Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения в механике и теплотехнике (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

302.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

В итоге

Π S = Π S1 + Π S2 + Π S3 + Π S4 .

Так как области

D1yoz = D3 yoz , D2 yoz = D4 yoz , D1zox = D3zox , D2zox = D4zox ,

то сокращаются все интегралы в проекциях на плоскости zox и

yoz . Сумма проекций областей на плоскости xoy					дает полный
круг D : x 2 + y 2 ≤ 1. В результате получаем
Π S = −	∫∫z 2 dxdy = − ∫∫(x 2 + y 2 )dxdy .
x2 + y2 ≤ 1			x2 + y2 ≤ 1
Переходим	к	полярной		системе	координат
x = r cosϕ , y = r sin ϕ ,	dxdy = r drdϕ .
		2π	1	π .
	Π S = − ∫dϕ ∫r 3dr = −			π .
		0	0	2
		0	0

Способ 2.Чтобы применить формулу Остроградского-Гаусса, замкнем поверхность, добавив к ней верхнее основание конуса.

Тогда ~ = { = 2 + 2 ≤ }. Тогда из формулы Остроград-

S S z 1 , x y 1

ского-Гаусса следует

Π S~ = ∫∫∫divF dxdydz ,

где V − тело, ограниченное поверхностью S .

Очевидно,

Π S = Π S~ − Π z=1 ,

причем	∫∫dxdy = π .
Π z =1 = ∫∫ z2dxdy =	∫∫dxdy = π .
x 2 + y 2 ≤1	x 2 + y 2 ≤1
31

Поскольку

divF = 2x + 2 y + 2z , Π S~ = 2∫∫∫(x + y + z) dxdydz .

Заметим, что

∫∫∫x dxdydz = xc Vкон. ,	∫∫∫ y dxdydz = yc Vкон. ,	∫∫∫z dxdydz = zc Vкон. ,
V	V	V

где (xc , yc , zc ) − координаты центра тяжести тела. В силу сим- метрии тела относительно оси oz имеем xc , yc = 0 . Теперь

z=1

= 2

∫∫∫

zdxdydz

− π =

= Π ~ − Π

= ∫∫(1− x2 − y2 )dxdy − π =

= 2∫∫dxdy ∫ zdz − π

x2 + y2

2π

= ∫ dϕ ∫(r − r 3 )dr − π =

−

− π = −

2π

Пример 5. Определить поток векторного поля

F = xy i + (2x − y) j + (5z + 2x) k

через поверхность цилиндра S : x 2 + y 2 = a 2 , 0 ≤ z ≤ h .

Решение.

Поскольку поверхность S является замкнутой, для вычисления потока выгоднее использовать формулу Остроградского-Гаусса.

ΠS = ∫∫∫divF dxdydz = ∫∫∫(y − 1 + 5) dxdydz =

V				V			.
= ∫∫∫ y dxdydz + 4∫∫∫dxdydz = yc Vцил.							.
= ∫∫∫ y dxdydz + 4∫∫∫dxdydz = yc Vцил.					+ 4 Vцил.
V			V
В силу симметрии y	c	= 0 ,	V	= π a 2 h , тогда	Π	S	= 4π a 2 h .
	c		цил.			S
				32

Пример 6.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

= − y i

+ x

+ 2 k вдоль

окружности

x 2 + y 2 = 2x ,

z = 0 ,

проходимой против часовой

стрелки.

Решение.

Используем для решения задачи формулу Стокса

∫ P(x , y z) dx + Q(x , y z) dy + R(x , y z) dz =

¶R

¶Q

¶P

¶R

¶Q

¶P

dydz +

dzdx +

dxdy .

∫∫

¶y

¶z

¶x

¶z

¶y

Так как z = 0 , то dz = 0 , и для циркуляции C

имеем формулу

C =

¶Q

¶Q -

∫∫

- ¶P dxdy

= ∫∫

¶P dxdy =

¶x

¶y

=∫∫2dxdy = 2SD = 2π .

x2 + y 2 ≤ 2 x

Пример 7.

Вычислить циркуляцию векторного поля F = − y 2i + z 2 j + x 2 k по

контуру треугольника с вершина-

ми

A(a , 0 , 0) , B(0 , a , 0) , C(0 , 0 , a). С

Решение.

Контур обходится против часовой			В
Контур обходится против часовой		О	y
стрелки, поэтому		О	y
стрелки, поэтому		А
		А
		a

CABC	= ∫∫rot F × n ds ,
CABC	= ∫∫rot F × n ds ,	x
	S	x
	S
	33

где n − единичный вектор нормали к поверхности S , ограни- ченной контуром треугольника. Тогда

rotF

= -2z i

- 2x j - 2 y k ,

¶x

¶y

¶z

rotF × n = -2z cosα - 2x cos β - 2 y cosγ .

В этом случае

CABC = -2∫∫(z cosα + x cos β + y cosγ )ds =

	∫∫ z dydz +	∫∫ x dxdz +
= -2			∫∫ y dydx .
OBC		AOC	AOB

Поскольку все три интеграла равны,

					a			a− y
CABC = -2 ×3 ∫∫ y dydx = -6∫ ydy ∫dx =
		AOB			0				0
a	2		y	2		y	3			a		3
a				2			3			a
= -6∫(a y - y					-						= -a		.

		)dy = -6 a	2			3
0			2			3				0
										0

Пример 8. Вычислить циркуляцию векторного поля

F = −2xy 3 z i + 3x 2 y 2 z j + x 2 y 3k

по произвольному замкнутому контуру L .

Решение. Ищем

∂

rotF

∂x

∂y

∂z

2xy3 z 3x2 y 2 z x2 y3

= (x2 3y2 − 3x2 y2 )i

+ (2xy3 − 2xy3 )

+ (6xy2 z − 6xy2 z)

Таким образом, поле является потенциальным, и циркуля- ция по любому замкнутому контуру равна нулю.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти силу притяжения, действующую на точку A(2 , 0 , 0) со стороны сферы радиуса 1 с плотностью распределения масс

(x , y , z) =

3 .

(x − 2)2 + y 2 + z 2

= 4x i

+ (2x − y)

+ (z + 2 y)

Найти поток векторного поля

через внешнюю сторону поверхности x 2 + y 2 + z 2 = 25 .

= (2x − y)i

+ (x + y)

+ z

че-

Найти поток векторного поля

рез полную поверхность пирамиды

2x − y + z = 4 / x = 0 , y = 0 , z = 0 .

= (2x − y)i

+ y 2

+ z

Найти поток векторного поля

через

полную поверхность цилиндра x 2 + y 2 = 1 , z = 0 , z = 1 .

= (x + y)i

+ (y + z)

+ x

Найти поток векторного поля

через

боковую поверхность цилиндра x 2 + y 2 = 4 , z = 0 , z = 2 .

6. Найти поток векторного поля F = x i + y j + z k через боковую

поверхность конуса

z = x 2 + y 2 ,

ограниченного

плоскостью

z = 1.

= x 2 i

+ y 2

+ z 2

через пол-

Найти поток векторного поля

ную поверхность внешней стороны куба

0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a .

Найти

поток

векторного

поля

= (2x − y)i

+ (x − 2 y + z)

+ (y + z)

через треугольник ABC , где

A(1 , 0 , 0), B(0 , 2 , 0), C(0 , 0 , 3) .

9. Найти поток векторного поля F = 2xy i + (x − 2 y) j + xz k через

внутреннюю сторону поверхности сферы x 2 + y 2 + z 2 = 16 .

10.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

= (2x − y + z)i

+ (5x − y)

+ 4z

по контуру x 2 + y 2 = 4 ,

z = 0 .

11.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

= (x − 2 y + z)i

+ (2 y − z)

+ (3z − 2x)

по

контуру

x 2 + z 2 = 2z , y = 0 .

12.

Найти циркуляцию векторного поля

= xy i

+ yz

+ zx k

по

контуру y 2 + z 2 = −2 y ,

x = 0 .

13.

= x i

+ y

− 2z

Найти циркуляцию векторного поля

по

контуру треугольника с вершинами

A(1 , 0 , 0), B(0 , − 1 , 0), C(0 , 0 , 1) .

14.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

= (2x + y − z)i

+ (y + z)

+ (x − y)

по

контуру

треугольника с

вершинами A(2 , 0 , 0) ,

B(0 , − 3 , 0),

C(0 , 0 , 4).

15.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

= (y + z)i

+ (x + z)

+ (x + y)

по

окружности

x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x + y + z = 0 ,

пробегаемой против

часовой

стрелки, если смотреть со стороны положительной оси ox .

16.Найти циркуляцию векторного поля F = −ω y i + ω x j по ок- ружности x = a cos t , y = a sin t в положительном направлении.

17.Найти поток радиуса-вектора точки M (x , y , z) через внеш-

нюю сторону поверхности прямого кругового цилиндра радиуса R , если начало координат лежит в центре нижнего основания цилиндра, h − его высота.

18.Показать, что rot(gradu) = 0 .

19.Найти div(rotF ).

20.Найти grad (divF ).

Замечание. Если в задаче не указано направление обхода конту- ра, то считается, что контур обходится в положительном на- правлении, то есть против часовой стрелки.

Ответы

1.	4	π , 2.		2000		,	3.	64	, 4. 3π ,	5. 16π ,	6. 0	,	7. 3a 4 ,	8. −	7	,
	3							3
					3									3
9.	512		π ,		10. 24π ,				11. 3π ,	12. π ,	13.	0,	14. 23,	15. 0,
	3

16. 2π a 2ω ,					17.		π R 2 h .

Библиографический список

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное интегральное ис-

числение: – М.: Наука, 1985. – Т.2.– 560 с.

2.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах/– М.: Высшая школа, 1986.

–Ч.2. – 415 с.

3.Гурский Е.Н. и др. Руководство к решению задач по высшей математике // В.2ч. – Мн.: Высшая школа, 1990. – 400 с.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]