Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения в механике и теплотехнике (90

УДК 51 (075.8)

Составители: доц. Бикмухаметова Д.Н. доц. Веселова Л.В.

ст. преп. Гурьянова Г.Б. доц. Ахвердиев Р.Ф. доц Тюленева О.Н.

Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их прило- жения в механике и теплотехнике: Метод. Указания / Ка- зан.гос.технол.ун-т; Бикмухаметова Д.Н., Веселова Л.В., Гурья- нова Г.Б., Ахвердиев Р.Ф., Тюленева О.Н., Казань.

Приведены необходимые теоретические сведения и ре- шены типовые задачи по теории поля и поверхностным интегра- лам. Методические указания предназначены для студентов вто- рого курса, изучающих дисциплину ЕН.01 «Математика».

Рекомендуется для студентов и преподавателей для орга- низации самостоятельной работы.

Подготовлено на кафедре высшей математики.

Печатается по решению методической комиссии факуль- тета управления и автоматизации КГТУ

Рецензенты: канд. физ-мат. наук Еникеева С.Р. канд. техн. наук Лившиц С.А.

2

1. Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы являются обобщением двойного интеграла (как и криволинейные интегралы по отношению к оп- ределенному).

1.1. Поверхностные интегралы первого рода

Рассмотрим гладкую поверхность Ω в трехмерном про-

верхностным интегралом первого рода (или интегралом по пло- щади поверхности) и обозначается

3

∫∫ F (x , y , z) dS = F (x0 , y0 , z0 ) S ,

Ω

где S − площадь поверхности Ω .

4

Вычисление поверхностных интегралов первого рода

Если Ω – незамкнутая гладкая поверхность, не имеющая кратных точек, а D − ее проекция на плоскость XOY , то по- верхностный интеграл первого рода вычисляется через двойной интеграл по формуле

Аналогично можно вычислить поверхностный интеграл первого

двойному интегралу по проекции поверхности Ω на плоскость YOZ , во втором случае – по проекции на плоскость XOZ .

Пример 1. Вычислить интеграл по площади поверхности ∫∫ xdS ,

Ω

где Ω - полусфера z = 1 − x2 − y2 .

Решение.

Проекция поверхности Ω на плоскость XOY (область D ) – есть круг единичного радиуса с центром в начале координат. Граница области D – окружность x2 + y2 = 1. Вычислим в соот- ветствии с формулой (2)

5

=π (sin 2π − sin 0) = 0. 4

Пример 2. Вычислить интеграл первого рода ∫∫(6x + 4 y + 3z) dS ,

Ω

где Ω – часть плоскости x + 2 y + 3z = 6 , расположенная в пер- вом октанте.

6

1.2. Поверхностные интегралы второго рода

Определение. Гладкая поверхность Ω называется двусто- ронней, если для любой точки M Ω и замкнутого контура L ,

7

лежащего на поверхности Ω , не пересекающего границы по- верхности и проходящего через точку M, направление нормали n в этой точке после обхода контура L совпадает с исходным.

нии нормали к ней, то есть введем ориентацию поверхности. Считаем n единичным вектором, тогда n = {cosα , cos β , cos γ }.

Разобьем выбранную сторону поверхности Ω на m частей с площадями Si , ( i = 1 , m) и в каждой из этих частей возьмем произвольную точку M i (xi , yi zi ). Зададим непрерывные на поверхности Ω функции P(x , y , z) , Q(x , y , z) , R(x , y , z) и составим сумму

но.

Определение. Поверхностным интегралом второго рода (поверхностным интегралом по координатам) от функций

8

P(x , y , z), Q(x , y , z) , R(x , y , z) двусторонней ориентирован- ной поверхности Ω называется предел интегральной суммы (3) при стремлении λ к нулю, если он существует и не зависит от способа разбиения поверхности на части и выбора в них точек M i ( λ = max λ i , где λ i - характерный размер каждой части).

i=1,n

Итак,

∫∫P(x , y , z)dydz + Q(x , y , z)dxdz + R(x , y , z)dxdy =

Ω

= m ( ) + ( ) + ( )

(4)

lim ∑P xi , yi , zi Siyz Q xi , yi , zi Sixz R xi , yi , zi Sixy . λ→0 i=1

Свойства поверхностного интеграла второго рода анало- гичны уже рассмотренным свойствам поверхностного интеграла первого рода.

Необходимо отметить, что поверхностный интеграл второ- го рода меняет знак при смене сторон поверхности интегриро- вания.

Вычисление поверхностных интегралов второго рода сво- дится к вычислению соответствующих двойных интегралов.

Пусть область интегрирования поверхностного интеграла Ω задана уравнением F (x , y , z) = 0 , тогда поверхностный ин- теграл второго рода вычисляется по формуле

∫∫ P(x , y , z)dydz + Q(x , y , z)dxdz + R(x , y , z)dxdy =

XOY , XOZ , YOZ соответственно, а x(y , z)- выражение пере-

9

уравнения поверхности Ω .

Двойной знак в формуле (5) соответствует двум различным сторонам поверхности Ω . Плюс соответствует интегрированию по верхней стороне поверхности Ω (в этом случае угол между нормалью к поверхности и осью OZ - острый).

Пример 3. Вычислить интеграл ∫∫(z − a)2 dxdy по верхней сторо-

x2 + y2 + (z − a)2 = a2 , откуда z = a + a2 − x2 − y2 .