на конце |
, а конец |
свободно колеблется так, что ка- |
||
сательная к нему горизонтальна. Начальная скорость равна нулю. |
||||
3.15.** Конец |
струны |
длиной |
l движется в |
поперечном |
направлении по закону |
( ) |
( |
), а другой конец закреплен. |
|
Найдите отклонения точек струны в любой момент времени.
3.16.* Пусть начальные отклонения точек струны, закрепленной в
точках |
и |
, равны нулю, а начальная скорость выражается |
формулой |
|
|
|
|
9 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
( |
) |
{ |
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определите форму струны для любого момента времени t. |
|
||||||||||||||
3.17.* Решите уравнение |
|
|
|
|
, если начальное распределение |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
температуры стержня |
( |
) |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.18.* |
Найдите |
решение |
|
уравнения |
|
|
|
, |
удовлетворяющее |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
начальному условию |
( |
) |
|
|
и краевому условию |
( ) |
. |
||||||||
3.19.* Концы |
|
и |
|
тонкого стержня погружены в тающий |
|||||||||||
лед. В |
начальный момент времени температура |
стержня |
( ) |
||||||||||||
( |
). Определите распределение температуры в стержне в любой |
||||||||||||||
момент времени. Оцените время охлаждения стержня при условиях, что
а коэффициент температуропроводности |
. |
|
3.20.* Найдите распределение температуры в стержне длиной l на |
||
левом конце |
которого поддерживается температура |
, а на правом |
. В начальный момент времени температура стержня равнялась нулю. Теплообмен через боковую поверхность отсутствует. Определите время, по прошествии которого распределение температуры можно считать стационарным. При расчете использовать данные из задачи 3.19.
3.21.* Один конец стержня теплоизолирован, а другой поддерживается при температуре 0 °С. В начальный момент времени температура стержня во всех точках равнялась T0. Определите температуру точек стержня в любой момент времени. Оцените время остывания, используя данные задачи 3.19.
3.22.* Бесконечно протяженная пластина толщиной 2h остывает, отдавая тепло в окружающую среду по закону Ньютона. Начальная темпе-
ратура |
пластины в поперечном направлении распределена по закону |
|||
( ) |
( |
). Найдите распределение температуры в пластине |
||
в любой момент времени. Считая |
коэффициент теплопровод- |
|||
ности |
|
коэффициент |
температуропроводности |
, |
оцените время остывания пластины.
3.23.* Найдите распределение потенциала и напряженности электрического поля внутри плоского конденсатора, одна из пластин которо-
го поддерживается при потенциале |
, а вторая заземлена. Напряжен- |
||||
ность |
поля |
и |
потенциал |
удовлетворяют |
уравнениям: |
|
|
|
. |
|
|
3.24.* Найдите стационарное распределение температуры поперек пластины толщиной h, если на одной из границ поддерживается темпера-
10