Распространение монохроматических волн в нелинейных средах (110

Сравнивая полученное выражение с (1.9), можно получить следующие выводы. Каждая из распространяющихся волн возбуждает третью гармонику (двухчастотное вырождение):

Влияние одной волны на другую через диэлектрическую проницаемость называется кросс-модуляцией. Если диэлектрическая проницаемость изменяется под воздействием постоянного поля, то мы имеем дело с квадратичным электрооптическим эффектом (ср. с (1.16)):

кубичной восприимчивости вычисляется по формуле:

11

Высшие нелинейности. На высших нелинейностях ̂ могут развиваться эффекты генерации высших гармоник и смешения частот. Кроме того на нелинейностях нечётного порядка волны испытывают самовоздействие (нелинейная поляризация имеет ту же частоту, что и волна):

Сумма всех членов нелинейной части поляризации среды, ответственных за самовоздействие, описывает нелинейное изменение диэлектрической проницаемости. В изотропном случае имеем:

Для нелинейной добавки к диэлектрической проницаемости часто выводят выражение непосредственно из рассмотрения того или иного физического механизма нелинейного отклика среды (например, при электрострикции, нагреве при поглощении энергии волны и т.д.).

Коэффициент в формуле нелинейной поляризации для произвольной комбинационной частоты можно определить следующим образом:

где коэффициенты определяются из формулы (1.10).

Таким образом, в нелинейной среде могут наблюдаться явления самовоздействия и взаимодействия волн, в результате которых могут измениться частотные и угловые спектры волн, иными словами, пространственновременные законы модуляции волновых полей, заданных на входе в среду. Чтобы проанализировать развитие нелинейных электромагнитных процессов, необходимо решать при соответствующих граничных и начальных условиях уравнения Максвелла (1.1)–(1.3) совместно с нелинейными мате-

12

риальными уравнениями типа (1.6)–(1.7). Уравнения Максвелла можно свести к волновому уравнению:

В (1.27) необходимо подставить выражение для нелинейной поляризации, соответствующее исследуемому нелинейному волновому эффекту. Однако в общем случае получить решения уравнений не удаётся. Поэтому в теории нелинейных волн широко используются различные приближённые методы.

2. Методы решения нелинейных уравнений в теории волн

Метод возмущений. Предположим, что среда является слабо нелинейной: отношение величины нелинейной поляризации к величине поля на границе является малым параметром

висимости от типа волнового процесса. По малому параметру можно разложить электрические поля волн

(2.1), можно найти вид разложения нелинейной части поляризации

13

вим выражения (2.2) и (2.3) в уравнение (1.27) и удержим сначала линейные члены

где нелинейность в правой части будет иметь вид (см. (1.6))

(2.7)

.

Удерживая члены первого порядка малости (с μ в первой степени), получаем уравнение

Таким образом, нелинейная добавка в правой части уравнения зависит

ближении (2.8) в результате возбуждения волн нелинейной поляризации в среде изменяются поля на тех же частотах (эффект самовоздействия), возникают новые поля на комбинационных частотах (эффект взаимодействия). Решая уравнение (2.8), найдём первое приближение поля . Затем берёт-

ся возмущение поля с точностью до второго порядка малости и ищется

… ,

где каждое последующее приближение вычисляется с помощью предыдущих. Процесс прекращается при достижении определённой точности приближения. Несмотря на удобство метода возмущений, он хорошо работает только тогда, когда поправки к нулевому приближению малы, т.е. возбуждаемые в среде волны малы по амплитуде по сравнению с амплитудами падающих волн, и можно ограничиться несколькими первыми приближениями. Поэтому метод возмущений в форме (2.2) практически не позволяет исследовать эффекты самовоздействия, процессы генерации гармоник при большой перекачке энергии и т.д. В этих и подобных им случаях применятся другой метод – метод медленно меняющихся амплитуд.

Метод медленно меняющихся амплитуд. Если среда является слабо нелинейной и слабо поглощающей, т.е. нл~ , , ~ , и на неё падают плоские монохроматические волны, то амплитуды волн будут изменяться на малую величину при прохождении волной расстояния

15

порядка длины волны, т.е. амплитуды волн будут медленно изменяющимся функциями координат. В соответствии с этим представим поле и поляризацию среды в виде

нормальных волн. Подставляя в уравнение Гельмгольца (1.27) выражения

(2.10) и (2.11), получаем

преобразования, получаем систему укороченных уравнений для амплитуд, зависящих от пройденного расстояния z:

16

взаимодействия волн, так как он определяет знак работы внешней силы – волны нелинейной поляризации возбуждения поля. Наиболее эффективное взаимодействие будет осуществляться, если этот множитель равен единице, при этом величина работы имеет один знак на протяжении нелинейной среды. При условии

скорости волны нелинейной поляризации на той же самой частоте, т.е. , . Соотношение (2.16) принято называть условием фазового синхро-

низма.

Если условие синхронизма заведомо не выполнено, то множитель

влияет на распространение волн: эффект взаимодействия может быть малым. В диспергирующей среде условию синхронизма (2.16) может удовлетворять лишь небольшое число волн, которые и участвуют во взаимодействии. Амплитуды остальных волн на комбинационных частотах настолько малы, что ими можно пренебречь.

Итак, задача о распространении волн в слабо нелинейных средах сводится к решению системы укороченных уравнений (2.15) для комплексных амплитуд волн, волновые векторы которых удовлетворяют или почти удовлетворяют условию фазового синхронизма (2.16).

17

Рассмотрим далее с помощью этого метода несколько основных задач из теории нелинейных волн по взаимодействию и самовоздействию.

3. Генерация второй гармоники

Пусть имеется среда, обладающая квадратичной нелинейностью, и на её границу падает плоская монохроматическая волна частоты . В такой среде возможен процесс генерации второй гармоники. Будем считать, что другими нелинейными эффектами (самовоздействием, генерацией высших гармоник, детектированием и т.д.) можно пренебречь. Тогда в среде рас-

укороченными уравнениями (2.15) с учётом выражений (3.1) и (3.2). При

– показатель преломления,

Умножим первое уравнение на , а во втором применим комплексное сопряжение к обеим частям, а потом умножим их на , затем сложим получившиеся выражения. Получим:

Когда отсутствует диссипация и нет притока энергии извне, должен выполняться закон сохранения общей энергии волны:

Видно, что при этом коэффициенты нелинейности равны друг другу:

основе решения укороченных уравнений (3.3) и (3.4). На входе в нелиней-

Проанализируем сначала генерацию гармоники в условиях, когда её амплитуда мала по сравнению с амплитудой основной волны, | | | |. В этом случае можно пренебречь слабым обратным влиянием гармоники на основную волну, положив правую часть в (3.3) равной нулю. Тогда, очевидно, в рассматриваемом приближении амплитуда основной волны не

19

На длине нл можно ожидать значительную перекачку энергии основной волны в энергию второй гармоники при фазовом синхронизме.

При рассогласовании фазовых

Рис. 1. Зависимость амплитуды второй гармоники| скоростей, , от расстояния в заданном поле основной волны

20