Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90

5. Формула Бернулли. Формулы Лапласа и Пуассона

Схема Бернулли. Проводится n независимых опытов (независимые опыты такие, при которых вероятность появления события в каждом опыте не зависит от результатов предыдущих опытов). Каждый опыт имеет только два исхода: «успех» – событиеA и «неуспех» – противоположное событие. Вероятность наступления события A (вероятность «успеха») в каждом опыте равна р, вероятность наступления события A (вероятность «неуспеха») в каждом опыте равна q 1 p . Вероятность того, что в n незави-

симых опытах событие A наступит m раз, вычисляется по фор-

муле Бернулли

Pn (m) Cnm pmqn m .

В этой формуле m может принимать значения 0, 1, 2…n : m 0– событие A в n независимых опытах наступило 0 раз, т. е. не наступило ни разу; m 1– событие A в n независимых опытах наступило один раз; m 2 – событие A в n независимых опытах наступило два раза; …; m n – событие A в n независимых опытах наступило n раз, т. е. наступило во всех опытах.

Число M0 , при котором значение вероятности будет

наибольшим, называется наивероятнейшим числом наступления события A и вычисляется по формуле np q M0 np p , если

np q – дробное число. Если np q – целое число, то M0 np q . Нахождение вероятностей Pn (m) по формуле Бернулли при

достаточно больших значениях n сопряжено с большим числом вычислений. В этом случае используется приближенная локаль-

ная формула Лапласа

дятся в таблице.

Если m1 m m2 , то используется приближенная интеграль-

ная формула Лапласа

11

при npq 9 . Чем ближе значения p,q к 0,5 и чем больше n, m, тем

точнее данные формулы.

Если n велико, а p мало, то используется приближенная

формула Пуассона

Pn (m) m e , m!

где np – среднее число появления события A в n опытах. Этой формулой можно пользоваться, если p 0,1 npq 9 . Cобытия, для

которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления мала.

Интенсивность потока – это среднее число событий, которые наступают в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность того, что за время t событие наступит m раз, вычисляется по формуле

Pt (m) ( t)m e t . m!

Задача 1. Среди 12 договоров, проверяемых ревизором, 7 договоров оформлены неправильно. Найти вероятность того, что среди 5 договоров, произвольно отобранных ревизором для проверки, окажутся неправильно оформленными ровно три.

Решение. Проверка договора – это испытание, в котором может появиться событие A ={договор оформлен неправильно}:

p P A 127 . Проведено n 5 проверок. По формуле Бернулли

находим вероятность того, что в 5 испытаниях событие A наступит 3 раза:

12

Задача 2. В продукции некоторого производства брак составляет 20%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятность того, что

1)наудачу взятая коробка содержит 15 бракованных изделий;

2)число бракованных изделий в коробке не больше 25. Решение. Производство изделия – это испытание, в котором

1,25 5 0,39 0,5 0,89.

Таким образом, приблизительно 5% всех коробок содержит 15 бракованных изделий и в 89% коробок число бракованных изделий не больше 25.

Задача 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных?

Решение. Здесь np 1000 0,001 1. По формуле Пуассона находим

P1000 5 15 e 1 0,003. 5!

6. Дискретная случайная величина Х (ДСВХ)

Ряд распределения ДСВХ имеет вид:

ятности, т. е. p1 – это вероятность того, что СВХ примет значение

13

n

p1 p2 ... pn 1, или коротко pi 1.

i 1

Функция распределения СВХ – это вероятность того, что СВХ примет значение меньшее, чем конкретное числовое значе-

ние x : F(x) P(X x) .

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическое ожидание ДСВ – это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:

n

M (X ) x1 p1 x2 p2 ... xn pn , или коротко M (X ) xi pi

i 1

Математическое ожидание – это число, вокруг которого сосредоточены значения СВ.

Свойства математического ожидания.

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: M (C) C .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (CX ) CM (X ) .

3.Математическое ожидание суммы СВ равно сумме мате-

4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых СВ равно произведению математических ожиданий со-

множителей M (X1 X2 ... Xn ) M (X1) M (X2 ) ...M (Xn ).

Дисперсия СВ есть математическое ожидание квадрата от-

значений СВ около ее математического ожидания.

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C) 0 .

14

2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX ) C2 D(X ) .

3.Дисперсия суммы (разности) независимых СВ равна сумме дисперсий слагаемых:

4.D(X ) M (X 2 ) M 2 (X ) .

P X Ml P X Ml 12 . Для ДСВ Х это число может не совпа-

дать ни с одним из значений Х. Поэтому медиану ДСВ Х определяют как любое число, лежащее между двумя соседними воз-

Центральным моментом k -го порядка называется матема-

тическое ожидание k -й степени отклонения СВ от ее математи-

ческого ожидания: k M (X M (X ))k . Очевидно, что

2 M (X M (X ))2 D X .

Асимметрия (коэффициент асимметрии) СВ AS X – вели-

чина, характеризующая степень асимметрии («скошенности») распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле:

AS(X ) M (X M (X ))3 / 3 , т. е. AS(X ) 33 .

Для симметричных распределений AS(X ) 0 . Если AS(X ) 0 ,

то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания («скошенность влево»); если AS(X ) 0 , то либо большая часть значений случайной

величины, либо мода находятся правее математического ожидания («скошенность вправо»).

15

Эксцесс (коэффициент эксцесса) СВ EX (X ) – величина, ха-

рактеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения. Коэффициент эксцесса вычисляется по формуле:

EX (X ) M (X M (X ))4 / 4 3 , т. е. ES(X ) 44 3.

Задача 1. В связке из пяти ключей только один подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ (если ключ не подошел, то его в связку не возвращают). СВ Х – число опробованных ключей. Построить ряд распределения этой СВ. Сколько ключей в среднем придется перебрать, пока не найдется подходящий.

Решение. СВ Х принимает значения 1, 2, 3, 4, 5. Если первый опробованный ключ подошел, то X 1. P X 1 15 . Если опробованных ключей было два, то X 2 , т. е. первый ключ не подошел, а второй подошел. P X 2 54 14 15 . Если опробованных ключей было три, то X 3, т. е. первый ключ не подошел, второй ключ не подошел, а третий подошел. P X 3 54 34 13 15 . Аналогично вы-

числяются P X 4 54 43 32 12 15 и P X 5 54 43 32 12 11 15 .

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

Х 1 2 3 4 5

р0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

Вычислим математическое ожидание СВ Х:

M X 1 0,2 2 0,2 3 0,2 4 0,2 5 0,2 3 . Таким образом, в

среднем придется перебрать три ключа, пока не будет найден подходящий.

Задача 2. Дан ряд распределения ДСВ Х:

16

1.Найти параметр a ;

2.Построить многоугольник распределения;

3.Найти функцию распределения F(X ) ;

4.Построить график функции распределения F(X ) ;

5.Найти моду M0 (X ) ;

6.Найти математическое ожиданиеM (X ) ;

7.Найти дисперсию D(X ) и среднее квадратичное отклонение (X ) ;

8.Найти коэффициент асимметрии AS(X ) ;

9.Найти коэффициент эксцесса EX (X ) ;

10.Найти вероятность того, что СВ X примет значение меньше M (X ) ;

11.Найти вероятность того, что СВ X примет значение больше 0,5 M (X ) .

Решение.

1. Так как сумма всех вероятностей должна быть равна 1, то a 0,1. Таким образом, ряд распределения СВХ имеет вид:

2. Многоугольник распределения:

17

3. Функции распределения F(X ) имеет вид:

4. График функции распределенияF(X ) :

5.Мода M0 (X ) 0 .

6.Математическое ожидание:

M X 2 0,1 1 0,2 0 0,5 1 0,1 2 0,1 0,1.

Для вычисления дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса составим таблицу для отклонений значений СВХ от ма-

18

лить по формуле D(X ) M (X 2 ) M 2 (X ) . Ряд распределения СВX 2 имеет вид:

Математическое ожидание M (X 2 ) 0 0,5 1 0,3 4 0,2 1,1. Тогда D(X ) 1,1 ( 0,1)2 1,09 . Среднее квадратичное откло-

нение (X ) 1,09 1,044 .

8. Вычислим математическое ожидание M (X M (X ))3 :

M (X M (X ))3 ( 1,9)3 0,1 ( 0,9)3 0,2 (0,1)3 0,5(1,1)3 0,1 (2,1)3 0,1 0,228.

Тогда коэффициент асимметрии AS(X ) 10,228.0443 0,200353.

9. Вычислим математическое ожидание M (X M (X ))4 :

M (X M (X ))4 ( 1,9)4 0,1 ( 0,9)4 0,2(0,1)4 0,5 (1,1)4 0,1 (2,1)4 0,1 3,36039 .

Тогда коэффициент эксцесса EX (X ) 3,360391,0444 0,1713 .

10.P(X 0,1) P(X 2) P(X 1) 0,1 0,2 0,3.

11.P(X 0.05) P(X 0) P(X 1) P(X 2) 0,5 0,1 0,1 0,7 .

7. Распределения ДСВ Х

Биномиальное распределение

ДСВ Х имеет распределение Бернулли: B 1, p , если ряд рас-

пределения имеет вид:

19

СВХ имеет два значения 0 и 1, которые она принимает с вероятностями q 1 p и p соответственно.

СВХ – число m наступлений события А в n независимых испытаниях, т. е. СВХ принимает значения 0, 1, 2 …, n , с вероятностями, которые вычисляются по формуле Бернулли pm P(X m) Pn (m) Cnm pmqn m . Математическое ожидание и дис-

Задача 1. Бросают три игральных кубика. СВ Х – число выпавших шестерок. Составить ряд распределения СВХ. Сделать вывод о наиболее вероятном значении СВ Х.

Решение. Отметим, что бросить три кубика – это все равно, что бросить один кубик три раза, т. е. n = 3. Событие

ностями, которые вычисляются по формуле Бернулли:

20