Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90

31

9. Распределения НСВ Х

Равномерное распределение на отрезке

НСВ Х имеет равномерное распределение на отрезке a,b ,

Моды равномерное распределение не имеет.

Вероятность попадания СВ Х на отрезок c,d a,b вычисляется по формулеP c X d F d F c cb da .

Показательное (экспоненциальное) распределение

32

Если m 0, 2 1, то имеем стандартное нормальное распределение, для которого функция плотности распределения

Вероятность попадания СВ Х на отрезок m1 , m 2 вычисляется по формуле P m1 X m2 F m2 F m1 0 m2 m 0 m1 m .

Отметим, что обозначение СВ Х~ N m, 2 читается так: слу-

чайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами m, 2 .

10. Контрольные и самостоятельные работы

Самостоятельная работа №1

1.Преподаватель вызвал через старосту на обязательную консультацию трех студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трех отстающих студентов. Найти вероятность того, что

а) староста послал именно тех студентов, которых назвал преподаватель;

б) хотя бы один студент из вызванных преподавателем будет послан старостой.

2.У продавца на рынке 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Найти вероятность того, что

а) оба арбуза будут спелые; б) хотя бы один арбуз будет спелым.

34

3.Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Найти вероятность того, что

а) средивзятыхнаудачушестибилетовбудетдвавыигрышных; б) хотя бы один будет выигрышным.

4.Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Найти вероятность того, что

а) студент ответит на все три вопроса; б) студент ответит хотя бы на один вопрос.

5.Для участия в судебном процессе из 20 потенциальных кандидатов, среди которых 8 женщин и 12 мужчин, выбирают 6 присяжных заседателей. Найти вероятность того, что

а) среди присяжных будут две женщины; б) среди присяжных окажется хотя бы одна женщина.

6.Кулинар изготовил 15 омлетов, причем 4 пересолил. Найти вероятность того, что

а) из 3 случайно выбранных омлетов все окажутся непересоленными;

б) хотя бы один окажется пересоленным.

7.Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что

а) среди них окажется точно один туз; б) хотя бы один туз.

8.Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 из 32 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что

а) студент ответит на все вопросы; б) студент ответит хотя бы на один вопрос.

9.В коробке 20 конфет, из них 5 шоколадных. Ребенок взял из коробки три конфеты. Найти вероятность того, что

а) среди взятых конфет будет только одна шоколадная; б) среди взятых конфет будет хотя бы одна шоколадная.

10.Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жребию хозяйственную команду в составе четырех человек. Найти вероятность того, что

а) в числе избранных окажутся двое юношей и две девушки; б) в числе избранных окажется хотя бы одна девушка.

35

Самостоятельная работа № 2

1.Водители делятся на группы: А (мало рискуют), В (средне рискуют), С (сильно рискуют). Известно, что 30% водителей относятся к группе А, 50 % – к группе В, а остальные – к группе С. Вероятность попасть в аварию для водителей группы А равна 0, 01, для водителей группы В – 0,03, для водителей группы С – 0,1. Водитель выехал на линию и попал в аварию. Найти вероятность того, что он принадлежит к группе В.

2.Обследование пациента вызвало предположение о возможности одного из трех заболеваний А, В или С, с вероятностью 5/12, 1/3, и 1/4 соответственно. Для уточнения диагноза проведен анализ, который при заболевании А дает положительный результат с вероятностью 5/7, при заболевании В – с вероятностью 3/8, при заболевании С – с вероятностью 1/6. Анализ дал положительный результат. Какова теперь вероятность заболевания А?

3.В трех коробках находятся карандаши различной твердости. В первой коробке 10 карандашей: 6 карандашей твердости М

и4 карандаша твердости Т, во второй коробке – 7 и 3, в третьей коробке 5 и 5 соответственно. Из наудачу взятой коробки взяли карандаш. Он оказался твердости Т. Найти вероятность того, что он взят из первой коробки.

4.За получением билета пассажир может обратиться в одну из трех автоматических касс. Вероятность того, что он обратится в кассу 1, равна 0,6, в кассу 2 – 0,3, в кассу 3 – 0,1. Вероятности того, что к моменту его прихода билеты будут распроданы, равны: для кассы 1 – 0,7, для кассы 2 – 0,4, для кассы 3 – 0,3. Пассажир подошел к кассе и купил билет. Найти вероятность того, что это была касса 1.

5.В больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием L, 20% – с заболевание М. Вероятность излечения болезни К равна 0,7, болезни L – 0,8, болезни М – 0,9. Больной, поступивший в больницу, выписан здоровым. Каким заболеванием, скорее всего, страдал поступивший в больницу?

6.Строительная бригада получает перекрытия от трех ДСК: от первого –30%, от второго – 55%, от третьего – 15%. Известно, что брак продукции первого ДСК составляет 5%, второго

36

ДСК – 6%, третьего ДСК – 10%. Полученные перекрытия хранятся на общем складе. Наугад проверенное для контроля перекрытие оказалось бракованным. На каком ДСК, вероятнее всего, было изготовлено это перекрытие?

7.В ходе исследования обнаружилось, что руководители существенно отличаются по своему отношению к риску; 25% указали, что они безразличны к риску, 40% проявили склонность к риску, 36% четко сформулировали нерасположенность к риску. Выгодное рискованное предложение в первой группе принимают

свероятностью 0,5, во второй – всегда, в третьей – не принимают предложение. Предложение было принято. Найти вероятность того, что это сделал руководитель из первой группы.

8.В некоторой отрасли 30% продукции производится первой фабрикой, 25% – второй фабрикой, остальная часть – третьей фабрикой. На первой фабрике в брак идет 1% произведенной ею продукции, на второй фабрике – 1,5%, а на третьей фабрике – 2%. Купленная покупателем единица продукции оказалась браком. Найти вероятность того, что она произведена на первой фабрике.

9.В соревнованиях участвуют: из первой группы 4 студента, из второй – 6, из третьей –5. Студент из первой группы попадает в сборную университета с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы – 0,8. Студент попал в сборную. В какой группе, вероятнее всего, учится этот студент?

10.Вся продукция проверяется двумя контролерами. Вероятность того, что изделие попадет на проверку к первому контролеру, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, а второй – 0,02. Взятое наугад изделие с маркой «стандарт» оказалось бракованным. Какова вероятность того, что оно проверялось вторым контролером?

11.В цехе работают 7 мастеров и 3 ученика, производящие одинаковое число изделий. Мастер допускает брак в 1% случаев,

аученик – в 5% случаев. Изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что его сделал ученик.

12.На заводе установлена система аварийной сигнализации, которая при наличии аварии срабатывает в 99% случаев. Однако в 0,2% случаев, когда аварии нет, сигнал также может возник-

37

нуть. Найти вероятность, что случилась авария, если сигнализация сработала. Вероятность аварии равна 0,007.

13.К системному администратору обращаются за помощью пользователи. Среди них начинающих 60%, а опытных – 40%. Вероятность обращения начинающего – 85%, опытного – 15%. Найти вероятность, что пользователь, обратившийся за помощью, окажется начинающим.

14.В город поступают товары трех фирм в соотношении 2:3:5. В поставках первой фирмы 60% товаров высшего качества, второй – 40%, а третьей – 20%. Куплен товар высшего качества. Найти вероятность, что он изготовлен второй фирмой.

15.Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них 75% грузовых машин. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет заправиться, для грузовой машины равна 0,1, а для легковой – 0,2. Найти вероятность того, что очередная машина, подъехавшая на заправку, окажется грузовой.

16.В магазине было проведено исследование продаж некоторого товара. Оказалось, что этот товар покупают 25% женщин, 10% мужчин и 20% детей. Среди покупателей магазина 60% женщин, 30% мужчин и 10% детей. Товар был куплен. Найти вероятность того, что это был мужчина.

17.Фирма А занимает 20% рынка электронной техники, фирма В – 50%, фирма С –30%. Доля мобильных телефонов в поставках фирмы А составляет 20%, в поставках фирмы В – 40%, в поставках фирмы С – 70%. Покупатель приобрел мобильный телефон. Какова вероятность того, что телефон произведен фирмой А.

18.В компании 70% менеджеров работают в центральном офисе, а 30% – в региональных. Вероятность того, что менеджеру центрального офиса понадобится консультация специалиста, равна 0,3, менеджеру регионального офиса – 0,5. Одному из менеджеров понадобилась консультация. Найти вероятность того, что он работает в центральном офисе.

19.Магазин получает товар от трёх поставщиков: 55% товара поступает от первого поставщика, 20% – от второго и 25% – от третьего. Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит 5% брака, поступающая от второго поставщика– 6% брака, а поступающая от третьего поставщика – 8% брака. Покупатель оставил в книге пожеланий покупателя жалобу о низком качестве при-

38

обретённого товара. Найти вероятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупателя, поступилотвторого поставщика.

20. При расследовании преступления, совершённого на автозаправочной станции (АЗС), было установлено, что поток автомобилей, проезжающих мимо АЗС, состоит на 60% из грузовых и на 40% из легковых автомобилей. По показаниям свидетелей, во время совершения преступления на АЗС находился автомобиль. Известно, что вероятность заправки грузового автомобиля равна 0,1, легкового автомобиля – 0,3. Найти вероятность того, что во время совершения преступления на АЗС находился: а) грузовой автомобиль; б) легковой автомобиль.

Контрольная работа № 1

1. Вероятность того, что при поездке городским транспортом пассажира оштрафуют за безбилетный проезд, равна 0,1. СВХ – число штрафов за рабочую неделю (5 поездок). Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X), (Х). Чему равно наиболее вероятное число штрафов?

Найти вероятность того, что пассажир заплатит штраф:

1)не более 1 раза;

2)хотя бы 2 раза;

3)хотя бы 1 раз, но не более 4 раз;

4)более 4 раз.

2. Покупатель покупает 5 одинаковых изделий. Вероятность того, что изделие будет бракованным, равна 0,1. СВХ – число бракованных изделий. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X), (Х). Чему равно наиболее вероятное число бракованных изделий?

Найти вероятность того, что бракованных изделий будет:

1)более 3;

2)хотя бы 2;

3)хотя бы одно, но не более 3;

4)более 4.

39

3. Студент решает 5 задач. Вероятность того, что в каждой задаче все вычисления будут сделаны верно, равна 0,7. СВХ – число правильно решённых задач. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X), (Х). Чему равно наиболее вероятное число правильно решенных задач?

Найти вероятность того, что правильный ответ будет: 1) не более чем в 3 задачах; 2) хотя бы в одной задаче;

3) хотя бы в одной задаче, но не более чем в 4 задачах; 4) более чем в 2 задачах.

4. Кубик бросают 5 раз. СВХ – количество выпадений чисел, кратных 3. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X), (Х). Чему равно наиболее вероятное число выпадений чисел, кратных 3?

Найти вероятность того, что число, кратное 3, выпадет:

1)не более 4 раз;

2)хотя бы 3 раза;

3)хотя бы 2 раза, но не более 4 раз;

4)более 2 раз.

5. В мастерской работает 6 моторов. Для каждого мотора вероятность перегрева к концу рабочего дня равна 0,8. СВХ – количество перегревшихся моторов. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X), (Х). Чему равно наиболее вероятное число перегревшихся моторов?

Найти вероятность того, что к концу смены перегреются:

1)не более 4 моторов;

2)хотя бы 1 мотор;

3)хотя бы 1 мотор, но не более 4;

4)более 4 моторов.

6. В билете 6 вопросов. Вероятность того, что студент ответит правильно на один вопрос, равна 0,5. СВХ – число правильных ответов. Составить ряд распределения СВХ, нарисовать многоугольник распределения, найти М(Х), D(X), (Х). Чему равно наиболее вероятное число правильных ответов?

Найти вероятность того, что студент ответит правильно:

40