Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть IV. Компьютерная алгебра (110

1.Если 1 ≤ a ≤ g −1, то единственность очевидна: a =a .

2.Если a ≥ g , то применим метод математической индукции по а. а) a = g , утверждение верно, так как a =1 g + 0 ;

б) предположим, что для всех чисел, меньших a (a ≥ g), утверждение верно, и докажем, что тогда оно верно и для а. Докажем от противного.

где c < a . Но тогда для числа с представление единственно, отсюда s = m и для всех i =0, 1, ..., s будет ai =bi .

Следовательно, представления (1) и (2) одинаковые, что противоречит предположению;

в) вывод: на основании принципа математической индукции получим, что утверждение верно для всех a (a ≥ g).

Таким образом, из 1) и 2) получим единственность представления для любого натурального числа а.

Теорема 1 доказана.

§ 2. Арифметические операции

Рассмотрим арифметические операции:

1)сложение (или вычитание) как и в 10-ичной системе: складываем единицы, затем переходим к следующему разряду и так далее, при этом если сумма больше основания системы или равна ему, то надо сделать перенос в следующий разряд;

2)умножение (или деление) так же, как и в 10-ичной системе, при этом надо знать таблицу умножения для g.

Примеры. g = 6. Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

1. Приведем пример сложения и вычитания в 6-ричной системе: 2.

11

2. Чтобы рассмотреть примеры умножения и деления в 6-ричной системе, заполним вначале таблицу умножения в 6-ричной системе:

Теперь приведем примеры умножения и деления в 6-ричной системе:

Отметим, что деление трудно выполнить без навыка.

§3. Перевод в десятичную систему счисления и обратно

1.Перевод в 10-ичную систему (g →10) :

а) представить в виде систематической записи; б) выполнить действия.

Пример. ((10)6(11))12 =10 122 +6 12 +11 = (1523)10 =1523 . 2. Перевод из 10-ичной системы (10 → h) :

а) разделить на h сначала a, а затем неполные частные, пока не получим неполное частное, равное 0:

qm = h 0 +bm .

12

Пример. a = 5378, h = 6.

5378 = (40522)6 .

Проверка: (40522)6 = 4 64 +0 63 +5 62 +2 61 +2 = 5378 .

§ 4. Перевод из g-ичной системы в h-ичную систему

Перевод из g-ичной системы в h-ичную систему (g → h) : а) из g-ичной системы перейти к 10-hичной;

б) из 10-ичной системы перейти к h-ичной.

а) если 8 → 2 , то надо каждую цифру заменить триадой из таблицы.

Пример. (25420)8 = (010 101 100 010 000)2 = (010101100010000)2 ;

б) если 2 → 8 , то надо справа налево разбить на триады и заменить триады из таблицы.

Пример. (11'010'001'101'000'111)2 = (321507)8 ;

13

в) если 10 →2, то лучше: 10 →8 →2 (а не по § 4).

(32014)5 = 3 54 + 2 53 + 0 52 +1 51 + 4 = 2134 .

2567 = (5007)8 = (101 000 000 111)2 , следовательно, (32014)5 = (4126)8 .

Вопросы для самоконтроля

1.Определение систематической записи. Теорема о представлении натурального числа в виде систематической записи.

2.Арифметические операции над систематическими числами.

3.Перевод в десятичную систему.

4.Перевод из десятичной системы.

5.Перевод из g-ичной системы в h-ичную систему.

Упражнения

1.Представить в виде систематической записи: (51306)7.

2.Записать кратко: 4 83 + 6 82 + 3 8.

3.Перейти к десятичной системе счисления:

а) (1023)5; б) (14(11))12.

4.Перейти к двоичной системе счисления: n = 46 = (46)10.

5.Перейти к 12-ричной системе счисления: n = 19510.

6.Осуществить переход:

а) (37051)8 = x6; б) (3507)8 = x2; в) (1011001110001111)2 = x8; г) 582 = x2.

7.Составить таблицу умножения в 7-ричной системе счисления.

8.Выполнить умножение: (1203)7 · (354)7.

9.Найти x: 26 = (101)x.

10.В какой системе счисления возможны равенства:

а) (14)x + (12)x = (30)x; б) (3)x · (5)x = (14)x; в) (52)x = 32.

14

11.В какой системе счисления число 46 изобразится теми же цифрами, но в обратном порядке?

12.Правильно ли выполнено действие:

15

Глава 3 КОЛЬЦО КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ

§ 1. Определение сравнения по натуральному модулю

Понятие сравнения было введено впервые Гауссом. Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет много приложений.

Пусть N – множество натуральных чисел, N ={..., 1, 2, ..., n, ...} , Z –

множество целых чисел, Z ={..., − n, − 2, −1, 0, 1, 2, ..., n, ...} .

Определение 1. Целые числа а и b называются сравнимыми по натуральному модулю т, если разность а − b делится на т.

Запись: a ≡ b(mod m) , чтение: «а сравнимо с b по модулю т». Заметим, что целое число x делится на целое число y , если существует

целое число z , такое, что x = yz. Запись: x # y. При этом будем говорить, что число y делит число x, запись: y | x . Например, a = 25, b = 5, m =10. Здесь 20 # 10, следовательно, 25 ≡5(mod 10) . Сравним остатки от деле-

ниячисел25 и5 намодуль10 (a =bq + r, q, r Z, 0 ≤r <| b |) .

25 = 2 10 +5, r1 = 5, 5 = 0 10 +5, r2 = 5, r1 = r2 .

Теорема 1. Целые числа а и b сравнимы по натуральному модулю т тогда и только тогда, когда числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на т.

Доказательство. По теореме о делении с остатком целые числа а и b можно единственным образом представить в виде:

a = mq1 + r1 , q1 , r1 Z, 0 ≤ r1 < m, a = mq2 + r2 , q2 , r21 Z, 0 ≤ r2 < m.

1) Докажем, что если a ≡ b(mod m) , то r1 = r2 .

Доказательство. Так как a ≡ b(mod m) , то (a −b)#m . Но a −b = (mq1 +r1 ) −(mq2 +r2 ) = m(q1 −q2 ) +(r1 −r2 ) .

Из (1) и (2) следует, что r1 − r2 = 0 , отсюда r1 = r2 . 2) Докажем, что если r1 = r2 , то a ≡b(mod m) .

Доказательство. Так как r1 = r2 = r ( r – натуральное число или 0), то

a = mq1 +r , b = mq2 +r , тогда

a −b = m(q1 −q2 ) +(r −r) = m(q1 −q2 ) +0 = m(q1 −q2 ),

16

следовательно, a −b#m , а поэтому a ≡ b(mod m) .

Теорема 1 доказана.

Согласно этой теореме 1 сравнимость целых чисел a и b по натуральному m эквивалентна утверждению: «числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на т».

Определение 2. Целые числа а и b называются сравнимыми по натуральному модулю т, если остатки от деления этих чисел на т равны.

Так как определения 1 и 2 эквивалентны, то при решении задач можно пользоваться тем, которое дает более простое решение задачи.

Пример. Проверить истинность сравнений:

а) 75 ≡18(mod 13) ; б) 174 ≡18(mod 13) .

Решение. 1-й способ: а) 75−18=57, 57 не делится на 13, поэтому срав-

нение 75 ≡18(mod 13) ложно.

б) 75−18=57, 57 делится на 13, поэтому сравнение 174 ≡18(mod 13) истинно.

1-й способ. а) 75=13 18+10, r1 =10, 18=13 1+5, r1 =5 , r1 ≠ r2 , следо-

вательно, сравнение 75 ≡18(mod 13) ложно.

а) 174=13 13+5, r1 = 5, 18=13 1+5, r1 =5, r1 = r2 , следовательно,

сравнение 174 ≡18(mod 13) истинно.

В дальнейшем для записи сравнения, принимающего истинностное значение «ложно». будем использовать знак « ≡/ ». Например, 75 ≡/ 18(mod 13) .

Таким образом, запись a ≡/ b(mod m) означает, что целые числа а и b

не являются сравнимыми по натуральному модулю i.

Далее без доказательства приведем простейшие свойства сравнений по натуральному модулю i.

Свойство 1. Отношение сравнимости рефлексивно:

( a N)(a ≡ a(mod m)).

Свойство 2. Отношение сравнимости симметрично:

( a,b N)(a ≡ b(mod m) b ≡ a(mod m)).

Свойство 3. Отношение сравнимости транзитивно:

( a,b,c N)((a ≡b(mod m) b ≡c(mod m)) a ≡c(mod m)).

Свойство 4. Для любых целых чисел a, b и k, если a ≡ b(mod m) , то

ka ≡ kb(mod m) :

( a,b,k N)(a ≡b(mod m) ka ≡ kb(mod m)).

Свойство 5. Для любых целых чисел a, b и k, если ka ≡ kb(mod m)

при k ≠0 и взаимно простым с m, то a ≡ b(mod m) :

( a,b,k N)((ka ≡ kb(mod m) k ≠ 0 (k,m) =1) a ≡b(mod m)).

Свойство 6. Для любых целых чисел a и b и любого натурального k, если a ≡ b(mod m) , то ka ≡ kb(mod km) :

17

( a,b, k N)(a ≡b(mod m) ka ≡ kb(mod km)).

Свойство 7. Для любых целых чисел a и b и любого натурального k,

если ka ≡ kb(mod km) , то a ≡b(mod m) :

( a,b, k N)(ka ≡ kb(mod km) a ≡b(mod m)).

Свойство 8. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать и вычитать:

( a,b,c,d N)((a ≡b(mod m) c ≡ d (mod m))

(a + c ≡b + d (mod m) a − c ≡b − d (mod m))).

Свойство 9. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно ум-

гуюспротивоположнымзнаком: если a ≡ b +c(mod m) , то a −b ≡ c(mod m) .

Свойство 13. В сравнении можно отбрасывать или прибавлять слагаемые, кратные модулю:

а) если a ≡b +mk(mod m) , то a ≡ b(mod m) , где k Z ; б) если a ≡ b(mod m) , то a ≡ b + mn (mod m) , где n Z ;

Свойство 14. Если a ≡ b(mod m) и d | m , то a ≡b(mod d ) .

Свойство 15. Если a ≡ b(mod m) , то ОД(а,т) = ОД(b,т). В частности, НОД(а,т) = НОД(b,т).

Свойство 16. Если a ≡ b(mod m1 ), …, a ≡ b(mod ms ), то a ≡b(mod m) ,

где m = НОК(m1, …, ms).

§ 2. Полная система вычетов

Отношение сравнимости вызывает разбиение множества целых чисел Z на классы эквивалентности, которые называют классами вычетов по натуральному модулю m.

18

Определение 3. Классом вычетов a по натуральному модулю m называется множество целых чисел, сравнимых с некоторым данным целым числом a по модулю m.

def

a ={x Z | x ≡ a(mod m)}.

Пример. m =7 . При делении числа a на 7 получим следующие возможные остатки:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ( a = 7q +r , q,r Z , 0 ≤ r <7 ).

1. Все целые числа, дающие остаток 0 при делении на 7 (то есть кратные 7), будут сравнимы между собой по модулю 7, следовательно, такие числа принадлежат одному классу вычетов по модулю 7. Этот класс выче-

тов можно записать так: 0 (поскольку x ≡ 0(mod 7) ) или

0 ={0, 7, 14, ..., −7, −14, ...}. Этот же класс можно записать еще иначе: 7 (поскольку x ≡ 7(mod 7) ), 14 (поскольку x ≡14(mod 7) ) и т.д.

2. Все целые числа, дающие остаток 1 при делении на 7, будут сравнимы между собой по модулю 7, следовательно, такие числа принадлежат од-

Отметим следующие свойства классов вычетов.

Свойство 1. Любые два класса вычетов по модулю m или совпадают, или не пересекаются. Объединение всех классов вычетов по модулю m есть множество Z.

Доказательство. Пусть классы вычетов a и b по модулю m имеют общий элемент c . Покажем, что тогда a = b .

1.Докажем, что x((x a) (x b )). Имеем:

xa , следовательно, x ≡ a(mod m),

19

c a , следовательно, c ≡ a(mod m) ,

поэтому по симметричности a ≡ c(mod m) . Но тогда по транзитивности получим, что x ≡ c(mod m) . Кроме того, c b , следовательно, c ≡ b(mod m) , поэтому по транзитивности x ≡ b(mod m) . Значит, x b .

2. Аналогично доказывается, что x((x b ) (x a)) .

Из 1) и 2) получим, что a = b (по определению равных множеств). Если x Z , то x = mq + r, q, r Z, 0 ≤ r < m , и x r , т.е. множество

Таким образом, по свойству 1, классы вычетов a и b , как содержащие об-

щий элемент y, будут совпадать: a =b . Свойство 2 доказано.

Свойство 3. Если a – класс вычетов по модулю m, то a ={a + mk | k Z}.

Доказательство. Имеем если x a , то x ≡ a(mod m) , отсюда получим, что (x − a)#m, следовательно, ( k Z)(x −a = mk) . Поэтому

x = a + mk , где k – целое число. Но тогда

a ={x | x ≡ a(mod m)} ={a +mk | k Z}.

Свойство 3 доказано.

Любое число из класса вычетов a по модулю m называется вычетом по модулю m. Число a называется представителем класса a . Любое число из класса a может быть представителем класса a : если x a , то x = a.

Определение 4. Полной системой вычетов по модулю m называется множество m целых чисел, содержащее точно по одному представителю из каждого класса вычетов модулю m .

Пример. m = 7 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – классы вычетов по модулю 7.

1. {7, 8, 16, 3, 11, 26, 48} – полная система вычетов по модулю 7, так как всего 7 чисел и они взяты точно по одному из каждого класса по модулю 7, а именно 7 0 , 8 1 , 16 = 7 2 +2 , поэтому 16 2 , 3 3 , 11 = 7 1+ 4 , поэтому 11 4 , 26 = 7 3 +5 , поэтому 26 5 , 48 = 7 6 +6, поэтому 48 6 ;

2. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – полная система вычетов по модулю 7.

20