Методы математической физики. Сборник задач и тестовых заданий (110
.pdfтура , а на второй происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Температуру окружающей среды примите равной нулю.
3.25.* Внутри плоской пластины толщиной h действуют однородно распределенные источники тепла постоянной мощности q. На границах пластины происходит теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Найдите стационарное распределение температуры.
3.26.* Верхний торец и боковая поверхность цилиндра высотой h и радиуса a поддерживается при нулевой температуре. На нижнем торце поддерживается температура . Найдите стационарное распределение температуры в цилиндре.
3.27.* Используя формулу Родриго, найдите выражения и постройте графики полиномов Лежандра до 4-го включительно.
4.Применение методов математической физики
крешению задач физики
4.1.** Гравитационные волны на поверхности жидкости z = 0 описываются уравнениями:
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||
где |
потенциал скорости жидкости, |
ускорение свободного паде- |
|||||
ния. Найдите решение для потенциала |
и связь между частотой и дли- |
||||||
ной волны. |
|
||||||
4.2.** Температура на поверхности Земли меняется периодически в течение суток и года. Считая, что на поверхности Земли x = 0 температура меняется по закону ( ) , найдите закон изменения температуры в почве x > 0. Оцените температуропроводность почвы, если глубина промерзания ее за зиму около 2 м.
4.3.** Найдите стационарное распределение температуры в биметаллической пластине на внешних границах которой поддерживается температуры и . Теплопроводности металлов æ1 и æ2, их толщины h1 и h2. Найдите также градиент температуры в каждом из металлов.
4.4.** Найдите стационарное распределение температуры внутри однородного изотропного шара радиуса a, если на его поверхности поддерживается температура .
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. Элементы математической теории поля
1. Градиентом называют:
А. Вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания скалярного поля и равный производной скалярного поля по этому направлению.
Б. Скалярную величину, выражающую скорость изменения скалярного поля вдоль выбранного направления.
В. Векторную величину, выражающую скорость изменения векторного поля вдоль выбранного направления.
Г. Скалярную величину, выражающую скорость изменения векторного поля вдоль выбранного направления.
2. Градиент скалярного поля в декартовой системе координат имеет вид:
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Чему равен градиент модуля радиус-вектора?
А. |
Б. |
В. |
Г. |
4. Оператор Гамильтона в декартовой системе координат имеет вид:
А. |
|
|
|
|
|
|
Б.
В.
Г.
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. Ротор векторного поля рассчитывается по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
А. |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. Найдите лапласиан функции |
, где |
— модуль радиус-вектора. |
|||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
В. |
Г. |
||
7.Инвариантная дифференциальная характеристика скалярного поля выражается:
А. Производной по направлению Б. Ротором В. Дивергенцией
Г. Градиентом
8. Найдите дивергенцию радиус-вектора: |
|
|
||||||||||||||||||||
А. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Б. 3 |
|
|
|
|
В. |
Г. 1 |
|
|||||||
9. Чему равен ротор поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|||||||||||
А. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Б. 2 |
|
|
|
|
В. 1 |
Г. |
|
|||||||
10. Поле называют соленоидальным, если: |
|
|
||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
В. |
|
|
||||
11. Выберите формулу для расчета дивергенции векторного поля. |
|
|||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
|
|
|
|||
Г. |
| |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|||||
12. Оператор Лапласа в декартовой системе координат имеет вид:
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Чему равна дивергенция поля |
? |
|
|
|||||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
|
В. |
Г. 0 |
|
||||
14. Поле называют потенциальным, если: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
В. |
Г. |
|
|||||
15. Чему равен градиент поля |
, где |
— модуль радиус–вектора. |
||||||||||||||||||||||||
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
|
|
|
|
|
|
В. 0 |
Г. |
|
||||
2. Классификация уравнений математической физики
1.Что называют дифференциальным уравнением с частными производными?
А. Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные искомой функции по этим независимым переменным.
Б. Уравнение, связывающее искомую функцию и частные производные искомой функции по независимым переменным.
В. Уравнение, связывающее искомую функцию и независимые переменные.
Г. Любое уравнение, содержащее частную производную.
2.Дифференциальное уравнение в частных производных называется линейным, если оно
А. Имеет решение, являющееся уравнением прямой линии.
14
Б. Содержит искомую функцию и все её частные производные в степени выше первой.
В. Линейно относительно искомой функции и всех её частных производных.
Г. Однородно.
3.Какое из приведенных дифференциальных уравнений относится к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка:
А.
Б.
В. ( )
Г.
4.Что называют общим решением дифференциального уравнения с частными производными?
А. Решение, описывающее общий случай описываемого процесса. Б. Функция, которая будучи подставленной в уравнение вместо искомой функции, обращает дифференциальное уравнение в
тождество.
В. Совокупность всех функций, удовлетворяющих условию решения дифференциального уравнения.
Г. Все перечисленные примеры.
5.Что такое интеграл дифференциального уравнения в частных производных?
А. Функция, которая будучи подставленной в уравнение вместо искомой функции, обращает дифференциальное уравнение в тождество.
Б. Совокупность всех функций, удовлетворяющих условию решения данного дифференциального уравнения.
В. Система интегральных уравнений. Г. Все перечисленные примеры.
6. Уравнение Лапласа относится к уравнениям:
А. Гиперболического типа. Б. Параболического типа.
15
В. Эллиптического типа.
Г. Ни к какому из перечисленных типов.
7.Каким общим признаком характеризуются физические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями параболического типа?
А. Уравнения параболического типа описывают необратимые процессы.
Б. Уравнения параболического типа описывают обратимые процессы.
В. Уравнения параболического типа описывают стационарные процессы.
Г. Уравнения параболического типа описывают периодические процессы.
8.Какие из приведенных примеров физических задач приводят к уравнениям с частными производными.
А. Распространение волн в пространстве. Б. Распространение тепла в среде.
В. Движение микрочастиц.
Г. Все перечисленные варианты.
9.Выберите из представленных уравнений одномерное уравнение теплопроводности.
А.
Б.
В.
Г. |
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
10. Уравнение колебаний струны относится к уравнениям:
А. Эллиптического типа. Б. Гиперболического типа. В. Параболического типа.
Г. Ни к какому из перечисленных типов
11.Каким общим признаком характеризуются физические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями эллиптического типа.
16
А. Уравнения эллиптического типа описывают стационарные процессы.
Б. Уравнения эллиптического типа описывают нестационарные процессы.
В. Уравнения эллиптического типа описывают необратимые процессы.
Г. Уравнения эллиптического типа описывают периодические процессы.
12. Выберите из представленных уравнений уравнение Лапласа:
А.
Б.
В.
Г.
13.Выберите из представленных уравнений уравнение свободных колебаний струны.
А.
Б.
В.
Г.
14.На основании какого общего закона природы выводится уравнение теплопроводности?
А. Закона сохранения энергии. Б. Второго закона Ньютона.
В. Закона сохранения импульса. Г. Закона теплопроводности.
15. Уравнение теплопроводности относится к уравнениям:
А. Эллиптического типа. Б. Параболического типа. В. Гиперболического типа.
Г. Ни к какому из перечисленных типов.
17
3. Классификация задач математической физики
1. Что задают начальные условия?
А. Значения искомой функции и (или) её производной в начальный момент времени.
Б. Значения искомой функции и (или) её производных на границе области, в которой ищется решение задачи.
В. Значение искомой функции в некоторой произвольной точке пространства.
Г. Все перечисленные варианты.
2. Что задают краевые условия?
А. Значения искомой функции и (или) её производных на границе области, в которой ищется решение задачи.
Б. Значения искомой функции и (или) её производных в начальный момент времени.
В. Предельные случаи рассматриваемой задачи. Г. Все перечисленные варианты.
3.Постановка начальных и краевых условий необходима для того, чтобы:
А. Определить физический смысл решения. Б. Определить метод решения.
В. Упростить уравнение.
Г. Из бесконечного множества частных решений выделить решения, описывающие реальный физический процесс.
4. Какая задача называется задачей Коши?
А. Задача, содержащая только краевые условия. Б. Задача, содержащая только начальные условия.
В. Задача, содержащая и начальные и краевые условия.
Г. Задача, к которой сводится описание стационарных процессов.
5. Какие условия должны быть заданы в задаче Коши?
А. Начальные и краевые. Б. Только краевые.
В. Только начальные.
Г. Дополнительные условия не задаются.
6. В какой задаче задаются только краевые условия?
А. Задача Коши.
Б. Смешанная задача. В. Задача Дирихле.
18
Г. Во всех приведенных типах задач.
7.Если рассматривается процесс, протекающий в конечном интервале, то задача сводится
А. К смешанной задаче. Б. К задаче Коши.
В. К краевой задаче.
Г. Ни к одной из задач указанных типов.
8.В каком примере правильно заданы начальные условия для задачи Коши для общего случая?
А. |
( |
) |
( |
) |
( ) |
( ) |
Б. |
( |
) |
( |
) |
|
|
В. |
( |
) |
( |
|
) |
|
Г. |
Правильных вариантов нет. |
|
||||
9.В каком случае можно считать решение задачи устойчивым относительно исходных данных?
А. Если решение задачи не зависит от начальных условий. Б. Если указаны все начальные условия.
В. Если указаны все краевые условия.
Г. Если начальные и граничные условия определены таким образом, что малые изменения данных задачи вызывают малые изменения в ее решении.
10. Какой физический смысл имеет условие, заданное для задачи Коши о свободных колебаниях струны: ( ) ( ) ?
А. В начальный момент времени скорость точек струны описыва-
|
ется функцией |
( |
) |
( ). |
Б. |
В начальный момент времени форма струны описывается |
|||
|
функцией |
( |
). |
|
В. |
На концах струны искомая функция принимает значение ( ). |
|||
Г. |
Указанное условие не имеет физического смысла. |
|||
11. Какая задача называется смешанной?
А. Задача, содержащая начальные и краевые условия. Б. Задача, содержащая только краевые условия.
В. Задача, содержащая только начальные условия.
Г. Задача, требующая для своего решения последовательного применения нескольких методов решения.
12. Задача считается поставленной корректно, если:
19
А. Решение, удовлетворяющее всем ее условиям, существует единственно и устойчиво.
Б. Указаны все начальные условия. В. Указаны все краевые условия. Г. Указан метод её решения.
13.Какой физический смысл имеет фундаментальное решение задачи Коши о теплопроводности в бесконечном стержне?
А. Рассматривается процесс теплопередачи в стержне, длина которого стремится к бесконечности.
Б. Рассматривается процесс за столь малый промежуток времени, за который тепло, переданное некоторому среднему участку стержня конечной длины, не успевает достигнуть его концов.
В. Рассматривается процесс, в котором тепло распространяется в стержне с бесконечно малой скоростью.
Г. Рассматриваемая задача не имеет физического смысла.
14.Какая задача математической физики формулируется следующим образом: «Найти функцию, удовлетворяющую внутри области уравнению Лапласа и на границе области некоторой известной функции»?
А. Задача Лапласа. Б. Задача Коши.
В. Смешанная задача. Г. Задача Дирихле.
15. Какой физический смысл имеет условие, заданное для задачи Коши о свободных колебаниях струны: ( ) ( )?
А. В начальный момент времени скорость точек струны описыва-
|
ется функцией |
( |
) |
( ). |
Б. |
В начальный момент времени форма струны описывается |
|||
|
функцией |
( |
). |
|
В. |
На концах струны искомая функция принимает значение ( ). |
|||
Г. |
Указанное условие не имеет физического смысла. |
|||
4. Методы решения уравнений математической физики
1.В каком виде ищется решение задачи Коши о колебаниях струны методом Даламбера?
20