Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Их приложения в механике и теплотехнике (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

302.7 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Примерами векторных полей являются поле скоростей те- кущей жидкости, силовое поле и другие. Векторным полем яв- ляется также поле градиента скалярного поля, тогда

F = grad u = ∂u i + ∂u j + ∂u k .

¶x ¶y ¶z

Потоком векторного поля

F (x , y z) = P(x , y z) i + Q(x , y z) j + R(x , y z) k

через поверхность S Ω называется

PS = ∫∫ F × n ds ,

где n (cosα , cos β , cosγ )- единичный вектор нормали к поверх- ности S .

Дивергенцией поля F называется мощность потока в точ-

ке:

divF (M 0 ) = lim ΠS ,

V → M 0 V

где V − объем тела, ограниченного поверхностью S и содержа- щего точку M 0 , предел вычисляется при стягивании поверхно-

сти S в точку M 0 .

Формула для вычисления дивергенции в декартовой систе- ме координат

divF = ∂P + ∂Q + ∂R .

¶x ¶y ¶z

Если поверхность S − замкнутая, то поток можно вычис- лить по формуле Остроградского-Гаусса (1.4, формула 7). Век- торная форма записи этой формулы:

∫∫Fnds = ∫∫F × n ds = ∫∫∫divF dv ,

S S V

где Fn - проекция вектора F на нормаль к поверхности, V − об-

ласть, ограниченная поверхностью S .

Если поверхность незамкнута, то ее можно дополнить до замкнутой поверхности и затем использовать формулу Остро- градского-Гаусса или вычислять поток непосредственно через поверхностный интеграл.

Для векторного поля

F (x , y z) = P(x , y z) i + Q(x , y z) j + R(x , y z) k

интеграл

∫ P dx + Q dy + R dz = ∫ F × n dl ,

L L

взятый по кривой L в пределах рассматриваемой области Ω ,

называется линейным интегралом от вектора F вдоль кривой L . В случае замкнутой кривой этот интеграл называется цирку-

ляцией вектора F вдоль L .

Ротором (вихрем) вектора F называется вектор


		i			j
	=	¶	¶
rotF		¶	¶
rotF		¶x		¶y
		¶x		¶y
		P	Q

¶z

=¶R - ¶Q

¶ ¶

y z

¶P	-	¶R		¶Q	-	¶P

+			j +			k ,
¶z		¶x		¶x
						¶y

Ротор rotF связан с циркуляцией вектора формулой Стокса

∫ F × n dl = ∫∫rotF × n ds ,

L S

где S Ω − некоторая поверхность, ограниченная замкнутым

контуром L , смысл которой в том, что циркуляция вектора F вдоль замкнутого контура L равна потоку вихря (ротора) через поверхность, ограниченную этим контуром.

В скалярной форме формула Стокса имеет вид

∫ P(x , y z) dx + Q(x , y z) dy + R(x , y z) dz =

∂R

−

∂Q

∂P

−

∂R

∂Q

−

∂P

∫∫

∂y

dydz +

∂z

dzdx +

∂x

dxdy .

∂z

∂x

∂y

Векторные и скалярные поля могут порождать друг друга. Так скалярное поле u = u(x , y , z) порождает векторное поле (поле градиента)

= grad u =

∂u i

+ ∂u

∂u

∂x

∂y

∂z

(x , y z) = P(x , y z) i

+ Q(x , y z)

+ R(x , y z)

векторное поле

= ∂P +

∂Q +

∂R и вектор-

порождает скалярное поле

u = divF

∂x

∂y

∂z

ное (вихревое) поле

∂

rotF

∂x

∂y

∂z

Поле F , для которого divF = 0 , называется соленоидаль- ным, в таком поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Поле F , для которого rotF = 0 , называется потенциаль- ным, поле градиента некоторого скалярного поля u является потенциальным полем, функция u в этом случае называется по- тенциалом векторного поля F .

3. Приложения поверхностных интегралов к механике и те- плотехнике

3.1.Притяжение простого слоя

Пусть на поверхности S непрерывным образом распреде- лены массы с заданной в каждой точке M (x , y , z) S плотно-

стью ρ (M ) = ρ(x , y , z). Вне этой поверхности находится точка

A(x0 , y0 , z0 )

с массой,

равной единице.

Тогда сила

(Fx , Fy ,

Fz ), с которой точка A притягивается к поверхности

S , определяется формулами

Fx = ∫∫ρ

(x − x0 )

ds , Fy = ∫∫ρ

(y − y0 )

ds , Fz =

∫∫ρ

(z − z0 )

ds ,

r 3

где r =

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2

3.2. Потенциал простого слоя

Потенциал простого слоя, взаимодействующего с внешней точкой A , определяется формулой

W (x0 , y0 , z0 ) = ∫∫ ρ ds .

S r

Пример 1. Определить силу притяжения точки однородным сферическим слоем (ρ = Const.)

Решение.

Пусть центр сферы радиуса R находится в начале коорди- нат, а притягиваемая точка единичной массы A(0 , 0 , a) нахо-

дится вне слоя (a > R). Тогда
Fx = ∫∫ ρ	(x − x0 )	ds , Fy = ∫∫	ρ	(y − y0 )	ds , Fz = ∫∫ ρ	(z − z0 )	ds .
	r3			r3
S		S			S	r3
			24

Проекции силы притяжения Fx и Fy на оси OX и OY , очевид-

но, равны нулю, а

Fz = ∫∫ρ

(z − a)

ds = ρ ∫∫

(z − a)

ds .

r 3

S (x 2 + y 2 + (z − a)2 )32

Перейдем к сферическим координатам

x = R sin ϕ cosθ ,

y = R sin ϕ sinθ

, z = R cosϕ ,

тогда

ds = R 2 sin ϕ dϕ dθ , r =

R 2 + a 2 − 2Ra cosϕ

В результате

F = ρ

2 2π

dθ

(R cosϕ − a)sinϕ dϕ

∫

(R2 + a2 − 2R a cosϕ )

(R cosϕ − a)sinϕ dϕ

= R

+ a

− 2R a cosϕ

= 2π R2 ρ

∫

2R a sinϕ dϕ

0 (R2

+ a2

− 2R a cosϕ ) 2

2t dt =

a + R

+ R

− t

π R

a + R

− a

tdt

= 2π R

∫

− a

∫

− 1 dt

a − R t

a − R

− a

a + R

= −

+ t

= −

4π R

2 .

a − R

В результате получаем, что точка, находящаяся вне одно- родного сферического слоя, испытывает со стороны последнего такое же притяжение, какое испытывала бы она, если сосредо- точить всю массу слоя в центре сферы.

Пример 2.Найти потенциал однородного сферического слоя на произвольно взятую внешнюю точку A(0 , 0 , a).

Решение.

С учетом решения предыдущей задачи

W (a) = ∫∫ ρ ds = 2π R			2 ρ ∫		sinϕ dϕ		=
			π
S r
S r			0	R2 + a2 − 2R a cosϕ
	= 2π R ρ ∫dt = 4π R					ρ ,
			a + R		2
		a	a − R		a

то есть потенциал, созданный однородным сферическим слоем во внешнем пространстве, не изменится, если всю его массу со- средоточить в центре.

3.2. Поток векторного поля

Пример 3. Найти поток векторного поля F = x2i + y 2 j + z 2 k по части сферы S : x2 + y 2 + z 2 = 1 , x > 0 , y > 0 , z > 0 .

Решение.

Способ 1 (с помощью формулы Остро- градского-Гаусса).

Рассмотрим тело V , ограниченное ука- занной частью сферы и координатными плоскостями. Тогда поток через замк- нутую поверхность равен сумме

Π = Π + Π + Π + Π	,	x	B
		x

AOB BOC COA ABC

A y

где Π − поток через сектор AOB плоскости XOY , Π − по-

AOB	BOC
ток через сектор BOC плоскости XOZ , Π − поток через сек-
	COA
тор COA плоскости YOZ ,	Π − поток через рассматриваемую

ABC

часть сферы ABC .

Поскольку для сектора AOB

z = 0 , dz = 0 ,

Π =

∫∫x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy = 0 , аналогично,

AOB

= Π

= 0 .

BOC

COA

В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса

dv = ∫∫∫(2x + 2 y + 2z) dxdydz =

Π = Π = ∫∫∫divF

ABC

= 2∫∫∫

(x + y + z) dxdydz .

Переходим к сферическим координатам

x = ρ sin ϕ cosθ ,

y = ρ sin ϕ sinθ , z = ρ cosϕ ,

тогда

dv = ρ 2 sin ϕ dϕ dρ dθ ,

в результате

= 2∫∫∫(sin ϕ cosθ + sin ϕ sinθ + cosϕ )ρ 3dρ sin ϕ dϕ dθ =

ABC

2 ∫sin ϕ dϕ

∫

dθ ∫(sin ϕ cosθ + sin ϕ sinθ + cosϕ )ρ 3dρ =

∫sinϕ dϕ ∫(sinϕ cosθ + sinϕ sinθ + cosϕ )dθ =

∫ sinϕ

sinϕ + sinϕ +

cosϕ dϕ

	1	π 2		2		π
=		∫	2sin		ϕ +		sinϕ cosϕ dϕ =
=	2	∫	2sin		ϕ +	2	sinϕ cosϕ dϕ =
	2	0				2

π 2			π					1			1				π
∫	1	− cos 2ϕ +	sin 2ϕ dϕ =						ϕ −				sin 2ϕ −
∫	1	− cos 2ϕ +	sin 2ϕ dϕ =					2	ϕ −		2		sin 2ϕ −		8
0			4					2			2				8
			=	1	π	+	π	+	π	=		3π
														.
				2	2		8				8			.
				2	2		8		8		8

cos 2ϕ 2 =

Способ 2.

Вычислим поток через поверхностный интеграл по части сферы

	Π =	∫∫ x2dydz + y2dxdz + z2dxdy =
	ABС	ABС
	= ∫∫(x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )ds,
	ABС
где cosα =	x		= x ,	cos β = y , cos γ = z . Тогда


	x 2 + y 2 + z 2
	Π =	∫∫(x3 + y3 + z3 )ds = 3 ∫∫ x3ds ,
	ABС	ABС		ABС
		ABС		ABС

что следует из соображений симметрии. Переходим к сфериче- ским координатам

Π = 3

ϕ cos3 θ sin ϕ dθ

cos3 θ dθ =

∫

dϕ ∫ sin3

=3 ∫ sin 4

ϕ dϕ ∫

ABС

π 2

1 π 2

= 3 ∫sin 4 ϕ dϕ ∫ (1 − sin 2

θ ) d sin

θ = 3 1

−

∫sin4 ϕ dϕ =

π 2

1 + cos 4ϕ

∫

(1 − cos 2ϕ )

dϕ =

∫ 1

− 2 cos 2ϕ +

dϕ =

	1	3		sin 4ϕ	π		3
=			ϕ - sin 2ϕ +		2	=		π .


	2	2		8	0		8

Пример 4. Вычислить поток векторного поля F = x 2i + y 2 j + z 2 k

по	внешней	стороне	поверхности	конуса
S : x2 + y2 - z2 = 0, 0 £ z £ 1.			z
Решение.
	Поток можно вычислить непо-			z = 1
	Поток можно вычислить непо-
средственно, разбив		поверхность
конуса на 4 части и с помощью
формулы Остроградского-Гаусса,
добавив к поверхности конуса верх-
нее основание z = 1.			0	y
Способ 1. Рассмотрим четыре части			x
поверхности		конуса	x
поверхности		конуса

S = S1 + S 2 + S3 + S 4 и углы нормали к этим поверхностям. Пусть

S1 : x2 + y2 - z2 = 0, 0 £ z £ 1, x ³ 0 , y ³ 0

или

S1 : z = x2 + y2 , x ³ 0 , y ³ 0 .

Направляющие косинусы нормали в этом случае

cosα > 0 , cos β > 0 , cos γ < 0 .

Тогда

PS1	= ∫∫(x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )ds =
	S1			,
=	∫∫ x2dydz + ∫∫		y2dxdz -	,
=	∫∫ x2dydz + ∫∫		y2dxdz -	∫∫ z2dxdy
	D1 yoz	D1zox		D1 xoy
			29

где

D1yoz : y ³ 0 , z ³ y , z £1, D1zox : x ³ 0 , z ³ x , z £1,

		D	: x ³ 0 , y ³ 0 , x2 + y2 £ 1 .
		1xoy

S2 : z = x 2 + y 2 , x £ 0 , y ³ 0 .
Направляющие		косинусы		нормали	в	этом	случае
cosα < 0 , cos β > 0 , cos γ < 0 . Тогда
	PS 2	= ∫∫(x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )ds =
		S 2
	= - ∫∫ x2dydz + ∫∫			y2dxdz -	∫∫ z2dxdy .
		D2 yoz	D2 zox	D2 xoy

S3 : z = x 2 + y 2 , x £ 0 , y £ 0 .
Направляющие		косинусы		нормали	в	этом	случае
cosα < 0 , cos β < 0 , cos γ < 0 . Очевидно,
	PS3	= ∫∫(x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )ds =
		S3
	= - ∫∫ x2dydz - ∫∫			y2dxdz - ∫∫ z2dxdy .
		D3 yoz	D3 zox	D3 xoy

S4 : z = x 2 + y 2 , x ³ 0 , y £ 0 .
Направляющие		косинусы		нормали	в	этом	случае
cosα > 0 , cos β < 0 , cos γ < 0 .

PS 4 = ∫∫(x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )ds =

S 4

= ∫∫ x2dydz - ∫∫ y2dxdz - ∫∫z2dxdy .

D4 yoz

D4 zox

D4 xoy

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]