Распространение монохроматических волн в нелинейных средах (110

Максимум амплитуды второй гармоники на этой длине равен:

2

, | |. (3.15)

Пользуясь простыми формулами, полученными выше, можно дать ответ на важный вопрос в теории нелинейных волн: при какой дисперсии амплитуда второй гармоники остаётся много меньше амплитуды основной волны, т.е. при какой дисперсии нелинейный процесс генерации второй гармоники является слабым. Потребовав, , , находим из (3.15) условие,

налагаемое на сильную дисперсию нелинейной среды:

Последнее неравенство имеет фундаментальное значение, так как оно позволяет дать количественную характеристику сильно диспергирующей нелинейной среды (по отношению к взаимодействию волн). Если выполняется обратное неравенство

то среда является слабо диспергирующей и возможно эффективное возбуждение гармоники с большой амплитудой, порядка начальной амплитуды основного излучения . Неравенства (3.16) и (3.17) можно обобщить и на случай генерации высших гармоник.

Когда амплитуда второй гармоники становится сравнимой с амплитудой основной волны, приближение заданного поля непригодно и

21

необходимо решать полную систему уравнений (3.3) и (3.4). Для удобства представим комплексные амплитуды в виде:

(3.18)

, 1,2.

Подставляя (3.18) в уравнения (3.3) и (3.4), получаем:

, (3.19)

. (3.20)

Приравнивая действительные части, получаем:

торые являются интегралами движения для взаимодействующих волн:

ность – уровня 0,58. Из рисунка видно, что при точном согласовании скоростей основной волны и второй гармоники можно получить в принципе при

этом, показывает, что в случае слабой дисперсии (см. условие (3.17)) амплитуда второй гармоники может достигать максимума, почти равного . Если дисперсия велика, то решение аналогично полученному ранее в приближении заданного поля (3.10).

4. Распадная неустойчивость волн. Параметрическое усиление и генерация

Продолжим рассмотрение нелинейных эффектов в среде с квадратичной нелинейностью. В общем случае в одном процессе взаимодействия в такой среде могут участвовать одновременно три волны с частотами

(трёхчастотное взаимодействие), причём

имеют амплитуды и волновые векторы, равные (см. (1.14), (1.15) и (2.11))

24

гармоники, консервативность взаимодействия волн (см. (3.7)). Чтобы показать это, запишем уравнения (4.5)–(4.7) в виде

Видно, что правые части уравнений (4.8) и (4.9) равны между собой и равны комплексно сопряжённой правой части уравнения (4.10), взятой со знаком «–», поэтому можно приравнять левые части уравнений

Следствием этих соотношений является закон сохранения полной энергии:

. (4.14)

25

Проведём качественный анализ возможных режимов взаимодействия с помощью соотношений Мэнли – Роу и укороченных уравнений (4.5)–(4.7).

Сначала выясним характер энергообмена между волнами. Из соотношений (4.13) можно сделать следующий важный вывод. Если энергия

ствия существенным образом сказывается на поведении волн. Предположим, что одна из трёх волн намного интенсивнее других.

Рассмотрим два различных случая: мощная высокочастотная волна частоты и мощная низкочастотная волна частоты или .

Низкочастотная мощная волна. В соответствии с соотношениями Мэнли – Роу (4.13) квадрат амплитуды (плотность энергии) низкочастотной волны можно выразить следующим образом:

. (4.15)

В результате взаимодействия волн эта величина будет изменяться следующим образом

значительно. Это говорит об устойчивости распространения волны, имеющей самую низкую или среднюю частоту среди трёх взаимодействующих волн.

Из соотношений (4.13) можно найти возможный размах периодических колебаний амплитуд слабых волн на частотах и :

26

Таким образом, величины амплитуд слабых волн остаются того же порядка, что и на входе в среду.

Всё сказанное означает, что при данном типе взаимодействия измене-

тотной волны. Будем решать уравнения (4.6) и (4.7). Перепишем их в виде:

бб

где Bi – константы, определяемые из граничных условий, а длина биений:

Из (4.23) видно, что в поле мощной низкочастотной волны слабые волны на других частотах не нарастают; их амплитуды испытывают периодические

27

пространственные биения с характерным масштабом (4.24). Наличие расстройки волновых векторов не меняет кардинальным образом протекания процесса взаимодействия: картина биений сохраняется, только частота пространственных биений возрастает.

Высокочастотная мощная волна. Пусть мощная волна имеет наи-

большую частоту . Согласно соотношениям Мэнли – Роу (4.13) она может передать всю энергию слабым низкочастотным волнам

страняясь в среде с квадратичной нелинейностью, может распадаться вследствие синхронного трёхволнового взаимодействия на две низкочас-

тотные волны. Это явление распадной неустойчивости.

Чтобы выявить условия, рассмотрим начальный этап взаимодействия

Анализ формул (4.26) и (4.27) показывает, что параметрическое усиление низкочастотных волн имеет пороговый характер по амплитуде высокочастотной волны (рис. 3). Именно экспоненциальное нарастание амплитуды (кривые 1, 2) может происходить лишь при условии Γ /4 α или

28

определяет область распадной неустойчивости высокочастотной волны. Чем больше потери в

Распадная неустойчивость приводит к разрушению высокочастотных волн, участвующих в синхронном взаимодействии с низкочастотными волнами (параметрический перенос спектра вниз). Однако это явление может быть и полезным, если его использовать для параметрического усиления слабых волн.

Параметрические волновые процессы играют большую роль в нелинейной оптике. На их основе созданы перестраиваемые по частоте источники когерентного света. Рассмотрим принцип перестройки частоты. Пусть на нелинейный кристалл падает мощная волна какой-либо фиксированной частоты , . С этой волной могут вступить в синхронное взаимодействие на квадратичной нелинейности две низкочастотные волны с частотами , и , , для которых выполняется условие

29

выми флуктуациями поля или фоновым излучением. Вследствие

Изменит теперь дисперсионные свойства кристалла в направлении распространения волн. Изменение показателей преломления можно достичь путём

характеризующий направление синхронизма (4.29)), с помощью внешнего

, , .

Таким образом, на выходе из кристалла будем иметь когерентное излучение на новых частотах, причём перестройку частоты Ω можно осуществлять не-

30