Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами. Ч. 1 (120

эксперимента *, для которого критерий (4.9) достигает макси-

мального значения. При этом область допустимых значений координат установки датчиков определяется геометрическими размерами исследуемого образца.

Таким образом, рациональный выбор схемы измерений приводит к необходимости решения следующей задачи оптимизации:

(4.11)

X Xi 1N , 0 Xi h,i 1, N.

Данная задача может быть решена путем итерационной процедуры, в которой на каждой итерации решается задача поиска оптимального вектора координат фиксированного числа датчиков N:

и последовательно увеличивается на единицу число термодатчиков. Итерационный процесс заканчивается при выполнении соотношения

(l 1, X * ) (l, X * ) / (l 1, X * ) ,

где l – номер итерации; 0 – заданное значение. При этом минимальное число датчиков определяется из условия существования единственного решения анализируемой граничной ОЗТ. В результате строится план эксперимента, при котором обеспечивается максимальная точность восстановления плотностей тепловых потоков на обеих границах пластины.

Рассмотрим особенности вычислительного алгоритма решения задачи оптимизации (4.12). Для определения элементов информационной матрицы (4.10) требуется вычислить функции чув-

ствительности k (x, ), k 1, M . С этой целью решаем М краевых задач, полученных после дифференцирования исходной задачи (4.1) – (4.4) по всем параметрам ak , k 1, M . В рассматриваемом случае краевые задачи для функций чувствительности имеют вид

41

где rj – символ Кронекера.

Необходимо отметить, что функции чувствительности и, сле-

довательно, оптимальный план измерений * зависит от вектора неизвестных параметров a. Это связано с тем, что поле температур

задачи (4.1) – (4.4), нелинейно зависит от неизвестных параметров. В этих условиях возможно построение только приближенных ло- кально-оптимальных планов с использованием априорной инфор-

мации о значениях параметров ak , k 1, M [16, 22].

Краевые задачи (4.13) – (4.16) – линейные. Для их решения необходимо знатьполе температур T ( x, ) , поэтому задачи решают

42

совместно с исходной (4.1) – (4.4) при заданных оценках неизвестных параметров. Решение указанных краевых задач осуществляется численно с применением либо метода конечных разностей [6], либо метода конечных элементов [19, 20].

Для поиска оптимального вектора координат термодатчиков X при фиксированном их числе N из условия (4.12) используется метод сканирования [23] на заданной пространственной сетке. Процедура поиска заключается в последовательном вычислении и сравнении значений критерия (4.9) в узлах сетки. В результате определяется глобальный экстремум критерия и с точностью до половины шага сетки вычисляется оптимальный вектор X [24].

При проведении реального эксперимента действительные координаты пространственного расположения датчиков могут отличаться от оптимальных значений, например, из-за неточности установки, поэтому наряду с выбором оптимальных планов измерений необходимо проводить анализ чувствительности кри-

терия (4.9) к возможным вариациям координат Xi, i =1, N . Данный анализ базируется на исследовании зависимостей критерия оптимальности от положения одного i-гo датчика ( X i ), i 1, N , при

фиксированныхзначениях координатустановкиостальных. Анализ чувствительности следует рассматривать как неотъемлемую часть задачи оптимального планирования. Он позволяет выделить области предпочтительной установки термодатчиков, а также область, где чувствительность системы стремится к нулю, и экспериментальной информации недостаточно для решения ОЗТ с требуемой точностью [24].

При использовании приведенной методики необходимо исследовать вопросы, связанные с выбором базисных функций при аппроксимации искомых характеристик и метода оптимизации. Для решения обратной граничной задачи теплопроводности и задачи планирования измерений требуется разработать программный комплекс. Выполнить вычислительный эксперимент на модельной задаче [24] и анализ чувствительности.

43

ЛИТЕРАТУРА

1.Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир,1988.

2.Крысько В.А., Павлов С.П. Оптимизация формы термоупругих тел. Саратов: Изд-во СГТУ, 2000.

3.Городецкий Ю.И. Функции чувствительности и динамика сложных механических систем. Н. Новгород: Изд-во НГУ, 2006.

4.Артюхин Е.А. Анализ чувствительности и планирование экспериментавзадачахидентификациипроцессовобобщеннойтеплопроводности /

Всб. «Тепломассообмен– 7». Минск: ИТМОАНБССР, 1984. Т. 7. С. 81–85.

5.Бушуев А.Ю., Горский В.В. // Инженерно-физический журнал. 1991.

Т. 61, № 6. С. 1014–1018.

6.Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

7.Сиразетдинов Т.К. Методы решения многокритериальных задач синтеза технических систем. М.: Машиностроение, 1988.

8.Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых задач оптимизации. М.: Наука,

1968.

9.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.

М.: Наука, 1986.

10.Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во ЛКИ, 2007.

11.Соболь И.М. Многокритериальная интерпретация метода регуляризации некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1986. Т. 26, № 6.

12.Бойко О.А., Зеркаль С.М., Иткина Н.Б. Применение методов планирования эксперимента при решении обратных коэффициентных задач теплопереноса // Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН. Препринт № 125, янв. 2004.

13.Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатулев В.А. Планирование экспери-

мента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977.

14.Денисов В.И., Попов А.А. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. М.: Финансы и статистика, 1986.

15.Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М.: Машиностроение,1979.

44

16.Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.

17.Романовский М.Р. О концептуальных алгоритмах анализа экспериментальных данных // Инженерно-физический журнал. 1980. Т. 34, №2.

С. 236–241.

18.Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006.

19.Будачова Я. Метод конечных элементов для решения некоторых задач теплопроводности // Инженерно-физический журнал. 1977. Т. 33,

№4. С. 127–134.

20.Замула Г.Н., Иванов С.Н., Тесленко С.Ф. Применение метода ко-

нечного элемента для расчета нестационарных температур в сечении тонкостенных конструкций // Ученые записки ЦАГИ. 1982. Т.XIII, № 1.

С. 47–56.

21.Алифанов О.М, Михайлов В.В. Определение тепловых нагрузок по данным измерений температуры в твердом теле // Теплофизика высоких температур. 1983. Т. 21, № 5. С. 944–951.

22.Успенский А.Б. Обратные задачи математической физики – анализ и планирование экспериментов / В кн.: Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск: Наука, 1981. С. 199–242.

23.Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. М.: Химия, 1975.

24.Артюхин Е.А., Будник С.А. Оптимальное планирование измерений при расчетно-экспериментальном определении характеристик теплового нагружения // Инженерно-физический журнал. 1985. Т. 49, №6. С. 971–976.

45

46

Учебное издание

Бушуев Александр Юрьевич

Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами

Часть 1

Редактор В.М. Царев

Корректор О.В. Калашникова

Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой

Подписано в печать 06.06.2011. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,79. Тираж 300 экз. Изд. № 27. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.

Для заметок