Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90

Наиболее вероятное значение СВ Х (мода) m0 0 .

Задача 2. Игральный кубик бросается 16 раз. Найти наивероятнейшее число бросаний (моду), в которых выпало число очков, кратное 6, и вычислить его вероятность.

Если следовать предыдущей задаче, то, для того чтобы найти наивероятнейшее число наступления события А, надо построить ряд распределения СВ Х. СВ Х – число выпадений чисел, крат-

нимает значения 0, 1, 2, …16 с вероятностями, которые вычисляются по формуле Бернулли. После чего выбрать то значение СВ, которое имеет наибольшую вероятность. Очевидно, что такой способ решения трудоемок. Наивероятнейшее число m0 наступле-

Задача 3. Система состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,3. СВ Х – число отказавших элементов системы.

1.Найти ряд распределения СВ;

2.Построить многоугольник распределения;

3.Найти моду M0 (X ) (наивероятнейшее число отказавших

элементов);

4.Найти математическое ожиданиеM (X ) ;

5.Найти дисперсию D(X ) и среднее квадратичное отклонение (X ) ;

6.Найти вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент;

21

7.Найти вероятность того, что откажет не менее 3 элементов системы;

8.Найти вероятность того, что откажет не менее 2 и не более 4 элементов системы.

Решение.

1.СВ Х ~В(5; 0,3) – СВ Х распределена по биномиальному закону с параметрами n 5, p 0,3.СВ Х принимает значения 0, 1,

2, 3, 4, 5 с вероятностями, которые вычисляем по формуле Бернулли:

2. Многоугольник распределения:

22

3.Мода M0 (X ) 1.

4.Математическое ожидание M (X ) np 5 0,3 1,5 .

5. Дисперсия D(X ) npq 5 0,3 0,7 1,05; среднее квадратичное отклонение

6. СобытиеA ={отказ системы, т. е. отказал хотя бы один элемент системы}. Тогда A ={не отказал ни один элемент}.

P A P X 0 0,16807 . P A 1 P A 1 0,16807 0,83193.

7.СобытиеB ={откажет не менее трех элементов системы}.

P B P X 3 P X 4 P X 5 0,16308.

8.СобытиеC ={откажет не менее двух и не более четырех элементов системы}. P C P X 2 P X 3 P X 4 0,46935.

Распределение Пуассона

ДСВХ имеет распределение Пуассона, если ряд распределе-

ния имеет вид:

СВХ принимает значения 0, 1, 2 … с вероятностями, которые вы-

Задача 1. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,002. СВ Х – число поврежденных изделий. Построить ряд распределения этой СВ. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено:

1)ровно три изделия;

2)менее трех изделий;

3)не менее трех изделий;

4)хотя бы одно изделие.

Решение. СВ Х имеет распределение Пуассона (n 500 велико, p 0,002 мало, 500 0,002 1). СВ Х принимает значения

23

0, 1, 2, 3, …, 500 с вероятностями, которые вычисляются по формуле Пуассона:

p0 P X 0 10!0 e 1 0,3679 ; p1 P X 1 11!1 e 1 0,3679; p2 P X 2 12!2 e 1 0,1839 ;

p3 P X 3 13!3 e 1 0,0613; …

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

1)P X 3 0,0613;

2)P X 3 P X 0 P X 1 P X 2 0,9197 ;

3)P X 3 1 P X 3 1 0,9197 0,0803;

4)P X 1 1 P X 0 1 0,3679 0,6321.

Геометрическое распределение

ДСВХ имеет геометрическое распределение, если ряд рас-

пределения имеет вид

СВХ – число независимых опытов до первого наступления события A (до первого «успеха»), если каждый опыт имеет два исхода: событие A и событие A . Вероятность наступления события A (вероятность «успеха») в каждом опыте равна p , вероятность на-

ступления события A (вероятность «неуспеха») в каждом опыте равна q 1 p .

СВХ принимает значения 1, 2, 3 … с вероятностями, которые вычисляются по формуле

24

Задача. В связке из пяти ключей только один подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ (если ключ не подошел, то его возвращают в связку). СВ Х – число опробованных ключей. Построить ряд распределения этой СВ. Найти моду. Сколько ключей в среднем придется перебрать, пока не найдется подходящий?

Решение. СВ Х имеет геометрическое распределение, т. к. испытания ключей независимы (после испытания ключа он возвращается в связку, и каждое следующее испытание происходит в первоначальных условиях). Событие А («успех») = {ключ по-

СВ Х принимает значения 1, 2, 3,… с вероятностями, которые вычисляются по вышеприведенной формуле:

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

р0,2 0,16 0,128 0,1024

Мода M0 1. Математическое ожидание СВ M X 5 . Таким

образом, в среднем придется перебрать пять ключей, пока не будет найден подходящий.

25

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение возникает, например, в задаче: пусть имеется N шаров, из них M белых, остальные черные. Делается выборка из n шаров. СВ Х – число белых шаров в выборке. СВХ принимает значения от 0 до n N M с вероятно-

стями, которые вычисляются по формуле

Задача. В партии из 8 деталей 5 стандартных. Наудачу выбирают3 детали. СВХ– числостандартныхдеталейсредиотобранных.

1.Найти ряд распределения СВ;

2.Найти моду M0 (X ) ;

3.Найти математическое ожиданиеM (X ) ;

4.Найти дисперсию D(X ) ;

5.Найти вероятность того, что среди отобранных деталей будет хотя бы одна нестандартная.

Решение. СВ Х распределена по гипергеометрическому закону и принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями, которые вычисляются по вышеприведенной формуле:

26

2.Мода M0 (X ) =2.

3.Математическое ожиданиеM (X ) =158 .

4.Дисперсия D(X ) = 225448 .

5.Событие A = {среди отобранных деталей хотя бы одна не-

стандартная}.

Тогда A ={среди отобранных деталей все стандартные}.

P A P X 3 1056 . P A 1 P A 1 1056 5646 .

8. Непрерывные случайные величины (НСВХ)

f x F x называется функцией плотности распределения, а

ее график называется кривой распределения.

Имеют место следующие свойства:

1. f x 0. Кривая распределения расположена в верхней полуплоскости;

2. f (x)dx 1. Площадь криволинейной трапеции, ограничен-

ной графиком функции f x и осью OX , равна 1;

4. P X a 0 . Вероятность того, что НСВ Х примет кон-

кретное значение a , равна 0. Поэтому справедливы следующие

равенства P( X ) F X F X F X

F x F F .

Можно считать, что множество значений НСВ Х совпадает с промежутком, на котором плотность распределения не равна 0.

27

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание НСВ определяется по формуле

M x x f x dx .

Дисперсия НСВ определяется по формуле

D x x M X 2 f x dx ,

а также, как и для ДСВ, по формуле D(X ) M (X 2 ) M 2 (X ) ,

гдеM x2 x2 f x dx .

Мода НСВ M0 – это значение СВХ, имеющее наибольшую вероятность, т. е. точкаM0 , в которой функция плотности распределения f x имеет локальный максимум.

Числовые характеристики НСВ: медиана, асимметрия и эксцесс определяются так же, как и для ДСВ.

Задача. Дана функция плотности распределения НСВ Х

1.Найти константу a ;

2.Найти функцию распределения СВХ F x ;

3.Построить графики функций f x и F x ;

4.Найти математическое ожидание СВХ M X ;

5.Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВХ D(X ) и (X ) ;

6.Найти вероятность P(X M (X )) , сделать графическую

иллюстрацию;

7. Найти вероятностьP( X M (X ) (X )) , сделать графиче-

скую иллюстрацию; 8. Найти вероятность попадания СВХ на заданный отрезок

P( 1 X 0,5) , сделать графическую иллюстрацию.

28

Решение.

29

не вычислять. Так как кривая распределения (график функции

Для вычисления этой вероятности воспользовались геометрической интерпретацией: площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, равна 1, а, следовательно,

половина площади равна 12 .

30