Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами. Ч. 1 (120

Сформируем вектор функций чувствительности

32

Таким образом, получили общую краевую задачу для ФЧ. Задачи определения температурного поля в конструкции и ФЧ

решают с помощью метода конечных разностей или метода конечных элементов [19, 20].

При численной реализации данных методов полезно выполнить математическое исследование. В частности, изучить вопросы аппроксимации и устойчивости.

Численный метод поиска оптимальных планов

Стратегия последовательного планирования. Планирование эксперимента при нелинейной параметризации заключается в отыскании оптимальных условий для уточнения неизвестных параметров, начальные значения которых заданы. Если эти априорные данные неизвестны, то никакое планирование эксперимента невозможно.

В зависимости от вида априорной информации существует несколько стратегий проведения эксперимента и выбора оптимального плана. Рассмотрим стратегию последовательного планирования. Ее суть состоит в том, что вся совокупность экспериментов делится на группы, состоящие как минимум из одного

эксперимента. По известным оценкам a j после проведения j наблюдений планируют j 1 -й эксперимент, оптимизирующий свойства F a j , j , а затем эти результаты используют для уточ-

нения a j , т. е. получения a j 1 .

Процедура построения D-оптимального плана. Область пла-

нирования представляет собой фиксированное множество X из K точек (число измерений во времени). Выберем план * с N K ,

доставляющий максимум det F . Задача может быть решена перераспределением дискретной вероятностной меры p среди точек

множества X . Алгоритм решения состоит из следующих этапов:

33

2) формирование матрицы однократных наблюдений

M tk a j ,tk T a j ,tk ,

где T a – ФЧ;

3) вычисление информационной матрицы Фишера

M

F pk M (tk );

k1

4)поиск на множестве X точки

5) поиск среди точек плана точки

6)получение плана s 1 заменой точки t**j на точку t*j ;

7)при det F s det F s 1 останов; иначе s s 1 , переход к этапу 2.

Моделирование измерений температуры

Для решения модельных задач необходимо смоделировать результаты измерений в точках наблюдения. Для этого наложим на решение прямой задачи относительную погрешность.

Нормально распределенная погрешность. Моделировать слу-

чайные числа из нормального распределения N(0,1) будем на ос-

нове центральной предельной теоремы с помощью равномерного распределения R(0,1) (поскольку генераторслучайных равномерно

распределенных на отрезке [0,1] чисел встроен почти во все со-

34

временныеязыкипрограммирования). Формуладлямоделирования имеет вид

где N(0,1) ; R(0,1) ; n – параметр моделирования.

Тогдамодельвозмущенных наблюдений um (t j ) будутиметьвид

ˆ

u xm ,t j T xm ,t j 1 ,

где ˆ – относительная погрешность наблюдений.

Периодическая погрешность. Она формируется наложением на модельное решение некоторой периодической функции. Модель наблюдений, возмущенных подобным образом, может иметь следующий вид:

Сдвиг. Возмущенные наблюдения, полученные с помощью сдвига модельного решения, рассчитывают по формуле

u xi ,t j T xi ,t j 1 ˆ .

Общая схема программного комплекса

Для решения поставленной задачи требуется разработка программного комплекса.

Алгоритм работы программного комплекса в общем виде представлен на рис. 3.2.

Алгоритм подпрограммы построения оптимальной схемы измерений представлен на рис. 3.3. На данном этапе решения из известного дискретного множества возможных наблюдений выбирается D-оптимальная схема измерений со спектром заданной длины.

35

Множествовозможных измерений, число измерений

Оптимальная схема измерений

Рис. 3.3. Блок-схема подпрограммы построения оптимальной схемы измерений

погрешности, схемы измерений, степени полинома – аппроксимацииТФХ. Крометого, можновыполнитьисследования, связанныес построением другого плана измерений. Например, в виде

где x j j 1, N – координатыточекрасположениятермодатчиков.

37

должительность процесса; q1( ), q2 ( ) – плотности тепловых по-

токов на левой и правой границах пластины соответственно. Граничная ОЗТ заключается в определении плотности тепло-

вого потока на одной из границ, например q1( ), или одновременно на обеих границах – q1( ) и q2( ) с использованием математической модели (4.1) – (4.4) и по данным измерений температуры в некотором ограниченном количестве N точек пластины с координатами

x Xi , i 1, N :

Tэксп( Xi , ) fi ( ), i 1, N, (4.5)

где fi ( ), i 1, N, – экспериментально измеренные температуры; N

– число термодатчиков.

Эффективные итерационные вычислительные алгоритмы восстановления указанных характеристик предложены в работах [15, 21], в которых приближенное решение обратной задачи определяется из условия невязки:

где Т (х, ) – температура, рассчитанная с помощью математической модели (4.1) – (4.4) при фиксированных тепловых нагрузках;

измерений; 2(Xi, ) – дисперсия погрешности измерения температуры в точке с координатой х = Хi.

Из условий единственности решения граничной обратной задачи для восстановления одной функции достаточно осуществить нестационарное измерение температуры в одной пространственной точке. Для восстановления двух характеристик минимально необходимой экспериментальной информацией является измерение температуры в двух точках [15]. Большее число термодатчиков приводит к переопределенной постановке ОЗТ.

39

Введем параметризацию неизвестных характеристик в виде

j 1

где qr(x) – искомая характеристика; r = 1, 2 – номер границы, на которой восстанавливается характеристика; brj ( ) – система ба-

зисных функций.

Тогдаобратнаязадачасводитсякопределению(оценке) вектора параметров a ak 1M , М = т1 + т2, в состав которого включены

коэффициенты параметрического представления восстанавливаемых (одной или двух) функций. Если на r-й границе плотность теплового потока не восстанавливается, то mr = 0.

Сформулируем теперь задачу оптимального планирования измерений. Для этой цели введем в рассмотрение план эксперимента

k 1, M , – функции чувствительности.

Матрица F( ) характеризует суммарную чувствительность системы в точках измерения Хi, i 1, N , к малым вариациям всей совокупности параметров ak, k 1, M . Требуется найти такой план

40