Математическая логика и теория алгоритмов (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

(принимающей значения из множества X). Обычно для данного множества X рассматриваются несколько НЗЭ (т. е. нечетких переменных). Каждое из них характеризуется некоторым свойством (признаком) элементов множества. С целью «собрать воедино» эти свойства вводят еще одну переменную, называемую лингвистической, значениями которой являются указанные признаки.

Пример 4.2. Пусть X = {1,2,...,6}. Рассмотрим следующие НЗЭ (переменные): 1) малое число; 2) большое число; 3) среднее число. Зададим их как

A− = {1;0,9 , 2;0,9 , 3;0,6 , 4;0,2 , 5;0,1 , 6;0,03};

A+ = {1;0 , 2;0,1 , 3;0,2 , 4;0,2 , 5;0,8 , 6;0,8};

A0 = {1;0,1 , 2;0,2 , 3;0,8 , 4;0,8 , 5;0,3 , 6;0,03}.

Здесь мы имеем три свойства чисел: свойство быть малым, свойство быть большим и свойство быть средним. Их можно объединить, введя лингвистическую переменную величин, принимающую значения со следующими именами: малое, большое, среднее.

Конструкции с нечетко заданными элементами. 1. Рассмотрим отображения нечетко заданных множеств. Пусть дано отображение f: X → Y . Пусть в множестве X дано НМ вида A = {x, μA(x)}. Тогда его образом при отображении f называ-

ется НМ вида B = {y, μB(y)}, μB(y) = max{μA(x): f(x) = y}. 2. Определим декартовы произведения нечетко заданных мно-

жеств. Пусть даны множества X и Y и в них даны НМ A = = {x, μA(y)}, B = {y, μB(y)}. Напомним, что множество всех строк (выборок) (x,y) есть декартово произведение этих множеств; оно обозначается через X ×Y . Зададим в нем НМ функцией достоверности μ(x,y) = min{μA(x), μB(y)}. Полученное НМ называют декартовым произведением данных НМ и обозначают через A × B. Аналогично определяется декартово произведение нескольких НМ (обозначается через A1 × ... × Am).

Рассмотрим отображение X × Y → Z (его можно записать в

виде y = f(x,y)). Пусть даны НМ A={x, μA(x)},B = {y, μB(y)}. Тогда, комбинируя конструкции 1 и 2, получаем НЗЭ в множестве

Z с функцией достоверности

μ(z) = max{min{μA(x), μB(y)}: f(x,y) = z}.

41

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Аналогично отображение нечетких множеств A1 × ... × Am → Z дает НЗЭ в множестве Z.

3. Используя эти понятия, рассмотрим функции лингвистических переменных. Не вводя общего определения таких функций, поясним его на примере.

Предположим, что сконструирован некий измерительный прибор. Прежде чем рекомендовать его к серийному производству, проводят экспертизу с целью выявить качество прибора. Для упрощения будем считать, что такими качествами являются точность (в миллиметрах) и стоимость изготовления (в рублях). В зависимости от этих качеств принимают одно из следующих решений: рекомендовать прибор к производству; не рекомендовать прибор к производству; отправить прибор на усовершенствование. Здесь три лингвистические переменные α, β, ω, имеющие следующий смысл: α — это точность, принимающая значения α1 («высокая») и α2 («низкая»); β — это стоимость, принимающая значения β1 («дорого») и β2 («дешево»); наконец, переменная ω — это решение; она принимает три значения ω1, ω2, ω3, которые мы уже описали выше. Читатель легко сообразит, что решение ω должно выражаться через точность прибора α и его цену β с помощью функции ω = f(α, β) вида

f(α1, β1) = f(α2, β2) = ω2,f(α1, β2) = ω1,f(α2, β1) = ω3.

Итак, мы получили пример, в котором одна лингвистическая переменная является функцией двух других.

Перейдем к функциям достоверности. Предположим, что точность измеряется величиной x, стоимость — величиной y и эксперты пользуются следующими функциями достоверности для не-

x = 12,y = 22. Следовательно, можно считать, что нечеткая переменная α принимает значения α1 и α2 с достоверностью соответственно 0,8 и 0,2, а нечеткая переменная β принимает значения β1 и β2 с достоверностью соответственно 0,7 и 0,3. Применяя результаты, полученные в п. 2, выясняем, что функция достоверности

для ω имеет вид μω1 = min{0,8;0,3} = 0,3; μω3 = min{0,7;0,2} = = 0,2; μω2 = max{min{0,8;0,7},min{0,2;0,3}} = 0,7. Здесь μω3

42

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

— наибольшая из величин μω (ωi). Следовательно, нужно принять решение ω3 — отправить прибор на усовершенствование.

4. Пусть даны множества X и Y . Нечетким отношением (НО) на множестве X × Y называют НМ вида R = { (x,y), μ(x,y) }. Таким образом, элементы x,y находятся в НО R с достоверностью

μ(x,y).

Пусть даны множества X,Y,Z и даны два НО вида R1 =

= { (x,y), μ1(x,y) } и R2 = { (y,z), μ2(y,z) }. Рассмотрим НО

R3 = { (x,z), μ3(x,z) }, где функция достоверности имеет вид

μ3(x,z) = max{min{μ1(x,y), μ2(y,z)},y Y }.

Это НО называют композицией двух данных НО и обозначают через R1 ◦ R2.

Аналогично вводится композиция R1 ◦R2, где R1 — это НO на множестве X; R2 — НО на множестве X ×Y ; более точно, это есть НО, заданное функцией достоверности μ3(y) = max{min{μ1(x),

μ2(x,y)},x X}.

4.2. Нечеткая логика высказываний

Синтаксис этого языка такой же, как в случае знакомой нам логики высказываний (задаем алфавит {A,B,C,...}, затем, применяя связки, определяем формулы). Опишем семантику, т. е. интерпретацию формул; она отличается от семантики обычного языка высказываний.

Задать нечеткую интерпретацию формулы означает поставить в соответствие каждой формуле α число s(α), называемое степенью истинности этой формулы. Требуется выполнение следующих правил: s(α) = 1 − s(α);s(α β) = max{s(α),s(β)};s(α β) =

=min{s(α),s(β)};s(α → β) = max{s(α),s(β)};s(α ↔ β) =

=min{s(α → β);s(β → α)}.

Если заданы величины s(A),s(B),... (т. е. интерпретации атомарных формул), то эти правила позволяют найти s(α) для любой формулы α.

Пример 4.3. Пусть s(A) = 1/3,s(B) = 1/2. Найдем величину s(D),D=(A → B) A. Имеем s(A) = 1−s(A) = 2/3,s(A → B) =

= max{2/3,1/2} = 2/3,s(D) = max{1 − 2/3,2/3} = 2/3.

Упражнение. Пусть s(A),s(B) те же, что в примере 4.3. Подсчитайте s(A B → A B,s(A B → A B.)

43

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ЛИТЕРАТУРА

Клини С.К. Математическая логика: Пер. с англ. М.: УРСС, 2005.

480 с.

Колмогоров А.Н., Драгалин А.Н. Введение в математическую логику. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 120 с.

Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 1975. 232 с.

Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика: Курс лекций. Задачник-практикум и решения: Учеб. пособие. М.: Лань,

1999. 288 с.

Смольяков Э.Р. Математическая логика и некоторые ее приложения: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1992. 35 с.

Титов А.В., Калинкин А.В. Математическая логика, нечеткие множества и формальные системы: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1992. 30 с.

Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем: Пер. с англ. М.: Наука, 1983, 270 с.

Шапорев С.Д. Математическая логика: Учеб. пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 405 с.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Учебное издание

Бояринцева Татьяна Евгеньевна Золотова Наталья Викторовна Исмагилов Раис Салманович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

Редактор С.А. Серебрякова Корректор Е.В. Авалова

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 30.09.2011. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,79. Тираж 250 экз. Изд. № 1.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ДЛЯ ЗАМЕТОК