Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Она соответствует случаю p(x) ≡ 1, q(x) ≡ 0, α1 = β2 = 0 в общей постановке. Собственные значения и собственные функции имеют вид

При решении краевых задач встречаются и более сложные виды граничных условий, отличающиеся от (2.5).

Задача 5. В следующей задаче на собственные функции используется условие периодичности:

− Φ00(ϕ) = λΦ(ϕ), 0 < ϕ < 2π; Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).

В этом случае существует собственное значение λ0 = 0, которому отвечает собственная функция Φ0(ϕ) ≡ 1, а каждому собственному значению λn = n2, n N соответствуют две линейно независимые собственные функции:

2.4. Задачи для самостоятельного решения

Решить следующие задачи Штурма — Лиувилля:

1.−X00(x) = λX(x), 0 < x < l; X(0) = 0, X0(l) + βX(l) = 0.

2.−X00(x) = λX(x), 0 < x < l; X0(0) − βX(0) = 0, X(l) = 0.

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3.−X00(x) = λX(x), 0 < x < l; X0(0) = 0, X0(l) + βX(l) = 0.

4.−X00(x) = λX(x), 0 < x < l; X0(0) − βX(0) = 0, X0(l) = 0.

3.РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

3.1.Метод Фурье

Изложим общую схему метода Фурье на примере решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике:

ет собой прямое произведение множеств Dx = {x : 0 < x < a} и Dy = {y : 0 < y < b}, т. е. область изменения переменной x не зависит от переменной y и наоборот.

Во-вторых, дифференциальный оператор , стоящий в левой части уравнения (3.1), можно представить в виде

∂2

= ∂y2 − Lx,

где Lx = − ∂2 — оператор, действующий в области Dx.

∂x2

Исходя из этого любую функцию на прямоугольнике D можно представить в виде ряда

X∞

по полной системе функций {Xn(x)}∞n=1 на [0, a]. В качестве такой системы можно выбрать систему собственных функций операто-

ра Lx. Учитывая, что для функции u(x, y) граничные условия по

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

переменной x являются однородными, оператор Lx можно рассматривать на пространстве Q, т. е. он будет самосопряженным. Такой подход носит название метода Фурье.

Сформулируем задачу на отыскание собственных значений и собственных функций оператора Lx:

Решение u(x, y) краевой задачи (3.1)–(3.3) будем искать в виде разложения в ряд Фурье (3.4) по системе собственных функций {Xn(x)}∞n=1 оператора Lx. В ряде (3.4) функции Cn(y) являются коэффициентами Фурье функции u(x, y) по системе {Xn(x)}∞n=1. Эти коэффициенты необходимо определить таким образом, чтобы решение, записанное в виде ряда (3.4), удовлетворяло уравнению (3.1) и граничным условиям (3.3).

Подставляя ряд (3.4) в уравнение (3.1), получаем

А так как, согласно (3.5), −Xn00(x) = λnXn(x), то последнее равенство примет вид

Учитывая, что ряд по полной системе функций {Xn(x)}∞n=1 на [0, a] равен нулю тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю, приходим к линейному однородному дифференциаль-

Далее, подставляя (3.4) в граничные условия (3.3), получаем:

при y = 0

X∞

Cn(0)Xn(x) = Φ(x);

n=1

при y = b

X∞ Cn0 (b)Xn(x) = Ψ(x).

n=1

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Эти соотношения представляют собой разложения функций Φ(x) и Ψ(x) соответственно в ряды Фурье по системе собственных функций {Xn(x)}∞n=1 оператора Lx. Коэффициенты Фурье Cn(0) и Cn0 (b) этих разложений могут быть вычислены по формулам

Таким образом, искомые функции Cn(y) должны удовлетворять дифференциальному уравнению (3.6) и следующим граничным условиям:

Согласно теории линейных однородных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3.6) имеет вид

Cn(y) = AnC1,n(y) + BnC2,n(y),

где C1,n(y) = exp √λny , C2,n(y) = exp −√λny , а An и Bn —

произвольные постоянные.

Однако в дальнейшем удобнее фундаментальную систему решений этого уравнения выбрать так, чтобы функция C1,n(y) удовлетворяла однородному граничному условию при y = 0, а функция C2,n(y) — однородному граничному условию при y = b, т. е.

C1,n(0) = 0, C20,n(b) = 0.

Поэтому общее решение дифференциального уравнения (3.6) запишем в следующей форме:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Таким образом, решением дифференциального уравнения (3.6), удовлетворяющим граничным условиям (3.8), является функция

где коэффициенты ϕn и ψn определяются по формулам (3.7).

3.2. Примеры решения задач

Задача 1 (задача Дирихле). Решить краевую задачу

Решение. Воспользуемся методом Фурье. Следуя общей схеме решения, приведенной в п. 3.1, поставим задачу на отыскание соб-

ственных значений и собственных функций оператора Lx = − ∂2 :

∂x2

Эта задача представляет собой задачу Штурма — Лиувилля с граничными условиями 1-го рода. Собственные значения и собствен-

15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ные функции этой задачи найдены в п.2.3 и имеют вид

где Cn(y) — коэффициенты Фурье функции u(x, y) по системе собственных функций оператора Lx.

Для того чтобы определить коэффициены Cn(y) этого разложения, подставим ряд (3.14) в уравнение (3.10) и заменим, согласно (3.13), Xn00(x) на −λnXn(x). В результате приходим к следующему равенству:

из которого получаем дифференциальное уравнение относительно искомой функции Cn(y):

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Далее запишем общее решение дифференциального уравнения (3.15) в виде

и определим коэффициенты An и Bn из условий (3.16):

Тогда с учетом вычисленных ранее значений ϕn и ψn, выражения для An и Bn примут вид

Подставив найденные значения коэффициентов An и Bn в ряд (3.14), получим решение краевой задачи (3.10)–(3.12) в следующей форме:

Замечание. При решении задачи Дирихле и смешанных краевых задач с неоднородными граничными условиями искомую функцию u(x, y) можно искать в виде суммы двух функций

u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),

где функция w(x, y) подбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла неоднородным граничным условиям, например, по переменной x. Тогда функция v(x, y) = u(x, y) − w(x, y) может быть определена из решения краевой задачи с однородными по переменной x граничными условиями.

При решении задачи Неймана такой подход применим не всегда, поскольку полученная для функции v(x, y) краевая задача может оказаться неразрешимой.

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Приведем пример решения типовой задачи домашнего задания.

Задача 2 (смешанная краевая задача). Решить задачу

где w(x, y) — функция, выбираемая таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (3.18) или (3.19). Полагая

видим, что эта функция удовлетворяет граничным условиям (3.18):

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

В результате для функции v(x, y) получаем краевую задачу с однородными граничными условиями по переменной x:

Напомним, что в этом случае существует собственное значение

λ0 = 0, которому соответствует собственная функция X0(x) ≡ 1. Собственным же значениям λn = πn 2, n N отвечают соб-

ственные функции Xn(x) = cos πnxa . a

Согласно методу Фурье, решение v(x, y) краевой задачи (3.20)– (3.22) будем искать в форме разложения в ряд Фурье по системе собственных функций {Xn(x)}∞n=1 оператора Lx:

X∞

где Cn(y) — коэффициенты Фурье функции v(x, y), которые необходимо определить таким образом, чтобы приведенный ряд удовлетворял уравнению (3.20) и граничным условиям (3.22).

Для определения функций Cn(y) подставим ряд (3.24) в уравнение (3.20). В результате получим

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

С учетом (3.23) последнее равенство примет вид

n=0

Так как разложение функции f(x, y) в ряд Фурье единственно, то коэффициенты ряда, записанного в левой части равенства (3.25), представляют собой коэффициенты Фурье функции f(x, y) и могут быть найдены по формулам

Найдем частное решение дифференциального уравнения (3.26), удовлетворяющее условиям (3.28). Дважды проинтегрировав урав-

20