Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами. Ч. 1 (120

Вариационный метод решения поставленной задачи. Постав-

ленную задачу можно представить в виде операторного уравнения

вектор измерений.

Согласно [8, 9], вариационный метод решения задачи (3.5) состоит в минимизации сглаживающего функционала

где – расстояние в пространстве; 0 – параметр регуляризации, значение которого согласуется с погрешностью задания правой части ; a – стабилизирующийфункционал, позволяющий

выделить ограниченное решение.

Параметр регуляризации можно выбрать по невязке. В этом случае в качестве определяющего уравнения используют равенство

где – погрешность задания правой части.

Заметим, что невязка зависит от параметра , т. е.

A a ,u .

Тогда нахождение параметра регуляризации состоит в соответствии с (3.7) в решении уравнения

Дляприближенногорешенияуравнения(3.8) можноиспользовать следующую численную процедуру. Выбираем последовательность

k 0qk , q 0, и проводим вычисления начиная с k 0 до некоторого k K1 , при котором равенство (3.8) выполняется с неко-

21

торой точностью. При таком определении параметра регуляризации требуется K1 1 вычислений невязки.

Идентификация как задача со многими критериями. Постав-

ленную задачу можно сформулировать в терминах многокритериальной оптимизации.

Основные понятия задач со многими критериями.

которые необходимо оптимизировать. Тогда многокритериальная задача примет вид (для простоты считаем, что все функции необходимо минимизировать)

Ф1 a min, ...,Фk a min, a G. (3.9)

Функции Ф1 a , ...,Фk a называют целевыми, или критериями эффективности; G – пространствомпараметров. Заметим, чтокаждой точке a соответствует векторная оценка Ф1 a , ..., Фk a . Мно-

жество Ф G называют множеством векторных оценок, или про-

странством критериев.

Будем говорить, что точка a G безусловно лучше, чем точка a G , если верны неравенства Фi a Фi a , 1 i k , и хотя бы

одно из них является строгим. Точка a G называется эффективной (недоминируемой, паретовской, π-оптимальной), если не

существует точки a G, безусловно лучшей чем a .

В общем случае многокритериальная задача (3.9) не определяет единственного решения. Смысл имеет множество эффективных

точек E. В пространстве критериев ему соответствует Ф E –

множество оптимальных векторных оценок, или множество Парето. В случае двух критериев множество Парето называется компромиссной кривой.

Многокритериальная интерпретация. Существует теорема [11], которая утверждает, что решение задачи (3.6) при0 принадлежит множеству эффективных точек двухкритериальной задачи

22

Такимобразом, решениезадачи(3.10) позволяетсразувыделить множество, содержащее всевозможные решения (3.6) для разных значений .

Для нахождения единственного решения необходимо фиксировать . Выбирая параметр регуляризации по невязке, согласно (3.7), получим определяющее соотношение

A a ,u ,

где – величина, которую по норме не превосходит погрешность правой части; u – решение (3.6). Тогда в наших обозначениях это условие примет вид

Таким образом, решение поставленной задачи состоит из двух этапов: построение множества эффективных решений задачи (3.10) и выбор среди построенного множества решения задачи по фор-

муле (3.11).

Планирование эксперимента. Использование в теплофических исследованиях методов решения обратных задач теплообмена [15] требует не только создания эффективных вычислительных алгоритмов. Большое значение имеет также планирование эксперимента с целью выявления оптимальных с точки зрения достоверности и точности результатов. При этом решают две задачи: во-первых, оптимизацию (с точки зрения максимальной достоверности информации) схемы проведения физического эксперимента; во-вторых, оптимизацию вычислительного эксперимента, т. е. построение вычислительного алгоритма с учетом информации, полученной в результате планирования эксперимента.

Для решения задачи идентификации ТФХ материалов планирование эксперимента в самом простом варианте может представлять выбор оптимальных моментов измерения.

Под планом измерений будем подразумевать совокупность величин t j j 1, N – моментов наблюдения и соответствующих им

весов наблюдения p j j 1, N :

23

При построении экспериментальных планов часто используют критерии оптимальности, связанные с видом информационной матрицы Фишера, которая характеризует суммарную чувствительность анализируемой системы во всех точках измерения к вариациям всех составляющих вектора искомых параметров.

Один из таких критериев – критерий D-оптимальности, определяющий такую схему измерений, при которой суммарная чувствительность системы максимальна. Соответственно план измерений может быть определен из условия максимума определителя нормированной информационной матрицы или минимума дисперсионной матрицы, т. е.

где A – оператор моделирования прямой задачи; em – шум измерений; um – измеряемая величина; a – набор неизвестных пара-

метров.

Тогда оценкой для информационной матрицы Фишера будет матрица [16]

Таким образом, информационная матрица зависит от значения параметров a, поэтому априорное планирование экспери-

мента невозможно, так как оптимальный план зависит от

24

истинных значений параметров a , которые не могут быть известны при планировании. Такие оптимальные планы называют

локально-оптимальными.

Планирование эксперимента при нелинейной параметризации заключается в отыскании оптимальных условий для уточнения неизвестных параметров, начальные значения которых заданы. Если эти априорные данные неизвестны, то никакое планирование эксперимента невозможно.

Метод решения задачи. Поставленную задачу будем решать в два этапа. Сначала построим для задачи (3.1) – (3.3) множество эффективных точек E. Затем среди этого множества выберем точку, удовлетворяющую уравнению

Ф1 a ,

где – величина, которую по норме не превосходит погрешность

правой части. Тогда a и будет решением задачи. При численном решении следует выбирать точку, наиболее приближенную к величине .

ные наблюдения температуры в точках конструкции xm 0,l ,

m 1, M , то в качестве критерия отбора Ф1 a можно выбрать сумму относительных ошибок в каждой точке измерений:

В качестве стабилизирующего функционала воспользуемся [17]

Na

Ф2 a a ai2 .

i 1

Построим множество эффективных точек. Для этого выберем метод [18], в основе которого лежит численное исследование

25

(зондирование) пространства параметров G . В качестве пробных точек используем точки равномерно распределенных последовательностей. Для этой цели применим ЛП -последовательности.

Следует отметить, что использованный метод позволит отобрать приближенно эффективные точки.

Пространство параметров. Пространством параметров называется Na -мерное пространство, состоящее из точек A с де-

картовыми координатами a1,..., aNa . Таким образом, каждой точке A пространства параметров соответствует конкретный набор параметров a1, ..., aNa и наоборот.

Как правило, можно указать разумные пределы изменения каждого параметра, которые называют параметрическими ограничениями,

Поскольку метод основывается на зондировании этого параллелепипеда конечным числом пробных точек, без необходимости расширять границы (3.14) не рекомендуется – возрастает объем, и для просмотра может потребоваться больше точек.

Выбор пробных точек. Для выбора пробных точек используют точки ЛП -последовательности Q0 ,Q1, ,Qi , , све-

дения о которых изложены в [18]. По декартовым координатам очередной точки Qi qi,1, , qi,Na вычисляют декартовы коор-

динаты точки A(i) a1(i) , , aN(ia) , принадлежащей пространству параметров,

Aji bj1 bj2 bj1 qi, j , j 0, Na .

Множество оптимальных по Парето точек E в двухмерном пространстве критериев называют компромиссной кривой.

Для задачи минимизации компромиссная кривая строго убы-

извольные точки, принадлежащие компромиссной кривой. Тогда,

26

промиссная кривая не содержит ни горизонтальных, ни вертикальных отрезков и соединяет точки абсолютных минимумов

функций Φ1(a) и Φ2 (a) . Это свойство можно использовать при

поиске эффективных точек.

Алгоритм ЛПпоиска. Исследование проводится в четыре этапа.

На первом последовательно выбирают NQ пробных точек

A 1 , ..., A NQ , равномерно распределенных в пространстве пара-

метров. В каждой из пробных точек вычисляют значения критериев

Φ1 A i , Φ2 A i .

На втором этапе исследователь после просмотра значений критериев в пробных точках назначает критериальные ограничения – худшие значения критериев, которые он считает приемле-

На третьем этапе путем перебора вычисленных значений критериев проверяют непустоту пространства параметров, т. е. существование среди этих точек хотя бы одной, значения критериев которой удовлетворяют заданным ограничениям. Если такая точка не существует, следует вернуться ко второму этапу и потребовать уступок на критериальные ограничения. Если же такие уступки невозможны, необходимо увеличить число пробных точек. На этом шаге также убирают из рассмотрения точки, значение хотя бы одного критерия которых не удовлетворяет критериальному ограничению.

На четвертом этапе выбирают эффективные точки. Выбор основывается на отсеивании заведомо неэффективных точек. Для чего фиксируют одну точку из пространства параметров и сравнивают с оставшимися, исключают все точки, которые, безусловно, хуже фиксированной. Далее фиксируют новую точку, и процесс отсеивания заведомо неэффективных точек повторяется.

Данный метод позволяет решать задачи с любым числом критериеввпространствепараметров, размерностькоторогонедолжна превышать нескольких десятков, количество функциональных ограничений не должно быть очень большим.

Построение ЛП -последовательности подробно описано в [18].

27

Определение функций чувствительности

Для решения задачи планирования эксперимента необходимо определить ФЧ . Определение ФЧ как решение дифференциальной задачи, полученной из уравнений (3.1), точнее, чем решение, полученное посредством различных схем аппроксимации .

Выберем функциональную зависимость ТФХ на каждом слое в виде

Уравнения для функций чувствительности. Уравнения тепло-

переноса для поставленной задачи имеют вид краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности

28