Повышающий и понижающий операторы в квантовой механике (90

УДК 531:530.145 ББК В 314я73

П 42

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. План 2009/ 2010 года

Рецензент

кафедра теоретической физики Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова

П42 Поваров, А. В. Повышающий и понижающий операторы в квантовой механике: метод. указания/ А. В. Поваров; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова – Яpославль: ЯрГУ, 2010. - 35 с.

Вданных методических указаниях рассматривается применение метода повышающего и понижающего операторов в квантовой механике. Показано, как использование коммутационных соотношений в квантовой механике даёт простой и эффективный способ для достижения физических результатов. Разбирается указанный метод на примере двух задач – нахождения спектра энергии и собственных функций гармонического осциллятора и собственных функций оператора момента импульса.

Описывается применение подхода повышающего и понижающего оператора к методу вторичного квантования, в рамках квантовой механики

–квантование свободного электромагнитного поля.

Предназначены для студентов, обучающихся по специальностям 010701.65 Физика, 010801.65 Радиофизика и электроника, 010803.65 Микроэлектроника и полупроводниковые приборы и направлениям 010700.62 Физика и 010800.62 Радиофизика (дисциплина Квантовая теория“, блок ОПД), очной и очно-заочной форм обучения. ”

УДК 531:530.145 ББК В 314я73

c Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2009

Учебное издание

Поваров Александр Владимирович

Повышающий и понижающий операторы в квантовой механике

Методические указания

Редактор, корректор И. В. Бунакова Компьютерная верстка А. В. Поваров

Подписано в печать 13.09.2010. Формат 60 × 84/16. Бумага офсетная. Гарнитура ”Times New Roman".

Усл. печ. л. 2,01. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 150 экз. Заказ

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.

Отпечатано на ризографе.

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова. 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

Исходя из вида выражения (20) можно вычислить матричные элементы повышающего и понижающего операторов гармонического осциллятора

то легко могут быть получены матричные элементы операторов импульса и координаты. Так, оператор импульса можно выразить через производную

а оператор координаты x = x0ρ. Откуда легко получить матричные элементы оператора импульса

отличны от нуля только на главной диагонали.

2Собственные значения оператора момента импульса и квадрата момента импульса

Оператор момента импульса в квантовой механике определяется аналогично классическому моменту импульса, используя вместо векторов:

Эти же выражения можно представить в виде короткой тензорной записи

ˆ

Mi = ǫijkxjpˆk,

где ǫlmn – полностью антисимметричный тензор Леви-Чевита, ǫ123 = 1. Сопряженные операторы координаты и импульса, как известно, не

коммутируют

где f – введенная для удобства вычислений волновая функция.

В короткой записи этот и другие коммутаторы можно записать как

где δij – символ Кронекера, равный 0, если i 6= j, и равный 1, если i = j. Задание. Используя коммутаторы (8) и выражения (7) для проекций

ˆ

момента импульса Mi, убедиться в правильности следующих коммутаторов

ˆ2 ˆ

[M , Mm] = 0,

Множитель, стоящий перед Pl|m|, выбран так, чтобы ортогональные функции Ylm были, кроме того, и нормированными к единице на поверхности шара, т. е.

π 2π

Z Z

Yl′m′ YlmsinΘdΘdπ = δl′,lδm′,m.

00

6.2Гамма-функция

Гамма-функция Эйлера определяется посредством следущего интегрального равенства

Используя эти соотношения, можно определить (α) для значений α = (n + 1)/2, где n = 0, 1, 2, .... Для других значений следует пользоваться специальными таблицами.

6.3Матричные элементы

Вразличных задачах бывает необходимо использование матричных

ˆ

выражений. Матричные элементы физического оператора F вычисляются как

Z

ˆ

(F )mn = ψmF ψndV,

где ψn – собственные функции некоторого эрмитового оператора, удовлетворяющие свойствам (1) и (2).

где Nk,α – целые числа. Оператор импульса поля вычисляется аналогичным способом. Опуская промежуточные вычисления, получим

Собственное значение импульса поля согласуется с собственным значением энергии поля

Формула (55) для энергии поля обнаруживает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии поля соответствует равенство нулю квантовых чисел Nk,α всех осцилляторов(это состояние называют состоянием вакуума электромагнитного поля). Но даже в этом состоянии каждый осциллятор обладает отличной от нуля ”нулевой энергией” ~ω/2. При суммировании по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваемся с одной из ”расходимостей”, к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории.

Формально эту трудность можно устранить вычеркиванием энергии нулевых колебаний. Когда речь идёт лишь о собственных значениях энергии поля, это можно сделать, написав для энергии и импульса поля

(другой непротиворечивый способ – условиться понимать произведения операторов в (54) как ”нормальные”, т. е. такие, в которых операторы cˆ+k,α располагаются всегда левее операторов cˆk,α).

Эти формулы позволяют ввести основное для квантовой электродинамики понятие о квантах поля, или фотонах. Мы можем рассматривать свободное электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из

Повышающий и понижающий операторы связаны эрмитовым сопряже-

Действие повышающего оператора на волновую функцию приводит к изменению её номера

здесь Cm(+) – неизвестный коэффициент.

Для нахождения этого коэффициента применим следующий метод.

Для дальнейших вычислений нам понадобится вычислить комбинацию

Воспользуемся этим выражением и подставим его в (15). Действуя операторами на волновые функции

Z Z

ˆ ˆ ˆ

ψm(M2 − ~Mz − Mz2)ψmdV = (M2 − ~2m − ~2m2) (ψmψm)dV =

= M2 − ~2m − ~2m2.

После чего получим для искомого коэффициента следующее выражение

|Cm(+)|2 = M2 − ~2m − ~2m2, или Cm(+) = √M2 − ~2m − ~2m2.

После действия повышающего оператора меняется на единицу (в единицах ~) собственное значение у собственной функции

При этом действие повышающего оператора на собственную функцию с максимально возможным собственным значением даёт нуль:

ˆ

M+ψl = 0,

откуда следует, что Cl(+) = 0, а собственное значение оператора квадрата момента импульса M2 = ~2l(l + 1).

Следовательно, константа Cm(+) зависит от двух квантовых чисел l и m и её можно переписать как

(+) p

C = ~ l(l + 1) − m(m + 1).

lm

Аналогичные вычисления для понижающего оператора приводят, в чем рекомендуется убедиться самостоятельно, к

(−) p

Clm = ~ l(l + 1) − m(m − 1).

Для нахождения спектра собственных функций обратимся к явному виду повышающего оператора (14) в сферической системе координат, используя выражения (12), его можно записать в следующем виде

Так как действие повышающего оператора на волновую функцию ψl с

ˆ

максимальным собственным значением l даёт нуль M+ψl = 0, получим следующее дифференциальное уравнение в частных производных

i ctg Θ∂ψ∂φl + ∂ψ∂Θl = 0.

Для решения этого уравнения сделаем разделение переменных ψl(Θ, φ) = X(Θ)Φ(φ), пусть X(Θ) функция только от Θ, а Φ(φ) функция только от

φ.

Φ∂X∂Θ = −i ctg ΘX ∂∂φΦ.

Соотношения выполняются, и значит Qk,α и Πk,α – канонические сопряженные переменные.

Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные – обобщенные координаты Qk,α и обобщенные импульсы Πk,α – как операторы с правилом коммутации

Вместе с ними становятся операторами и переменные ck,α(t),ck,α(t), ко-

Правило коммутации между cˆk,α и cˆ+k,α получается с помощью определения (52) и правила (51)

Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению вида (40), в котором, однако, коэффициенты являются теперь операторами

и, следовательно, векторный потенциал сам становится оператором. Опе-

ˆ ˆ

раторами полей становятся ~ и ~ . Гамильтониан поля, выраженный че-

E H

рез операторы cˆk,α, cˆ+k,α, имеет вид, который совпадает с решением для осциллятора (31)

т. к. (kx −kx′ )A = 2πN, где N целое число. В случае kx = kx′ экспонента в интеграле даёт единицу и интеграл равен пространственному параметру A. Поэтому для интегралов, входящих в (42), получаем

Z

ei(k−k′)rdV = V δk,k′ ,

Z

ei(k+k′)rdV = V δk,−k′

После подстановки интегралов в выражение (42) и упрощения записи получим следующее выражение

−ck,α(t)ck′,α′ (t) ~ek′,α′~ek,αδ−k,k′ −ck,α(t)ck′,α′ (t)~ek,α~ek′,α′ δ−k,k′

Для второго слагаемого вычисления полностью повторяют все этапы первого, за исключением выражений с векторными произведениями век-

~

торов k и ~ek,α

~~

−ck,α(t)c−k,α′ (t) [−k × ~e−k,α′ ][k × ~ek,α] −

где оператор Гамильтона имеет вид

Необходимо найти собственные функции {ψn} и собственные значение {En} гармонического осциллятора.

Для упрощения вычислений необходимо перейти к безразмерным переменным. Единственным параметром размерности [м], который можно

q

построить из входящих в (16) m, ω и ~, является x0 = mω~ . Используя его, можно перейти к безразмерной переменной ρ = x/x0, при этом

Запишем коммутационное соотношение (4) в случае гармонического

где повышающий оператор будем искать в виде линейной комбинации

Приравнивая правую и левую часть выражения (17), получаем соотношение

−~2ω (2β dρd + 2αρ) = æ(αdρd + βρ).

Откуда запишем систему алгебраических уравнений

−~ωβ = æα, −~ωα = æβ,

решая которую, находим (~ω)2 = (æ)2, α2 = β2. Выбор æ = −~ω, α = β соответствует понижающему оператору aˆ, для повышающего оператора aˆ+ нужно выбрать æ = ~ω и −α = β. Отметим, что понижающий и повышающий операторы связаны эрмитовым сопряжением

+

aˆ = aˆ+.

Действие понижающего и повышающего оператора на собственную

где Nn− и Nn+ – неизвестные пока коэффициенты.

Действие оператора Гамильтона на волновую функцию основного состояния даёт ”нулевую” энергию – энергию основного состояния

а действие понижающего оператора на волновую функцию основного состояния дает нуль

aψˆ 0 = 0.

Исходя из явного вида понижающего оператора, запишем обыкновенное дифференциальное уравнение

Для вычисления полной энергии поля сосчитаем по отдельности слагаемые в выражении (39). Для первого слагаемого

~′ ~

− ωk′ ωkck,α(t)ck′,α′ (t) ~ek′,α′~ek,αei(k +k)~r dV. (42)

Интегрирование по пространственной координате в (42) затрагивает только экспоненты. Рассмотрим интеграл следующего вида подробнее

Используя (25) и свойство эрмитового сопряжения для левой части выражения (27), получим

Далее, сравнивая полученные выражения (27), (28) и подставляя (23), для энергии получим равенство

Дальнейший спектр собственных функций находим, последовательно, применяя повышающий оператор к собственным функциям

Следующую функцию спектра найдем, подействовав на ψ1 повышаю-

щим оператором

aˆ+ψ1 = N1+ψ2

и т. д.

4Представление чисел заполнения

Заметим, что можно ввести новый оператор – оператор индекса со-

действие которого на волновую функцию даёт номер состояния волновой функции

ˆ

Nψn = nψn.

Теперь можно записать оператор Гамильтона через оператор индекса состояния

Переход к представлению чисел заполнения заключается в том, что вместо того, чтобы задавать ψ как функцию координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуют числом заполнения n– номером возбужденного состояния.

Представим себе осциллятор, находящийся в возбужденном состоянии ψn(n ≥ 1), как совокупность n квантов возбуждения, каждый из которых имеет энергию ~ω. То, что энергия линейно зависит от от числа n, приводит к неразличимости квантов возбуждения. В таком подходе операторы повышения aˆ+ и понижения aˆ номера возбуждённого состояния приобретают смысл операторов рождения и уничтожения квантов возбуждения. Индекс n равен теперь числу квантов возбуждения в со-

ˆ

стоянии ψn, а оператор N становится оператором числа квантов. Состояние ψn, содержащее n квантов (частиц), может быть получено

из основного состояния ψ0, не содержащего частиц (которое вследствие

этого можно назвать вакуумным состоянием), n-кратным применением

оператора рождения

(ˆa√+)nψ0 = ψn. n!

Отметим, что частицы соответствуют не самому осциллятору, а квантам его возбуждения.

Для перехода к случаю многих степеней свободы N > 1 вводится набор N осцилляторов с различными частотами ωk. Индекс k пробегает

Операторы aˆ+k , aˆ+l удовлетворяют перестановочным соотношениям при совпадающих индексах k = l и коммутируют при k =6 l, т. е.

Произвольное состояние системы характеризуется здесь набором чисел заполнения n1, n2, ..., nN . Состояние

содержит n1 частиц 1-го сорта с энергией ~ω1, n2 частиц 2-го сорта с энергией ~ω2 и т. д.

Оператор aˆk, действующий теперь на функции чисел заполнения, действуя на состояние ψ(n1, n2, .., nk, .., nN ), уменьшает на единицу значение переменной nk, одновременно умножая функцию на √nk

aˆkψ(n1, n2, .., nk, .., nN ) = √nkψ(n1, n2, .., nk − 1, .., nN ).

Можно сказать, что оператор aˆk уменьшает на единицу число частиц, находящихся в k-ом состоянии; его называют поэтому оператором уничтожения частиц. Сопряженный с aˆk оператор aˆ+k увеличивает на 1 число частиц в k-ом состоянии; его называют оператором рождения частиц

√

aˆ+k ψ(n1, n2, .., nk, .., nN ) = nk + 1ψ(n1, n2, .., nk + 1, .., nN ).

Произведение операторов aˆ+k aˆk при воздействии на волновую функцию может лишь умножить её на постоянную, оставляя все переменные n1, n2, ...