Исследование линейных электрических цепей синусоидального тока (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Л.А. Сперанская, В.И. Волченсков, Ю.Н. Зорин

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Методические указания к лабораторной работе № 3 по курсу «Электротехника и электроника»

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 621.3 ББК 31.2

С71

Рецензент А.В. Смирнов

Сперанская Л.А.

С71 Исследование линейных электрических цепей синусоидального тока : метод. указания к лабораторной работе № 3 по курсу «Электротехника и электроника» / Л.А. Сперанская, В.И. Волченсков, Ю.Н. Зорин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 23, [5] с.: ил.

В методических указаниях описаны основные свойства линейных электрических цепей синусоидального тока, а также порядок исследования режимов резонанса напряжений и токов.

Для студентов 2-го и 3-го курсов машиностроительных специальностей факультетов МТ, РК, СМ, Э, АК, ФН, ИБМ, РКТ.

УДК 621.3 ББК 31.2

c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Цель работы:

•изучение основных свойств, законов и режимов работы линейных электрических цепей синусоидального тока;

•экспериментальное определение значений параметров элементов электрической цепи, изучение их влияния на режим ее работы;

•экспериментальное исследование режимов резонанса напряжений и токов;

•изучение методов построения векторных диаграмм напряжений и токов; изучение электроизмерительных приборов электромагнитной и электродинамической систем.

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Представление синусоидально изменяющихся величин

вэлектротехнике. Законы Кирхгофа

Врассматриваемой работе исследуются линейные электрические цепи переменного синусоидального тока. В цепи действует ЭДС, изменяющаяся по синусоидальному закону. Поэтому в линейных однофазных цепях токи и напряжения также синусоидальны.

Рассмотрим соответствующие ГОСТу основные обозначения синусоидальных величин и их параметров, используемых в электротехнике:

1) e, u, i — мгновенные значения ЭДС, напряжения и тока;

2) Em, Um, Im — амплитудные значения ЭДС, напряжения и тока;

3) Т — период колебаний синусоидальной величины, с;

4) f = 1/T — частота колебаний, Гц;

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5) ω = 2πf — угловая частота, c−1;

6) (ωt + Ψ) — фаза (фазовый угол), град или рад; 7) Ψ — начальная фаза, град или рад;

8) ϕ = Ψu −Ψi — угол сдвига фаз между напряжением и током, где Ψu — начальная фаза напряжения, Ψi — начальная фаза тока, град или рад;

9)Iср, Uср, Eср — средние значения синусоидальных функций (за положительную половину периода), например, Iср = 0,637Im;

10)I, U, E — действующие значения синусоидальных функций,

например, I = 0,707Im.

Понятие действующих значений весьма важно в электротехнике. Все электроизмерительные приборы, предназначенные для измерения синусоидальных токов и напряжений, показывают действующие значения, соответствующие расчеты проводят для действующих значений и, говоря о значениях силы тока и напряжения, имеют в виду их действующие значения.

Синусоидально изменяющуюся функцию можно представить:

• аналитически:

i = Im sin(ωt + Ψi);

•в виде временной диаграммы (рис. 1.1);

•в виде комплексного числа:

а) алгебраическая форма: I˙ = I0 + jI00; б) показательная форма: I˙ = Iej Ψi;

• с помощью векторной диаграммы на комплексной плоскости (рис. 1.2).

Законы Кирхгофа применительно к переменному току справедливы только для мгновенных значений и для комплексных величин (векторные уравнения), как показано в табл. 1.1. При расчете

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

электрических цепей синусоидального тока удобнее использовать запись законов Кирхгофа в комплексной форме, так как решение получается проще.

При расчете цепей синусоидального тока необходимо учитывать три пассивных элемента: резистивный, индуктивный и емкостной, которые характеризуются соответственно активным сопротивлением R, индуктивностью L (индуктивным сопротивлением XL = ωL) и емкостью С (емкостным сопротивлением XС = 1/(ωC)), где ω — угловая частота.

Индуктивное XL и емкостное XC сопротивления определяют не только значения токов в цепи, но и сдвиг фаз между напряжениями и токами. Основные соотношения для указанных трех элементов (R, L, C) приведены в табл. 1.2.

Последовательное соединение элементов R, L, C

в цепи синусоидального тока

Соответствующая схема включения элементов приведена на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Мгновенные значения напряжения и тока на входе цепи u = Um sin(ωt + Ψu) и i = Im sin(ωt + Ψi).

5

»ервисC-нигаK гентство«A ООО & »БИБКОМ« ЦКБ« ОАО Copyright

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

На основании второго закона Кирхгофа запишем уравнение в комплексной форме:

U˙ = U˙R + U˙L + U˙C = IR˙ + I˙(jXL) + I˙(−jXC) =

p

Z = R2 + (XL − XC)2,

ϕ = arctg (XL − XC). R

Эквивалентное комплексное сопротивление ZЭ при последовательном соединении нескольких сопротивлений

ZЭ = Z1 + Z2 + . . . + Zn =

= (R1 + R2 + . . . + Rn) + j(X1 + X2 + . . . + Xn),

где n — число последовательно соединенных элементов (знак «+» соответствует XL, знак «–» соответствует XC).

Векторная диаграмма цепи с последовательным соединением элементов R, L, C представлена на рис. 1.4. Эта диаграмма соответствует соотношению сопротивлений в цепи, при котором XL > XC > R. При последовательном включении ток во всех элементах цепи одинаковый. При указанном соотношении сопро-

тивлений получаем UL > UC > UR .

Рассмотрим последовательность построения векторной диаграммы для схемы, приведенной на рис. 1.3. Для этого используем уравнение (*).

Обозначим оси комплексной плоскости: действительную ось (+1) направим горизонтально вправо, мнимую ось (+j) — вертикально вверх. Предположим, нам известны значения тока и напряжений в схеме. Выберем для них масштабы.

Построение начинаем с вектора тока I˙. Когда не известны начальные фазы напряжений и тока, можно принять начальную фазу тока Ψi = 0◦ (см. рис. 1.4).

Далее строим напряжения U˙R, U˙L, U˙C на элементах цепи (см. табл. 1.2).

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

В соответствии с уравнением, записанным по второму закону Кирхгофа, определяем вектор напряжения U˙ на входе цепи. Для этого графически складываем три вектора: U˙R, U˙L, U˙C. Можно воспользоваться известным правилом параллелограмма. В результате получаем векторную диаграмму, представленную на рис. 1.4.

На этой диаграмме вектор напряжения U˙ на входе цепи опережает вектор тока I˙ на некоторый угол ϕ, что соответствует активноиндуктивному характеру данной цепи (см. табл. 1.2).

Из рассмотренной векторной диаграммы можно получить треугольник напряжений (рис. 1.5). Он строится для модулей напряжений, т. е. их действующих значений (без стрелок). Из этого тре-

угольника получаем соотношения q

U = UR2 + (UL − UC)2,

ϕ = arctg (UL − UC). UR

Ток во всех элементах последовательной цепи одинаковый. Разделим все напряжения в треугольнике напряжений на ток I и получим треугольник сопротивлений (рис. 1.6).

Из треугольника сопротивлений следуют соотношения:

R = Z cos ϕ, X = Z sin ϕ.

Если все напряжения в треугольнике напряжений (см. рис. 1.5) умножить на ток I, то получим треугольник мощностей (рис. 1.7).

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Из треугольника мощностей следуют соотношения:

P = S cos ϕ,

Q = S sin ϕ.

Параллельное включение катушки индуктивности (L) и конденсатора (С)

При проведении эксперимента на стенде исследуют схему параллельного включения катушки индуктивности с параметрами RK (активное сопротивление провода катушки), LK (индуктивность катушки) и батареи конденсаторов с переменной емкостью С (рис. 1.8).

Рассмотрим последовательность построения векторной диаграммы при параллельном включении катушки индуктивности и емкости (рис. 1.9).

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Опишем схему, представленную на рис. 1.8, системой уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа для узла а получаем уравнение

I˙ − I˙1 − I˙2 = 0.

Следовательно,

I˙ = I˙1 + I˙2.

По второму закону Кирхгофа составляем два уравнения:

−U˙ + I˙(RK + jXK) = 0, −U˙ + I˙(−jXC) = 0.

Откуда

U˙ = I˙(RK + jXK) = U˙K, U˙ = I˙(−jXC) = U˙C.

Очевидно, что

U˙ = U˙K = U˙C,

т. е. напряжения на параллельно включенных элементах одинаковые.

Обозначим оси комплексной плоскости (+1; +j). Выберем масштабы для построения векторов токов и напряжений.

При параллельном включении элементов построение векторной диаграммы удобнее начать с вектора напряжения U˙ , так как напряжение является одинаковым для параллельно включенных ветвей схемы. Начальная фаза вектора напряжения не известна, поэтому принимаем ее равной нулю (см. рис. 1.9):

Ψu = 0◦.

Затем строим токи I˙1 и I˙2.

Ток в ветви с емкостью I˙2 необходимо направить вертикально вверх (см. табл. 1.2). Ток в катушке будет отставать от напряжения

характере всей цепи. В нашем примере (cм. рис. 1.9) ток опережает

10