Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

513.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Методические указания и примеры решения заданий (1-10)

Пример1. Найти производную функции																		y 3x cos x
Решение. y					3x ln 3 cos x 3x										sin x
Пример 2. Найти производную функции																			y			tgx
																			y

																									x
																						1									1
																						1					x tgx				1

									x tgx													2													2x sin x cosx
																						2
Решение. y					tgx											x					cos					x			2				x
												2
																												x							2x		x cos2 x
											x																	x							2x		x cos2 x
Пример 3. Найти производную функции																			y sin 2x
Решение.

Пример 4. Найти производную функции																			y				1 cos2					1	x
Пример 4. Найти производную функции																			y				1 cos2				2		x
																											2
Решение.
			1											1												1						1				1
y			1										2	1												1						1				1
								1 cos							x															2 cos				x cos			x


					2	1								2												2	1					2				2
		2 1 cos					x												2			1 cos							x
		2 1 cos				2	x												2			1 cos					2		x
						2																					2
		cos	1	x
									1				1		1									sin x
			2						1				1		1									sin x
						( sin				x)
									2				2				4
			2 1						2				2				4									2 1
	1 cos				x															1 cos							x
	1 cos				x															1 cos							x
			2																							2

Методические указания и примеры решения заданий (11-20)

Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей

схеме:

1)Найти область определения функции.

2)Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва.

3)Найти точки экстремума функции и определить промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).

4)Найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.

5)Найти асимптоты графика функции.

6)Построить график функции, используя результаты проведённого исследования.

7)Для функции под пунктом а ) найти дополнительно наибольшее и наимен ьшее значения этой функции на отрезке [ ; ].

Пример 1. у = 14 ( х3 + 9х2 + 15х – 9).

1)Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть, D( у): х ( ; + ), а это значит, что функция непрерывна на всей числовой оси и её график не имеет вертикальных асимптот.

2)Исследуем функцию на экстремум и определим интервалы монотонности. С этой целью найдём её производную и приравняем к нулю:

y 14 (3x2 18x 15); x2 6x 5 0.

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода: x1 5, x2 1. Разбиваем этими точками область определения на части, и по изменению знака производной определим промежутки монотонности ( интервалы возрастания и убывания функции ) и наличие экстремума функции:

x	( , 5 )	5	( 5, 1 )	1	( 1, + )

f (x)	+	0		0	+

f (x)		max		min

ymax y( 5) 14[( 5)3 9( 5)2 15( 5) 9] 4;

ymin y( 1) 14[( 1)3 9( 1)2 15( 1) 9] 4.

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

Для этого найдём вторую производную заданной функции и приравняем её к нулю:

y	1	(6x 18); x 3 0; x 3.
	4

Итак, функция имеет одну		критическую точку второго рода x 3 . Разобьём

полученной точкой область определения на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

x	( , 3 )	3	( 3, + )

f (x)		0	+

f (x)		т. п.

Значение х = - 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

y( 3)

[( 3)3 9( 3)2 15( 3) 9] 0.

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот.

Для определения параметров

и b уравнения асимптот y kx b воспользуемся

формулами

k lim

f (x)

; b lim[ f (x) kx].

Для заданной функции

(x3

9x2 15x 9)

k lim

lim

(x2

9x 15

) .

x 4

Следовательно, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика функции в системе координат хОу изобразим точки максимума А (- 5; 4 ), минимума В (- 1; - 4 ), перегиба С (- 3; 0 ) и точку пересечения графика с осью

ОуD( 0; - 9 / 4 ). С учётом результатов исследования построим кривую ( см. рис.1 ).

6) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [- 3; 0 ]. Для этого вычислим значения функции на концах этого отрезка, в критических точках первого рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

у (- 3) = 0 ;у (- 1) = - 4 ; у ( 0) = - 9/4 . Очевидно, что унаиб. (- 3) = 0 ;унаим.(- 1) = - 4 .

-10

-6

-2

-2 D

-6

-10

Рис.1

Пример 2. y	x2	20	.
	x 4

1)Область определения функции: D ( у ) = { х( - ; 4 ) ( 4 ; + ) } .

2)Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x 4 .
Вычислим её односторонние пределы в этой точке:
lim f (x) lim	x2	20	;	lim f (x) lim	x2 20
	x 4				x 4

х40

х 4+0

х4+0

Таким образом, точка x 4 является для заданной функции точкой разрыва, а прямая x 4 вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности ( интервалы возрастания и убывания функции).

Найдём производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного

уравнения:

2x(x 4) (x2 20)

x2 8x 20

(x 4)2

x2 8x 20

0; x2

8x 20 0; x

2; x

10.

(x 4)2

( ; 2)

( 2; 4)

( 4; 10)

(10;+ )

f (x)

не сущ.

f (x)

max

не опр.

min

уmax=

у ( 2) = 4;

ymin= y (10) = 20 .

Обозначим точку максимума

А ( 2; 4 ), точку минимума В ( 10; 20 ) .

4) Исследование графика на выпуклость,

вогнутость и точки перегиба.

Найдём вторую производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения (если они есть).

y (2x 8)(x 4)2 2(x 4)(x2 8x 20) (x 4)4

		2(x 4)[(x 4)2 (x2 8x 20)]
			(x 4)4

=	2[x2		8x 16 x2 8x 20]	72		.
			(x 4)3	(x	4)3

Так как y 0 , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остаётся выяснить

вопрос об интервалах выпуклости и вогнутости графика.

( ; 4 )

( 4 ; + )

f (x)

не сущ.

f (x)

не опр.

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот:

y kx b.

f (x)

x2 20

k lim

lim

(x 4)x

x x2 4x

b lim[ f (x) kx] lim[

1 x] lim

20 x2 4x

x 4

4x 20

lim

x 4

Следовательно, прямая

y x 4 наклонная асимптота графика.

6 ) Построение графика.

График заданной функции пересекает ось Оу в точке С ( 0; 5)

. Действительно, при x 0

функция

0 20

0 4

Используя все предыдущие результаты исследования, график заданной функции имеет

вид, представленный на рис.2.

При построении графика следует вначале провести асимптоты:

x 4 (вертикальная

асимптота)

y x 4

(наклонная асимптота); затем нанести точки А ( 2; 4 ) max,

В(10; 20 ) min	и	С ( 0;	5 ) пересечение с осью			ОУ ; и только потом начертить
график.При необходимости можно использовать дополнительные точки.
				40
				30
				20
				10
				0
	-30	-20	-10	0	10	20	30
				-10
				-20
				-30
				-40
					Рис. 2

Методические указания и примеры решения заданий (21-30)

Решение типовых примеров.

Найти неопределённые интегралы. Проверить результат дифференцированием (в одном из примеров).

а)

(5x4

7)dx,

б)

3 x2

5 x2

в)

1) ln xdx,

г)

6x 16

д)

sin x sin 3xdx,

е)

sin5 x cos xdx.

Решение.

а)

б)

в)

					2	1			7)dx 5 x4dx 2 x 4dx x										2
(5x4
																			3	dx 7 dx
					4
					4		3 x2
				x			3 x2
									1
			x5			x 3
										x3		7x C x5			2		3
= 5				2						x3					2	3	3	x 7x C.
= 5			5	2			3				1				3x3	3		x 7x C.
			5				3				1				3x3
									3
		dx							dx				arcsin	x	C.


	5 x2
	5 x2					(		5)2 x2						5

(x2 1)ln xdx.

Нужно использовать формулу интегрирования по частям: udv u v vdu.

Для этого обозначим

u ln x, dv (x2 1)dx,

тогда du

dx,

v (x2 1)dx

Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим

(x2 1)ln xdx (

x)ln x (

(

x3 x)ln x (

1)dx (

x3 x)ln x

x3 x C.

г)

d (x 3)

6x 16

(x 3)

9) 25

(t x 3)

t 5

x 2

t 5

x 8

д) sin x sin 3xdx

cos( 2x) cos 4 x dx

cos 2xdx

cos 4xdx

sin 2x

sin 4x C.

Использована формула:

sin sin

cos( ) cos( ) .

е) sin5 x cos xdx sin5 xd (sin x) t5dt	t6	C	sin6 x	C.

6		6
(t sin x)

Проверим результат интегрирования в примере д) дифференцированием:

	sin6 x		1		5			5
(		C)		6sin		x (sin x)	sin		x cos x.
(	6	C)	6	6sin		x (sin x)	sin		x cos x.

Получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл нашли верно.

Методические указания и примеры решения заданий (31-40)

Пример 1. Найти с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры,

расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой	y 8x2 , прямой
y 6x 14 и осью OX( рис.3 ).
Решение. Сделаем чертёж: в осях ХОУ построим параболу y 8x2	и прямую

y 6x 14 и заштрихуем искомую площадь, расположенную в первом квадранте. Затем

найдём абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого

приравняем правые части уравнений параболы																					y 8x2 и прямой y 6x 14 и решим
полученное квадратное уравнение											8x2 6x 14														или	4x2 3x 7 0.													Корни этого
уравнения	x		7	, x 1. Первому квадранту соответствует корень																																x 1.
уравнения	x			, x 1. Первому квадранту соответствует корень																																x 1.
	1	4		2																																2
		4
Найдём абсциссу точки пересечения прямой																					y 6x 14										с осью ОХ( y 0). Решим
уравнение	6 x 14 0 , откуда										x			7		.
уравнение	6 x 14 0 , откуда										x					.
											3
Искомая площадь фигуры							S S1 S2 ,											где			S1 площадь фигуры,															ограниченной данной
параболой	y 8x2 , вертикальной прямой x 1																							и осью ОХ ;									S2 площадь фигуры,
ограниченной вертикальной прямой											x 1,						данной прямой											y 6x 14 и осью ОХ .
Вычислим искомые площади:
							1		2									x3		1		8					2
							1		2									x3		1		8					2
					S1 8x					dx 8														0 2					(кв.ед.)
							0										3			0		3					3		(кв.ед.)
																						3					3
																																	7
																																	7
				7							7												7
				7							7												7									2	3

				3							3												3							x							17 / 3
				3							3												3
	S2 ( 6x 14)dx 6 xdx 14 dx 6																																	14x

																														2

				1							1												1										1
				1							1												1										1
3(		49		1) 14(		7	1) 3								40				14				4			40				56					16	5		1	(кв.ед.)
3(				1) 14(			1) 3												14																	5			(кв.ед.)
		9		3							9												3			3				3			3			3
Общая площадь					S S S				2			2	5					1	8 (кв.ед.)
Общая площадь					S S S			2	2				5						8 (кв.ед.)
				1				2			3						3
											3						3

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]