Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами. Ч. 1 (120

2.ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

ВЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ДВУХСЛОЙНОГО ТЕПЛОЗАЩИТНОГО ПОКРЫТИЯ

Вразд. 1 задача синтеза многослойных конструкций с применением ФЧ была решена в упрощенной постановке, когда определялись толщины слоев из условия обеспечения равенства температур в контролируемых точках пакета предельно допустимым. Такое решение требует проверки на оптимальность с точки зрения получения конструкций минимальной массы. С целью исследования этого вопроса необходимо иметьметод решения задачи синтеза многослойной конструкции в экстремальной постановке. Кроме того, задача оптимизации многослойных конструкций по различным ограничениям в инженерной практике имеет самостоятельное значение. Рассмотрим один из методов решения таких задач на примере.

Требуется подобрать толщины слоев теплозащитного покрытия (ТЗП) так, чтобы минимизировать массу пакета при выполнении ограничений на температуры в контролируемых точках пакета между слоями.

Для решения задачи синтеза в экстремальной постановке рассмотрим сначала так называемую основную задачу проектирования (ОЗП), аналогичную основной задаче управления [7], состоящую в том, чтобы обеспечить условие работоспособности конструкции – температуры на границах слоев не больше предельно допустимых

руемый слой; n – число варьируемых слоев (контролируемых

стыков); ˆ – предельно допустимые значения температур на гра-

Ti

ницах слоев, i 1,n.

11

При этом температурное поле в конструкционном пакете определяется из решения краевой задачи вида

Граничные условия определяют заданием зависимостей для тепловых потоков, подводимых к поверхностям w и v КП в виде

ления газового потока на граничной поверхности w КП, Дж/кг;

начальная температура КП; T1 1073 К, T2 343 К.

Параметры теплообмена во времени, определяющие граничный тепловой поток qw приведены в табл. 2.1.

Постоянные теплофизические свойства материалов, показаны в табл. 2.2. Там же указано начальное приближение для толщин варьируемых слоев и толщина неварьируемого слоя.

В табл. 2.3 приведены теплофизические свойства материалов, зависящих от температуры.

12

Таблица 2.1

Зависимость параметров теплообмена от времени

и ищем (k + 1)-е решение ОЗП при следующем начальном приближении для искомого вектора:

h(k 1) h(k) gradM ,

где – параметр, регулирующий длину шага вдоль направления gradM .

Итерационный процесс заканчивается на итерации, когда выполняется условие

(где – заданная точность решения задачи) либо когда нарушится

условие (2.1).

Данным способом решения задачи получены оптимальные толщины слоев ТЗП (мм):

Решение проверено методом штрафных функций с использованием метода -преобразования [8]:

3.ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

ВЗАДАЧЕ ОДНОВРЕМЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОСЛОЙНОЙ КОНСТРУКЦИИ

Ниже рассмотрим основные разделы расчетно-пояснительной записки к дипломной работе.

Введение

Данный раздел расчетно-пояснительной записки (РПЗ) обычно содержит краткое обоснование темы, ее актуальность и обзор выполненных исследований с критическим анализом.

15

Возможен и другой вариант, когда обзор литературы разбросан по главам, но тогда в каждой главе должно быть введение, заключение (основные полученные результаты).

Создание современных образцов техники в таких отраслях, как ракетостроение, космонавтика, авиастроение и других, требует решения широкого круга теплофизических задач. Среди них исследования возможностей практического применения высокотемпературных конструкционных и теплозащитных композиционных материалов. При интенсивном нагреве в таких материалах происходят сложные процессы, которые могут оказывать существенное влияние на теплофизические характеристики материала. В связи с этим возникает необходимость их идентификации.

Одним из подходов к решению проблемы идентификации теплофизических характеристик является процедура решения обратной коэффициентной задачи с использованием данных экспериментальных исследований. Предполагается, что структура математической модели задана, но ее коэффициенты известны неточно. Требуется по измерениям температуры во внутренних точках исследуемого объекта и известному потоку теплоты или температуре на границе определить неизвестные коэффициенты математической модели. Решение часто сводится к процедуре минимизации некоторого функционала, определяющего критерий выбора искомых коэффициентов из множества возможных значений. Однако полученная задача не является устойчивой к погрешностям измерений [9], поэтому значение целевого функционала вблизи точки минимума не убывает, а совершает резкие скачки. Значение целевого функционала вблизи точки минимума будет убывать, если минимизировать сглаживающий функционал, который получают прибавлением к исходному некоторого стабилизирующего функционала, умноженного на параметр регуляризации [10]. Параметр регуляризации определяется по некоторой априорной информации, например по известному уровню погрешности измерений. Описанный метод решения характеризуется большими вычислительными затратами, поскольку для выбора параметра регуляризации требуетсямногократноерешение задачиминимизации. Существует другой подход, основанный на многокритериальной оптимизации [11]. В этом случае стабилизирующий функционал выбирают в качестве второго независимого критерия. Тогда множество всевозможных регуляризированных решений будет принадлежать множеству эффективных точек двухкритериальной задачи.

16

Измерение любой экспериментальной величины всегда происходит при воздействии некоторых помех, которые никогда не могут быть устранены полностью, поэтому для эффективного использования экспериментальных данных необходимо оптимальным образом организовывать эксперимент. Тогда цель планирования эксперимента состоит в выявлении получаемых результатов, оптимальных с точки зрения достоверности и точности [12, 13]. В отличие от задач статики планирование эксперимента для динамических задач располагает более широкими возможностями в отношении способов воздействия на точность оценок параметров. В самом простом варианте управление экспериментом может осуществляться путем выбора оптимальных моментовизмерений [14].

Концептуальная постановка задачи

В данном разделе РПЗ формулируется физическая модель исследуемого объекта, рассматриваются условия его функционирования, вводятся основные допущения и обозначения, определяется, что дано и надо найти.

Необходимо рассчитать теплофизические характеристики (ТФХ) материалов многослойной пластины (рис. 3.1) по результатам измеренийтемпературывзаданныхточках. Функциональныезависимости

1-й слой

1 , c 1 , 1 , d 1

r-й слой

r ,c r , r , d r

n-й слой

n , c n , n , d n

Tc , c

Рис. 3.1. Многослойная пластина бесконечной площади

17

коэффициентов теплопроводности и теплоемкости материалов считать известными и заданными в виде некоторых функций температуры. Для эффективного использования экспериментальных данных построитьоптимальную схемуэксперимента.

Известны:

условия эксперимента:

–температура или поток теплоты на границах многослойной конструкции;

–коэффициент теплообмена и температураокружающей среды;

–начальное распределение температуры;

вид функциональных зависимостей ТФХ;

экспериментальные данные (измерения температуры в заданных точках пространства и времени).

Допущения:

распространения теплоты происходит только по толщине пластины;

в ходе нагрева потеря массы пластины за счет разрушения ее материалов не происходит.

Математическая постановка задачи и метод решения

В данном разделе РПЗ формулируется общая математическая модель (ММ) исследуемого объекта. Под ММ понимается совокупность положений, допущений, приводящая к некоторой системе соотношений, представляющей интерес с точки зрения численного решения. Здесь же проводится анализ ММ, разработка метода решения поставленной задачи, а также рассматриваются способы уточнения ММ.

ММ задачи идентификации. Рассмотрим процесс нестационарного нагрева многослойной пластины бесконечной площади. На одной из поверхностей пластины осуществляется конвективный теплообмен с потоком воздуха, для другой поверхности известна зависимость температуры от времени или она предполагается идеально теплоизолированной.

Считается, что процесс распространения теплоты происходит только по толщине пластины. В ходе нагрева потеря массы пластины за счет разрушения материалов незначительна.

Тогда процесс распространения теплоты описывается математической моделью в виде краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в одномерной постановке:

18