Фундаментальная и компьютерная алгебра. Часть IV. Компьютерная алгебра (110

Заметим, что полных систем вычетов по модулю 7 (как и по произвольному модулю m) существует бесконечное множество. Среди них выделяется полная система наименьших неотрицательных вычетов {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} и полная система наименьших по абсолютной величине

вычетов {0, 1, 2, 3, −1, −2, −3}.

Определение 5. Множество {0, 1, 2, 3, ..., m −1} называется полной системой наименьших неотрицательных вычетов по модулю m.

Теорема 2. Любые m целых чисел a0 , a1 , ..., am−1 , попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по модулю m.

Доказательство. 1. Так как числа попарно несравнимые по модулю m, то они принадлежат различным классам вычетов по модулю m.

2.Всего этих чисел m. Это число совпадает с количеством классов вычетов по модулю m.

3.Следовательно, в каждый класс вычетов по модулю m попадает по одному числу.

Таким образом, числа a0 , a1 , ..., am−1 образуют полную систему выче-

тов по модулю m. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Если a и b – произвольные целые числа, m – натуральное, НОД(a,b) = 1 и число x пробегает полную систему вычетов по модулю m, то число y, где y = ax +b , тоже пробегает полную систему вычетов по

модулю m.

Доказательство. 1. Так как число x пробегает полную систему выче-

модулю m.

Таким образом, из 1) и 2), применяя теорему 2, получим, что число y, где y = ax +b , тоже пробегает полную систему вычетов по модулю m.

Теорема 3 доказана.

21

§ 3. Аддитивная группа классов вычетов

Теорема 4. Множество G всех классов вычетов по модулю m образует группу относительно сложения классов вычетов.

Доказательство. Сложение классов вычетов по модулю m замкнуто в множестве G, то есть ( a,b G)( !c G)(c = a +b ) . Надо проверить единственность: определение суммы классов вычетов не должно быть зависимым

от выбора представителей классов вычетов. Пусть a = x и b = y . Тогда:

a +b = a +b , x + y = x + y , a +b = x + y .

Значит, сумма классов вычетов a +b не зависит от выбора представи-

телей классов a и b .

Проверим выполнимость аксиом, определяющих группу.

1) Ассоциативность сложения: ( a,b ,c G)((a +b ) +c = a +(b +c)) . Преобразуем отдельно суммы, стоящие в левой и правой частях равен-

ства: (a +b ) +c = a +b +c = (a +b) +c ,

a +(b +c) = a +b +c = a +(b +c) . Но (a +b) +c = a +(b +c) , так как сложение в Z ассоциативно, поэтому (a +b ) +c = a +(b +c) , следовательно, аксиома

1)выполнена.

2)Существование в G нейтрального элемента:

( e G)( a G)(a +e = e + a = a) .

Найдем нейтральный элемент e для сложения в G: по определению сложения классов вычетов a +e = a +e , по условию a +e = a . Тогда полу-

22

чим уравнение a +e = a . Эти два класса равны, если a +e ≡ a(mod m) , отсюда e ≡ 0(mod m) , следовательно, e = 0 . Так как 0 G , a + 0 = 0 +a = a ,

то аксиома 2) выполнена.

3) Существование в G для каждого элемента симметричного ему эле-

мента: ( a G)( a′ G)(a +a′= a′+a = 0) .

Чтобы найти a′= x , запишем a + x = a + x , a + x = 0 , тогда получим a + x = 0 , отсюда a + x ≡ 0(mod m) , следовательно, x ≡ −a(mod m) , тогда x = −a , a′ = −a (класс вычетов, содержащий симметричный элемент для элемента a). a ′+a = (−a) +a = 0 . Итак, аксиома 3) выполнена.

Таким образом, G, + – группа.

Теорема 4 доказана.

Замечание. Заметим, что в G выполнена еще одна аксиома: 4) Коммутативность сложения: ( a,b G)(a +b = b + a) .

Действительно, так как a +b = a +b , а b + a = b + a , то, в силу коммутативности сложения в Z получим, что a +b = b + a .

Следовательно, группа G, + – абелева группа. Эту группу называют аддитивной группой классов вычетов по модулю m.

Пример. m = 5, G ={0, 1, 2, 3, 4}. Сложение классов вычетов по модулю 5 запишем в виде следующей таблицы:

На пересечении строки, начинающейся с класса вычетов 3 , и столбца,

начинающегося с класса вычетов 4 , находится сумма 3 + 4 :

3 + 4 =3 +4 = 7 = 2 .

Отметим противоположные (симметричные) элементы:

− 0 = 0 , − 1 = 4 , − 2 = 3 , − 3 = 2, − 4 =1.

§ 4. Кольцо классов вычетов

Пусть m N , множество G определено равенством (3):

G ={0, 1, 2, ..., m −1}

23

Теорема 5. Множество G всех классов вычетов по модулю m образует кольцо относительно сложения и умножения классов вычетов.

Доказательство. Сложение классов вычетов по модулю m замкнуто в множестве G, то есть ( a,b G)( !c G)(c = a +b ) . Умножение классов вычетов по модулю m замкнуто в множестве G, то есть

( a,b G)( !c G)(c = a b ) . Надо проверить единственность: определение произведения классов вычетов не должно быть зависимым от выбора

представителей классов вычетов. Пусть a = x и b = y . Тогда:

a ≡ x(mod m), b ≡ y(mod m), (a − x)#m, (b − y)#m ,

(a − x)b + x(b − y)#m , (ab − xb + xb + xy)#m , (a b) ≡ (x y)(mod m) , a b = x y , a b = a b , x y = x y , a b = x y .

Значит, произведение классов вычетов a b не зависит от выбора пред-

ставителей классов a и b .

Проверим выполнимость аксиом, определяющих кольцо.

1)G, + – абелева группа. Эта аксиома выполнена (по теореме 2 из § 4

изамечанию к ней).

2)Левая и правая дистрибутивность умножения относительно сложе-

ния: а) ( a,b ,c G)(c (a +b ) = ca +cb ) ;

б) ( a,b ,c G)((a +b )c = ac +b c ) .

Имеем: а) c (a +b ) = c a +b = c(a +b) , ca +cb =ca +cb =ca +cb .

Но c(a +b) = ca +cb , так как умножение в Z дистрибутивно относи-

тельно сложения, поэтому c (a +b ) = ca + cb ;

б) aналогично. Следовательно, аксиома 2) выполнена. Таким образом, G, , + – кольцо.

Теорема 5 доказана.

3) Умножение ассоциативно в G: ( a,b ,c G)((ab )c = a(b c )). Преобразуем отдельно произведения, стоящие в левой и правой частях

сиома 3) выполнена. Поэтому кольцо G, , + является ассоциативным. Заметим, что умножение в G коммутативно, то есть:

4) ( a,b G)(ab = b a) .

Действительно, a b = ab , b a =ba . Но ab = ba в силу коммутативности умножения в Z , поэтому ab = b a , следовательно, аксиома 4)

24

выполнена. Поэтому кольцо G, , + является коммутативным. Это кольцо

называется кольцом классов вычетов по модулю m и обозначается Zm . Кроме того, в G выполнена еще одна аксиома:

5) ( e G)((e ≠ 0) ( a G)(ae = ea = a)) .

Следовательно, кольцо G, , + является кольцом с единицей (e = 1) . Если модуль m = p – простое число, то кольцо G, , + является полем.

Пример. m = 5 , Z5 ={0, 1, 2, 3, 4}.

Приведем таблицы сложения и умножения в кольце Z5 классов вычетов по модулю 5:

В таблице умножения на пересечении строки, начинающейся с класса вычетов 3 , и столбца, начинающегося с класса вычетов 4 , находится произведение 3 4 : 3 4 =3 4 =12 = 2 .

Множество Z5 замкнуто относительно сложения и умножения,

Z5 , + является абелевой группой, Z5 , +, является ассоциатив-

ным и коммутативным кольцом с единицей, отличной от нуля. Для всякого ненулевого элемента существует симметричный (обратный) ему элемент относительно умножения, то есть всякий ненулевой элемент обратим. По-

этому кольцо Z5 , +, является полем.

Заметим, что если, например, m =6 , то Z6 образует кольцо, которое

не является полем.

Кольцо классов вычетов по простому модулю p образует поле.

Вопросы для самоконтроля

1.Сравнение в кольце целых чисел.

2.Свойства сравнений.

3.Классы вычетов по натуральному модулю.

25

4.Свойства классов вычетов.

5.Полная система вычетов.

6.Аддитивная группа классов вычетов.

7.Кольцо классов вычетов.

Упражнения

1.По какому модулю все целые числа сравнимы между собой?

2.Привести примеры целых чисел, сравнимых по модулю 8.

3.Привести примеры целых чисел, имеющих с модулем 6 один и тот же НОД, но несравнимых по этому модулю.

4.Применить понятие сравнения к доказательству того, что числа 210

и858 имеют с модулем 12 один и тот же НОД. Применим ли этот прием относительно чисел 385 и 77 и модуля 6?

5.Какие из следующих сравнений являются верными:

6. Доказать, что следующие сравнения являются верными:

7. Доказать, что следующие сравнения являются неверными:

д) (2m + 1)(2n + 1) ≡ 2k(mod 6), где m, n, k Z.

8.Доказать, что каждое число сравнимо со своим остатком по данному модулю.

9.Число х удовлетворяет условию x ≡ 2(mod10). Записать это условие в виде уравнения с параметром и найти несколько значений х.

10.Найти все значения х, удовлетворяющие сравнению:

11. Найти все значения m, удовлетворяющие условию:

а) 20 ≡ 8(mod m),

26

б) 3p + 1 ≡ p + 1(mod m), где p – простое число.

12.Указать возможное значение модуля в сравнении x ≡ 5(mod m),если известно, что этому сравнению удовлетворяет x0 = 13.

13.Записать в виде сравнений все классы по модулю 10.

14.Записать все классы по модулю 10 при помощи формулы:

x= 10q+r, где 0≤r<10.

15.Найти полные системы вычетов по модулю 10: наименьших неотрицательных вычетов и наименьших по абсолютной величине вычетов.

16.По какому модулю числа 20, –4, 22, 18, –1 составляют полную систему вычетов?

17.Доказать, что множество чисел 20, 31, –8, –5, 25, 14, 8, –1, 13, 6 не являются полной системой вычетов по модулю 10.

18.Найти одну полную систему вычетов вида 5x по модулю 4.

27

Глава 4 ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

§ 1. Определение алгебраического числа

Определение 1. Алгебраическим числом называется комплексное (в частности, действительное) число α, которое является корнем некоторого многочлена от одной переменной

с рациональными коэффициентами ai , i = 0,1, ..., n , an ≠ 0 .

Приведя коэффициенты многочлена (1) к общему знаменателю, можно получить многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого будет α.

Однако при этом старший коэффициент an не обязательно равен 1.

Рациональные числа и квадратичные иррациональности представляют собой корни многочленов 1-й и 2-й степени с целыми коэффициентами. В этой главе будем рассматривать корни многочленов с целыми коэффициентами любой степени.

Определение 2. Алгебраическое число α называется целым алгебраическим числом, если является корнем многочлена (1) с целыми коэффици-

ентами ai , i = 0, 1, ..., n , со старшим коэффициентом, равным 1 : an =1. Далее будем рассматривать только те целые алгебраические числа, ко-

торые принадлежат множеству действительных чисел R .

Из равенства f (α) = 0 следует равенство f (α)g(α) = 0 , где в качестве g(α) можно взять произвольный многочлен с целыми коэффициентами.

Поэтому для любого алгебраического числа α существует бесконечное множество многочленов с рациональными коэффициентами, корнями которых является α.

Многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, корнем которого является алгебраическое число α, называется минимальным.

Определение 3. Число n называется степенью целого алгебраического числа α, если α есть корень некоторого многочлена n -й степени с целыми коэффициентами, со старшим коэффициентом 1, и не существует многочлена с целыми коэффициентами, со старшим коэффициентом 1, степени, меньшей чем n, корнем которого являлось бы число α.

Короче, степень минимального многочлена называется степенью алгебраического числа. Рациональные числа, и только они являются алгебраическими числами 1-й степени. Целые числа и только они являются целыми алгебраическими числами 1-й степени.

28

Любая квадратичная иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степенисцелымикоэффициентами.

Пример. 2 – целое алгебраическое число степени 2, оно является корнем многочлена f (x) = x2 −1 и не является корнем никакого многочлена

первой степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями.

Пример. 3 2 – целое алгебраическое число 3-йстепени, то есть кубическая иррациональность. Действительно, это число – корень многочлена 3-й степени

f (x) = x3 − 2 с целыми коэффициентами и не является корнем какого-либо

многочлена1-йили2-йстепенисцелымикоэффициентами. Приведем примеры целых алгебраических чисел степени n = 2 .

1.Алгебраическое число α1 =i C , оно является целым алгебраическим числом степени 2 и f (x) = x2 +1.

2.Алгебраическое число α2 =1+ 2 является целым алгебраическим числом степени 2 ( f (x) = x2 −2x −1) .

§ 2. Минимальный многочлен алгебраического числа

Далее рассматриваем алгебраические числа, не обязательно целые. Определение 4. Многочлен f(х) называется минимальным многочле-

ном для алгебраического числа α, если f(х) – многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1, корнем которого является число α.

Если вместо многочлена f(х) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени п, корнем которого является α, то многочлен f(х) может быть получен из него делением всех коэффициентов на коэффициент старшего члена.

Пример. Алгебраическое число 3 22 является корнем как многочлена f1 (x) = x3 − 14 , так и многочлена f2 (x) = 4x3 −1. Минимальный многочлен

f1 (x) = x3 − 14 для алгебраического числа 3 22 получается из многочлена f2 (x) = 4x3 −1 делением всех коэффициентов на 4.

29

Теорема 1. Если f(х) – минимальный многочлен для алгебраического числа α и F(х) – многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(α) = 0, то f(х) – делитель F(x), то есть F(x) = f(x)g(х), где g(х) также многочлен с рациональными коэффициентами.

Доказательство. Согласно известной теореме алгебры (о делении с остатком для многочленов) многочлен F(x) можно представить в следующем виде: F(x) = f(x)g(х) + r(x), где g(x) и r(х) – многочлены с рациональными коэффициентами, а степень многочлена r(х) меньше степени многочлена f(x) или r(х) = 0. Так как F(α) = 0 и f(α) = 0, то, при x = α, получим:

r(α) = F (α) − f (α)g(α) = 0 −0 g(α) = 0 .

Значит, α – корень многочлена r(х) с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем у минимального для α многочлена, то есть меньшей, чем степень α. Это может быть только, если r(х) тождественно равно нулю: r(х) = 0. Следовательно, F(x) = f(x)g(х).

Теорема 1 доказана.

Для данного алгебраического числа α существует единственный минимальный многочлен. Из теоремы 1 следует, что если F(х) и f(х) – минимальные многочлены для данного алгебраического числа α, F(x) = f(x)g(х), частное g(х) от деления F(x) на f(x) равно 1, что означает равенство F(x) = f(x).

Теорема 2. Для любого алгебраического числа α минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.

Доказательство. Пусть f(x) – минимальный многочлен степени п для алгебраического числа α. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, то есть что f(x) = f1(x)f2(х), где f1(x) и f2(х) – многочлены положительной степени с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем п.

Из числового равенства f1(α)f2(α) = f(α) = 0 следует, что f1(α) = 0 или f1(α) = 0. Если f1(α) = 0, то в силу теоремы 1 f(x) делит f1(x), что невозможно. Аналогично, для случая f2(α) = 0. Предположение, что многочлен f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, поэтому f(x) неприводим над этим полем.

Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Если α – корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени п, то α – алгебраическое число степени п.

Доказательство. Число α как корень многочлена F(x) с рациональными коэффициентами является алгебраическим числом. Обозначим минимальный многочлен для алгебраического числа α через f(x). По теореме 1 имеем: F(x) = = f(x)g(х); где g(х) – многочлен с рациональными коэффициентами. Так как F(x) является неприводимым над полем рациональных чисел и f(x) не является

30