Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть IV. Компьютерная алгебра (110

постоянной, то g(x) = C, где C – рациональное число, F(x) = Cf(x), поэтому степень f(x) равна п и, следовательно, α – алгебраическое число п-й степени.

Теорема 3 доказана.

Пример. Пусть р – простое число, а – целое число, а > 1, a ≠ b p для

любого целого числа b . Тогда p a – алгебраическое число степени р, так как это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена f (x) = x p −a .

§ 3. Операции над алгебраическими числами

Если α – алгебраическое число степени п и f(x) – минимальный многочлен для α, то все корни α1, α2, …, αп многочлена f(x), отличные от α, называются сопряженными с α.

Один из корней α1, α2, …, αп (будем ставить его на первое место) совпадает с α, так что α = α1.

Теорема 4. Сумма α+β, разность α−β, произведение αβ и частное αβ

(для частного при β ≠ 0) двух алгебраических чисел α и β являются алгебраическими числами.

Доказательство. 1) Пусть α – корень многочлена f(х) степени п с целыми коэффициентами, корни которого α1, α2, …, αп, а β – корень многочлена g(х) степени т с целыми коэффициентами, корни которого β1, β2, …, βп (β=β1). Рассмотрим многочлен:

×(x −αn −β1 )(x −αn −β2 )...(x −αn −βm ).

Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин α1, α2, …, αп, то некоторые строки будут переставлены местами, но произведение в целом не изменится. Поэтому F(x) – симметрический многочлен по отношению к α1, α2, …, αп.

Точно так же подстановка величин β1, β2, …, βп будет менять только порядок столбцов в правой части выражения (2), так что F(x) – симметрический многочлен по отношению к β1, β2, …, βп.

В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов:

α1, α2, …, αп и β1, β2, …, βп.

31

Согласно известным теоремам о симметрических многочленах коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от α1, α2, …, αп и β1, β2, …, βп, то есть через целые коэффициенты f(x) и g(х). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны и, следовательно, число α + β = α1 + β1, являющееся, что непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число.

2) Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел α и β есть алгебраическое число аналогично пункту 1) для многочлена (2), рассмотрим многочлен

Этот многочлен с целыми коэффициентами имеет в качестве одного из своих корней αβ = α1β1.

3) Пусть β – корень многочлена g(x) = bn xn +bn−1xn−1 +... +b0 , ( bi – целые

числа), тогда −β является корнем многочлена с целыми коэффициентами g(−x) = (−1)n bn xn +(−1)n−1bn−1xn−1 +... +b0 ,

а если β ≠ 0, то β1 – корень многочлена

g 1x = bn +bn−1 x +... +b0 xn .

Таким образом, вместе с β алгебраическими числами являются (−β) и

1

β . Разность α − β может быть представлена в виде α + (−β), то есть в виде

суммы двух алгебраических чисел, а потому также представляет собой алгебраическое число.

При β ≠ 0 частное βα = αβ1 , являясь произведением двух алгебраических

чисел, представляет собой также алгебраическое число.

Если степени алгебраических чисел α и β равны т и п, то, взяв в качестве f(х) и g(х) соответствующие минимальные многочлены, будем в (2) и

(3) иметь многочлены степени mn, поэтому α + β и αβ – алгебраические числа степени, не большей чем mn.

Многочлены g(х), g(−х) и xn g 1x одинаковой степени, следовательно,

β, −β и β1 – алгебраические числа одной и той же степени. Отсюда следует,

α

что и α − β, и β имеют степени, не больше чем mn.

32

Из теоремы о единственности разложения многочлена на неприводимые множители следует, что любые неприводимые над полем рациональных чисел множители f(х) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем 4, поэтому f(х) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, сле-

довательно, по теореме 3, 2 + 3 – алгебраическое число 4-й степени.

2) α = 6 3 и β = 6 12 – алгебраические числа 6-й степени, а произведение αβ = 3 6 – алгебраическое число 3-й степени.

§ 4. Поле алгебраических чисел

Теорема 5. Множество A всех действительных алгебраических чисел образует поле.

Доказательство. Множество A непустое. По теореме 4 получим, что операции (+) и ( ) замкнуты, то есть являются бинарными алгебраическими операциями на множестве A.

Числа 0 и 1 – алгебраические числа, как корни многочленов f (x) = x и f (x) = x −1 соответственно. Операция нахождения противоположного чис-

ла (−α) по теореме 4 тоже определена на множестве A.

Легко убедиться, что выполнены все аксиомы поля. Перечислим их.

1.( α, β, γ A) (α + (β + γ) = (α + β) + γ).

2.( α A) (α + 0 = α).

3.( α A) (α + (−α) = 0).

4.( α, β A) (α + β = β + α).

5.( α, β, γ A) ((α + β)γ) = αγ + βγ).

6.( α, β, γ A) (α (βγ) = (αβ)γ).

7.( α, β A) (αβ = βα).

8.( α A) (α 1 = α).

9.( α A)(α ≠ 0 ( β A)(αβ = 1)).

10.1 ≠ 0.

33

Аксиома 9 выполняется тоже по теореме 4. Остальные аксиомы истинны, так как имеют место для всех действительных чисел.

Таким образом, множество A всех действительных алгебраических чисел образует поле.

Теорема 5 доказана.

Вопросы для самоконтроля

1.Определение алгебраического числа.

2.Определение целого алгебраического числа.

3.Минимальный многочлен для алгебраического числа.

4.Степень алгебраического числа.

5.Операции над алгебраическими числами.

6.Поле алгебраических чисел.

Упражнения

1. Доказать, что число αα = 5 – алгебраическое число:

а) α = 5 ; б) α = 3 + 4 ; в) α = 3 + 4 .

2.Показать, что целые алгебраические числа образует кольцо.

3.Привести пример алгебраического числа степени 3, не являющегося целым алгебраическим числом.

4.Найти минимальный многочлен для алгебраического числа:

а) α = 1+ 3 ; б) α =1+3 2 .

5. Привести пример многочлена f (x) с целыми коэффициентами, корнем которого является число α, причем степень многочлена f (x) должна быть больше степени числа α.

6.Найти сумму, произведение и частное двух алгебраических чисел:

α= 2 +3 2 и β =1−23 2 .

34

Глава 5 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

§ 1. Представление целых чисел

Системы компьютерной алгебры имеют дело с большими целыми числами, в частности, любая такая система умеет вычислять и выводить в десятичной записи числа вида 1000! (более 1000 знаков). Рассмотрим представление целых чисел в символьном виде и не будем вдаваться в подробности, какая память отводится для записи одного символа (бит, байт или другая).

Наиболее распространенным является представление целых чисел в позиционных системах счисления. Такая система определяется выбором основания счисления, например, 10. Множество десятичных целых чисел обычно описывается следующим образом:

Выписанное определение целых чисел дает однозначность представления каждого такого числа, и аналогичное определение (возможно, с другим основанием) используется в большинстве систем компьютерной алгебры. Пользуясь таким представлением, удобно реализовать арифметические операции над целыми числами.

Отметим, что наряду с каноническими представлениями в системах компьютерной алгебры используются и другие представления. В частности, желательно, чтобы наличие или отсутствие знака «+» перед целым числом не влияло на восприятие его компьютером. Таким образом, для положительных чисел получается неоднозначное представление, хотя форма отрицательных чисел определена однозначно.

Другое требование: на восприятие числа не должно влиять наличие нулей перед первой значащей цифрой.

35

§ 2. Представление классов вычетов

Кольца вычетов и конечные поля представляют собой наиболее простые объекты с точки зрения задачи представления данных. Каждому элементу такого кольца или поля, состоящего из n элементов, соответствовать, например, взаимно-однозначно неотрицательное целое число из отрезка [0, n − 1]. Операции выполняются в кольце вычетов по модулю n.

В поле арифметические операции сложно определяются. Можно для конечного поля использовать другие формы представления, например, при n = p (p – простое число) использовать систему вычетов по модулю p и операции как в кольце вычетов по модулю p.

Существует два разных подхода к построению канонического представления элементов конечного поля:

1)векторное представление: x – такой элемент, что его степени x0=1, x1, x2, … , xk − 1 порождают поле как векторное пространство;

2)степенное представление: α – элемент, порождающий мультипликативную группу этого поля.

Отметим, что переход от 1) к 2) достаточно прост, а от 2) к 1) (вычисление дискретного логарифма) – очень сложен. Сложность этой задачи используется в криптографии для построения систем кодирования с открытым ключом.

§ 3. Представление рациональных чисел

Множество рациональных чисел Q определяется как фактор-мно- жество множества пар (a, b), (a, b) Z × Z, b ≠ 0, по отношению эквивалентности:

(a, b) (c, d) ad − bc = 0.

Если фиксирована каноническая форма целого числа, то каноническую форму рационального числа можно получить, например, выбирая из эквивалентных пар целых чисел (a, b) такую, у которой b > 0 и НОД(a, b) = 1. Все сказанное выше о представлении целых чисел относится и к представлению рациональных чисел.

Такая каноническая форма рационального числа не является единственно возможной. Например, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби, причем соответствие между рациональными дробями и бесконечными десятичными периодическими дробями не является взаимно-однозначным: рациональные числа, знаменатели которых имеют вид 2n5m, могут быть представлены периодическими дробями с периодами (0) и (9).

Часто рациональные числа представляют в виде суммы целого числа и правильной дроби, то есть положительного рационального числа 0 < α < 1.

36

В компьютерной алгебре вычисления обычно производятся точно, без округления, тем не менее в ней рассматриваются и задачи, которые требуют приближенного решения. Например, нахождение действительных корней многочлена. В отличие от численного анализа ответ в таких задачах представляется не в виде числа, а в виде интервала на вещественной оси (области в комплексной плоскости). С такими интервалами можно производить арифметические действия. Соответствующая арифметика известна под названием интервальной. Интервальная арифметика комбинируется с арифметикой многократной точности, так как требуемая точность обычно очень высока.

§ 4. Представление алгебраических чисел

Представление алгебраических чисел является значительно более трудной задачей. Для алгебраического числа надо знать минимальный многочлен, корнем которого является данное число. Иногда надо еще указывать интервал на вещественной оси или область в комплексном пространстве, в котором содержится единственный корень указанного многочлена. При этом арифметические операции над алгебраическими числами оказываются очень трудоемкими.

Нахождение минимального многочлена для суммы или произведения алгебраических чисел представляет собой нетривиальную задачу (есть метод с помощью базисов Гребнера).

При работе с конкретным полем алгебраических чисел используется представление чисел этого поля, связанное с фиксированием примитивного элемента и с однозначностью представления элементов этого поля через фиксированный примитивный элемент. Сложности возникают, если надо производить операции над элементами из различных конечных расширений поля рациональных чисел. И тогда можно не брать один примитивный элемент, а рассматривать поле алгебраических чисел как расширение поля рациональных чисел с многими образующими.

Действия с многочленами лежат в основе любой системы компьютерной алгебры. Пусть K – некоторое кольцо, задача представления элементов которого уже решена. Представление элементов кольца многочленов K[x] можно выбирать различными способами. Наиболее распространенным является представление многочлена в виде последовательности коэффициентов, упорядоченной по возрастанию или убыванию степеней одночленов. Представление многочленов, при котором запоминаются все коэффициенты, включая нулевые, называется плотным. Плотное представление используется в задачах, где рассматриваемые многочлены имеют сравнительно небольшое количество нулевых коэффициентов.

37

Если степени многочленов достаточно высоки, а количество ненулевых коэффициентов мало (разреженные многочлены), то удобнее использовать разреженное представление многочленов, в котором указываются только ненулевые коэффициенты и соответствующие степени одночленов. При этом алгоритмы работы с такой формой записи становятся более сложными, но значительно экономится память ЭВМ, а во многих случаях – и время работы программы. Если кольцо коэффициентов является полем, то одночлены составляют базис кольца многочленов, рассматриваемого как бесконечномерное векторное пространство над полем коэффициентов.

Многочлены от переменных x1, …, xn кольца K[x1, …, xn] можно рассматривать как многочлены от одной переменной x1, но с коэффициентами из кольца многочленов K[x2, …, xn] (рекурсивное представление).

Поле рациональных функций K(x2, …, xn), где K – некоторое поле, обычно определяется как поле частных кольца многочленов K[x2, …, xn].

Каноническое представление рациональных функций можно получить, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1 и если старший коэффициент знаменателя равен 1 (нормированный многочлен).

Вопросы для самоконтроля

1.Представление целых чисел.

2.Представление классов вычетов.

3.Представление рациональных чисел.

4.Представление алгебраических чисел.

5.Представление многочленов.

Упражнения

1.Оценить количество одноразрядных умножений, используемых при умножении столбиком m-значного числа на n-значное.

2.Показать, что два двузначных числа можно перемножить, используя только три умножения однозначных чисел и увеличивая число сложений.

3.Составить таблицу умножения для кольца Z7 .

4.Составить таблицу умножения для кольца Z9 .

5.Доказать, что рациональные числа могут быть представлены бесконечными периодическими m-ичными дробями, причем неоднозначно.

38

ЛИТЕРАТУРА

1.Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями /

А. Акритас. – М. : Мир, 1994. – 544 с.

2.Алгебра и теория чисел / под. ред. Н.Я. Виленкина. – М. : Просве-

щение, 1984. – 192 с.

3.Бухштаб А.А. Теория чисел / А.А. бухштаб. – СПб. : Лань, 2008. –

384 с.

4.Варден ван дер Б.Л. Алгебра. – М. : Наука, 1979. – 623 с.

5.Варпаховский Ф.Л. Алгебра / Ф.Л. Вахраповский, А.С. Солодовников. – М. : Просвещение, 1981. – 167 с.

6.Вахитова Е.В. Векторные пространства, линейные отображения и линейные операторы / Е.В. Вахитов. – Стерлитамак : СГПА, 2005. – 159 с.

7.Вахитова Е.В. Многочлены над кольцами и полями / Е.В. Вахитов. – Стерлитамак : СГПА, 2005. – 166 с.

8.Вахитова Е.В. Системы линейных уравнений, матрицы и определители / Е.В. Вахитов. – Стерлитамак : СГПА, 2005. – 169 с.

9.Вахитова Е.В. Теория сравнений и ее приложения / Е.В. Вахитов. – Стерлитамак : СГПА, 2000. – 414 с.

10.Винберг Э.Б. Алгебра многочленов / Э.Б. Винберг. – М. : Просве-

щение, 1980. – 175 с.

11.Виноградов И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. – СПб. :

Лань, 2006. – 3176 с.

12.Глухов М.М. Задачник-практикум по курсу высшей алгебры / М.М. Глухов, А.С. Солодовников. – М. : Просвещение, 1965. – 207 с.

13.Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С.К. Годунов. – Новосибирск : Научная книга, 1997. – 388 с.

14.Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра: символьные и алгебраические вычисления / Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Тунье. – М. : Мир, 1991. – 350 с.

15.Жевлаков К.А. Кольца, близкие к ассоциативным / К.А. Жевлаков

[и др.]. – М. : Наука, 1978. – 431 с.

16.Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – М. :

Наука, 1978. – 302 с.

17.Каргаполов М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. – М. : Наука, 1996. – 287 с.

18.Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И. Кострикин. – М. : Нау-

ка, 1977. – 495 с.

19.Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И. Кострикин. – М. : Физматлит, 2004. – Ч. 1: Основы алгебры. – 271 с.

20.Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И. Кострикин. – М. : Физматлит, 2004. – Ч. 2: Линейная алгебра. – 367 с.

39

21.Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры / А.И. Кост-

рикин. – М. : Наука, 1994. – 317 с.

22.Кострикин А.И., Манин А.Ю. Линейная алгебра и геометрии / А.И. Кострикин, А.Ю. Манин. – М. : МГУ, 1980. – 319 с.

23.Кук Д. Компьютерная математика / Д. Кук, Г. Бейз. – М. : Наука, 1990. – 384 с.

24.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел / Л.Я Куликов. – М. : Высш.

школа, 1979. – 559 с.

25.Куликов Л.Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел / Л.Я Куликов, А.И. Москаленко. – М. : Просвещение, 1993. – 288 с.

26.Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – М. : Наука, 1971. – 431 с.

27.Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. – СПб. : Лань, 2008. – 432 с.

28.Ламбек И. Кольца и модули /И. Ламбек. – М. : Мир, 1971. – 279 с.

29.Ленг С. Алгебра / С. Ленг. – М. : Мир, 1968. – 564 с.

30.Мальцев А.И. Основы линейной алгебры / А.И. Мальцев. – М. :

Наука, 1975. – 400 с.

31.Матрос Д.Ш. Основы абстрактной и компьютерной алгебры / Д.Ш. Матрос, Г.Б. Поднебесов. – М. : Академия, 2004. – 240 с.

32.Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре / В.А. Нечаев. – М. : Просвещение, 1983. – 120 с.

33.Общая алгебра. Справ.-матем. Библиотека : в 2 т. / под ред.

Л.А. Скорнякова. – М. : Наука, 1990. – Т. 1. – 591 с.

34.Общая алгебра. Справ.-матем. Библиотека : в 2 т. / под ред.

Л.А. Скорнякова. – М. : Наука, 1991. – Т.2. – 479 с.

35.Панкратьев Е.В. Элементы компьютерной алгебры / Е.В. Панкратов. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 247 с.

36.Практические занятия по алгебре и теории чисел / М.П. Лельчук, И.И. Полевченко, А.М. Радьков. – Минск : Высш. школа, 1986. – 302 с.

37.Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры / В.В. Прасо-

лов. – М. : Наука, 1984. – 304 с.

38.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре / И.В. Проскуряков. – М. : Наука, 1984. – 336 с.

39.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. – М.: Наука, 1987. – 351 с.

40.Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина. – М. : Фак-

ториал, 1995. – 453 с.

41.Скорняков Л.А. Элементы алгебры / Л.А. Скорняков. – М. : Наука, 1980. – 240 с.

42.Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре / Д.К. Фаддеев. – М. : Наука, 1984. – 416 с.

40