Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

299.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Вариант 12

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u = 0, 0 < x < a, 0 < y < b;

v0y

, ux

v0(y − b)

, 0

≤

x=0

x=a

y=0

, uy

y=b

1 + sin

a.b

≤

2a2b

≤

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0

ϕ0

, 0 < z < l;

ur r=R = 0,

≤0

≤

2π≤,

≤ zπ

≤

= v0

cos ϕ,

z=l

= 0,

≤

2π.

z=0

Вариант 13

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

uu = 0,

x < a,

< y < b

;

2πy

v0 < v y

2, u

0 y

≤

−

sin

− 1

x=0

= 2 0

x x=a =

y=0

= v0

1 −

, u y=b = v0

2 −

, 0 ≤ x ≤ a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤ ≤

z=0

z=l

≤ ≤

sin ϕ,

= v0

= 0,

0 r

2π.

Вариант 14

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u = 0, 0 < x < a, 0 < y < b;

= v0

, u

= v0 2

, 0

≤

x=0

− b

x=a

− b

πx

v0x

v0x(x a)

y=0

= v0

1 + sin

y=b

−

− b

≤

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0

2π, 0 < z < l;

r=R = 0,

≤0

≤

2π,≤

≤z

≤

z=0

= v0

cos ϕ,

z=l

= 0,

2π.

≤

Вариант 15

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

v00

< x < a,

πy0

< y < b

= 0=

1 + sin

;

v0y

≤

x=a

x=0

v0x(a x)

u y=0 =

−

, uy

y=b =

, 0

≤

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0

r < R, 0

ϕ0

, 0 < z < l;

ur r=R = 0,

≤

2π≤,

≤ zπ

≤

= v0

sin ϕ,

z=l

= 0,

2π.

z=0

≤

Вариант 16

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

< x < a,

< y < b

u = 0,

v00y2

;

3πy

≤

1 + cos

ux x=0 =

ab2 ,

ux x=a = a

v x

y=0

, u y=b =

, 0 ≤ x ≤ a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤

cos ϕ,

2π.

= v0

= 0,

z=0

z=l

Вариант 17

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

uu = 0,

v00 < x < a,

πy0

y < b

;

v y

,< u

≤

x x=0

= a

1 + sin

x=a =

0 +

b − 1

v0x

y=0 = v0 1 +

, u

y=b =

, 0 ≤ x ≤ a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤ ≤

u z

= v0

cos 2ϕ,

z l

= 0,

r R,

2π.

Вариант 18

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

uu = 0, v 0 < x

< a,

< y < b

, u0

v;0(b + y)

y b

v x

≤ ≤ ;

x=0

− b

x x=a

y=0

sin

2a −

1 ,

y=b

≤

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2

π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤ ≤

u z

= v0

sin 2ϕ,

uz z

= 0,

2π.

Вариант 19

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

= 0

v00

< x < a, 0 < y < b;

v0y2

3πy

v0y

≤

1 + sin

x=a

2 ,

x=0

2ab

≤

u y=0 = v0x, uy y=b = v0(x − a), 0 x a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

0 ϕ 2π≤,

ϕ0≤ zπ

r=R

= 0,

≤

u = 0, 0 r < R, 0

, 0 < z < l;

≤

≤ ≤

= v0

cos 2ϕ,

= 0,

2π.

Вариант 20

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u 0, 0 < x < a, 0 < y < b;

= v

− b

, u

= v

− b

, 0

≤

x=0

x=a

x a.

−

≤

sin

3πx

≤

= 2v0

y=0

y=b

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

0 ϕ 2π≤,

ϕ0≤ zπ

ur r=R

= 0,

≤

u = 0, 0 r < R, 0

, 0 < z < l;

≤

≤ ≤

= v0

sin 2ϕ,

l = 0,

2π.

Вариант 21

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u = 0, 0 < x <

< y < b

;

v0y(y b)

2πy 0

v0y

≤

= v0

b2−

− a ,

x=0

1 + sin

x=a

u y=0

= v0 1 −

, u y=b = v0 2 −

, 0 ≤ x ≤ a.

Задача

2. Решить краевую

задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2

π,≤ 0 ≤z

u r=R = 0,

≤ ≤

= v0

cos 2ϕ,

l = 0,

2π.

Вариант 22

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u = 0,

< y < b

v00 < x < a, 0v0y(y b;)

ux x=0 =

, u x=a =

ab−

, 0 ≤ y ≤ b;

≤

v (x

y=0

−

y=b

1 + cos

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤ ≤

= v0

sin 2ϕ,

l = 0,

2π.

Вариант 23

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

v00

< x < a,

< y < b

, u

=0v0y

, 0 ;

y b;

x=0

x=a

πx

≤

v0x

1 + cos

y=b

a2b

≤

y=0

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

ϕ0

≤ zπ

r=R

= 0,

≤0 ϕ 2π≤,

u = 0, 0

r < R, 0

≤

, 0 < z < l;

≤

≤ ≤

uz z

= v0

cos 2ϕ,

l = 0,

2π.

Вариант 24

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

< x < a,

< y < b

= 0= v00

, u

=02v0

v0y; , 0 y

x=0

x=a

−

≤ ≤

v0x(a + x)

v0x

3πx

y=0 =

, u

y=b

= a

+ v0 cos 2a ,

0 ≤ x ≤ a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

u r=R = 0,

≤ ≤

uz z

= v0

sin 2ϕ,

l = 0,

2π.

Вариант

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

< a,

< y < b

u = 0, 0 < xy

πy

;

v0y(y + b)

−

≤

x=0

= v0

+ v0 cos 2b ,

x=a

ab2

≤

= v0(x − a)

, u

= 2v0x, 0 x a.

y=0

y=b

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

u r=R = 0,

≤ ≤

u z

= v0

sin 2ϕ,

= 0,

2π.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. 336 с.

2.Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 228 с.

3.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб. для университетов. М.: Наука, 2004. 798 с.

4.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справ. М.: Наука, 1966. 296 с.

5.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учеб. пособие. М.: Наука, 1980. 688 с.

	ОГЛАВЛЕНИЕ
1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА . . . . . . .		3
	1.1. Уравнение Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
	1.2. Гармонические функции и их свойства . . . . . . . . . . .	3
	1.3. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа . . . . .	4
2. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . .		7
	2.1. Оператор Штурма — Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . .	7
	2.2. Задача Штурма — Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
	2.3. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
	2.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . .	11
3.	РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
	В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
	3.1. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
	3.2. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
	3.3. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . .	23
4.	ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
	4.1. Уравнение Бесселя. Фундаментальные системы решений
	уравнения Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
	4.2. Краевая задача на собственные значения и собственные
	функции для уравнения Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . .	27
5.	РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
	В ЦИЛИНДРЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29
	5.1. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29
	5.2. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . .	33
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		34
Условия домашнего задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		35
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		48

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]