Распространение монохроматических волн в нелинейных средах (110
..pdfпрерывно путём плавного изменения температуры, ориентации кристалла или внешнего электрического поля.
Эффект параметрического усиления будет тем больше, чем больше амплитуда поля основной частоты , или чем больше длина нелинейного кристалла. Увеличение длины кристалла можно имитировать, помещая кристалл внутрь открытого резонатора. Тогда излучение на обеих частотах и или на одной из них, периодически отражаясь от зеркал, будет проходить через кристалл неоднократно, каждый раз усиливаясь. За время
волны пройдут как бы через нелинейную среду толщиной эфф |
|
|
(уменьшение длины в два раза связано с тем, что волны, бегущие |
навстречу |
|
|
/2 |
|
основной волне, не усиливаются). Подставляя величину эффективного
пройденного расстояния |
эфф в формулу (4.26), находим закон нарастания |
|||
параметрических колебаний света в открытых резонаторах |
|
|||
|
|
|
|
(4.33) |
При условии |
наступает параметрическая генерация света: амплитуды |
|||
| |
|~ |
. |
|
|
усиливаемых волн растут экспоненциально во времени. Частоту параметрического генератора света можно плавно перестраивать, как и в случае параметрического усиления бегущих световых волн (4.32).
5. Самовоздействие волн. Нелинейная дисперсия и нелинейное поглощение
В среде с нелинейностью нечётного порядка (третьего, пятого и высшего порядков) происходит самовоздействие волн. Если в материальном уравнении просуммировать все нелинейные члены, ответственные за самовоздействие, например, электромагнитных волн, можно ввести нелинейную диэлектрическую проницаемость (см. (1.24))
нл | | , |
(5.1) |
31
где |
– диэлектрическая |
проницаемость линейной среды при |
|
, |
|||
нл |
|
|
|
|
являющаяся, |
||
нелинейная добавка, |
зависящая от интенсивности поля и |
|
0 |
|
|||
вообще говоря, комплексной величиной, нл |
нл |
нл. |
|
|
|
||
|
На нечётных нелинейностях будут возбуждаться нечетные гармоники, |
||||||
однако при отсутствии фазового синхронизма они, как мы видели на примере генерации второй гармоники, будут слабыми и ими можно пренебречь.
|
Если среда слабо нелинейная, |
|
|
|
|
|
и слабо поглощающая, |
||||||||||||||||||
|волн| |
, то для описания самовоздействия| нл| |плоских|, |
монохроматических |
|||||||||||||||||||||||
можно| | |
воспользоваться методом медленно меняющихся амплитуд. |
||||||||||||||||||||||||
Для этого запишем волновое уравнение |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нл |
|
|
|
|
(5.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Раскрывая дифференциальный оператор, получаем (см. (2.13)) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
нл e |
|
|
0. |
(5.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Производя дифференцирование и учитывая, что |
|
|
|
0 |
, приходим к урав- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
нению: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нл |
|
|
(5.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя |
в |
(2.14) |
соотношения |
|
|
|
|
|
, |
|
а также, |
учитывая, что |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
нл |
нл |
нл и производя преобразования, получаем |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
нл |
|
нл |
. |
|
|
|
(5.5) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Перейдём от комплексной амплитуды к действительной амплитуде: |
|
. |
(5.6) |
|
32
Здесь ψ – добавка к эйконалу плоской волны из-за нелинейности среды. Подставляя (5.6) в (5.5), получаем
2 |
2 |
нл |
нл . |
(5.7) |
Приравнивая отдельно действительную и мнимую части, получаем
, |
л |
нл, |
(5.8) |
2 |
, |
|
|
нл |
|
|
(5.9) |
где – коэффициент линейного и нелинейного поглощения,
л |
2 |
, |
нл |
2 |
нл |
. |
(5.10) |
Рассмотрим эффекты, связанные с действительной и мнимой частями нелинейной диэлектрической проницаемости.
Нелинейная дисперсия. Пусть затухание волны мало, так что можно положить α 0. Тогда из (5.8) следует, что , а из (5.9) находим
|
|
|
|
|
|
|
|
нл |
|
|
|
, |
|
|
|
(5.11) |
|
и полное волновое поле можно |
записать в виде |
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
нл |
|
|
|
|
нл |
, |
(5.12) |
||||
Из |
нл |
⁄2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
где нл |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(5.12) видно, что вследствие нелинейности действительной части |
||||||||||||||||
диэлектрической |
проницаемости |
нл |
|
изменилось |
волновое число, а, |
||||||||||||
следовательно, и фазовая скорость волны |
л |
1 2 . |
|
||||||||||||||
|
нл |
|
|
|
нл |
1 |
|
2нл |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нл |
|
(5.13) |
33
Причём в среде с |
|
волн замедляется, а в среде с |
|
убыстряется |
по сравнению со |
случаем линейной среды. Так как нелинейная часть ди- |
|||
0 |
|
0 |
|
|
электрической проницаемости может зависеть от частоты по-другому закону, чем её линейная часть, то при изменении амплитуды волны изменяются дисперсионные свойства нелинейной среды.
Нелинейное поглощение. Рассмотрим противоположный случай, когда поглощение в среде велико. Тогда в первую очередь необходимо проанализировать характер затухания амплитуды на основе решения уравнения (5.8)
нос учётом (5.10). В линейной среде |
нл |
л |
0, и волна затухает экспоненциаль- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
мало, л |
|
(5.14) |
||
Предположим теперь, что линейное поглощение. |
, |
а при описа- |
||||||||||
нии |
нелинейного поглощения |
учтём |
только |
первый |
член |
разложения |
||||||
0 |
|
|||||||||||
нл |
) по полю, т.е. положим нл |
|
|
и |
|
|
|
|||||
|
нл |
|
|
|
|
. |
|
|
|
(5.15) |
||
Решая уравнение (5.8), с учётом |
л |
2 |
0 и нл из (5.15), находим |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(5.16) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда видно, что в среде с нелинейным поглощением волна с большей
амплитудой затухает быстрее. Тем не менее, на расстояниях |
|
|
, |
|||||
т.е. в |
зоне поглощения, |
амплитуда |
не зависит |
от величины |
поля на |
|||
⁄ |
|
|||||||
це: |
⁄ |
. Таким |
образом, |
достаточно |
толстая |
нелинейно- |
||
|
||||||||
поглощающая пластина может быть использована как ограничитель интенсивности волн, проходящих через неё.
34
Литература
1.Виноградова М.Б. Теория волн [Текст] / М.Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. – М. : Наука, 1979. – 384 с.
2.Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред [Текст] / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М. : Наука, 1982. – 621 с.
3.Бломберген Н. Нелинейная оптика [Текст] / Н. Бломберген. – М. :
Мир, 1966. – 424 с.
4.Цернике Ф. Прикладная нелинейная оптика [Текст] / Ф. Цернике, Дж. Мидвинтер. – М. : Мир, 1976. – 261 с.
5.Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны [Текст] / Дж. Уизем. – M. : Мир, 1977. – 622 с.
6.Гольдштейн В.А. Электромагнитные поля и волны [Текст] / В.А. Гольдштейн. – М. : Наука, 1993. – 362 с.
7.Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн [Текст] / В.В. Никольский. – М. : Наука, 1989. – 543 с.
35
Учебное издание
Аверина Лариса Ивановна, Лещинский Андрей Анатольевич
РАСПРОСТРАНЕНИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Учебное пособие для вузов
Редактор И. Г. Валынкина
Подписано в печать 12.04.2011. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 50 экз. Заказ 1605.
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс) +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@typ.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско–полиграфического центра Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33