Математический анализ (90

Критерии для оценки контрольной работы:

1.Наличие разумных пояснений к выполняемым пунктам задания

2.Указание используемых формул

3.Соблюдение рекомендованного алгоритма решения задания

4.Точность вычислений

5.Решение всех указанных задач.

Перечень вопросов для подготовки к экзамену

Раздел 1. Введение в анализ.

Тема 1.1. Функция.

Понятие множества. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки. Понятие функции. Основные свойства функции. Основные элементарные функции. Элементарные функции и их классификация. Преобразование графиков. Применение функции в экономике.

Тема 1.2. Пределы и непрерывность.

Числовая последовательность, её предел. Предел функции. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределённостей вида 0 / 0 и / . Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов.

Непрерывность функции в точке, на отрезке. Точки разрыва. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление.

Тема 2.1. Производная.

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной фун кций. Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.

Тема 2.2. Приложения производной.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость функции в точке, на отрезке. Точки перегиба. Асимптоты

графика функции. Общая схема исследования функций и построени е их графиков. Графики функций в полярных координатах. Приложение производной в экономической теории.

Тема 2.3. Дифференциал функции.

Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Понятие о дифференциалах высших порядков.

Раздел 3. Функции нескольких переменных.

Тема 3.1. Функции нескольких переменных.

Определение функции двух и нескольких переменных. Геометрический смысл функции двух переменных. Линии уровня. Предел и непрерывность. Частные производные. Дифференциал функции. Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов. Функции нескольких переменных в экономической теории.

Раздел 4. Интегральное исчисление.

Тема 4.1. Неопределённый интеграл.

Первообразная функция и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования: метод разложения, метод замены переменной, метод интегрирования по частям.

Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных функциях.

Тема 4.2. Определённый интеграл.

Понятие определённого интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определённого интеграла. Определённый интеграл, как функция верхнего предела. Вычисление определённого интеграла: формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле. Приближенное вычисление определённых интегралов.

Тема 4.3. Приложения определённого интеграла.

Геометрические приложения определённого интеграла. Использование понятия определённого интеграла в экономике.

Тема 4.4. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы.

Раздел 5. Дифференциальные уравнения.

Тема 5.1. Дифференциальные уравнения Основные понятия и определения: порядок дифференциального уравнения, общее решение,

частное решение, начальные условия, задача Коши, интегральные кривые. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные.

Тема 5.2. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Раздел 6. Ряды.

Тема 6.1. Числовые ряды.

Основные понятия. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения рядов, признак Даламбера, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Тема 6.2. Степенные ряды.

Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций. Применение рядов в приближенных вычислениях. Ряды Фурье.

Формат и содержание экзамена, критерии оценки.

Экзамен проводится в установленное расписанием время по утвержденным билетам. Билет содержит два теоретических вопроса и одно практическое задание. Практическое задание оформляется в письменном виде со всеми необходимыми комментариями по алгоритму решения. На теоретические вопросы студент отвечает устно. Для получения оценки «Отлично» необходимо правильно решить практическое задание, знать основные положения теоретических вопросов и уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы студента. Для получения оценки «Хорошо» необходимо знать основные положения теоретических вопросов и уметь объяснить любую, предложенную преподавателем,

задачу из контрольной работы студента. Для получения оценки «Удовлетворительно» необходимо уметь объяснить любую, предложенную преподавателем, задачу из контрольной работы.

Перечень рекомендуемой литературы

а) основная литература:

1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов – М.:ЮНИТИ, 2006.

2.Краснов М.А. и др. Вся высшая математика – М.: Эдиториал УРСС, 2003.

3.Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 2006.

б) дополнительная литература;

1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Практикум – М.:ЮНИТИ,

2010.

2.Коровина Л.А. Математика ( дифференциальное и интегральное исчисления).

Учебно-методическое пособие по изучению курса и выполнению расчётных работ.

М.: МГИИТ, 2010.-32 с.