Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Для отыскания частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (3.27) применим метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Так как общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (3.27), имеет

Согласно методу Лагранжа, функции A0n(y) и Bn0 (y) определим из системы

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Определитель этой системы не равен нулю, так как является определителем Вронского фундаментальной системы решений:

Это означает, что система имеет единственное решение. По правилу Крамера находим

С учетом ранее найденных функций βn(y) выражение для Cn(y) примет вид

Определим коэффициенты pn и gn так, чтобы искомая функция Cn(y) удовлетворяла условиям (3.29). Подставив Cn(y) в (3.29),

22

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

а решение u(x, y) исходной краевой задачи (3.17)–(3.19) примет следующий вид:

прямоугольнике 0 < x < a, 0 < y < b с заданными граничными

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4.ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

4.1.Уравнение Бесселя. Фундаментальные системы решений

уравнения Бесселя

называют уравнением Бесселя ν-го порядка (здесь ν — параметр). Всякое решение уравнения Бесселя, не равное тождественно

нулю, называют цилиндрической функцией.

Одним из частных решений уравнения (4.1) является функция

называемая цилиндрической функцией I рода или функцией Бесселя порядка ν.

Функция Бесселя отрицательного порядка

также является решением уравнения (4.1). Cформулируем основные свойства функций Бесселя.

24

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1. Если индекс ν = n — целое число, то функции Jν(x) и J−ν(x) линейно зависимы:

J−n(x) = (−1)nJn(x).

2.Если индекс ν не является целым числом, то функции Jν(x)

иJ−ν(x) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений (ФСР) уравнения (4.1), при этом его общее решение может быть записано в виде

y(x) = C1Jν(x) + C2J−ν(x),

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

Построим дополнительное решение уравнения (4.1), которое с функцией Jν(x) всегда образует ФСР.

Для значения ν, не являющегося целым числом, определим

sin πν

которую называют цилиндрической функцией II рода или функцией Неймана.

Очевидно, что функция Yν(x) является решением уравнения (4.1), так как представляет собой линейную комбинацию частных решений Jν(x) и J−ν(x) этого уравнения.

При целом значении ν формула (4.2) не имеет смысла. Функцию Yν(x) можно доопределить для целых значений ν = n с помощью предельного перехода ν → n. Вычисляя этот предел по

Этот предел и определяет функцию Неймана целого порядка. Отметим следующее. При произвольном индексе ν функции

Jν(x) и Yν(x) являются линейно независимыми и образуют ФСР уравнения Бесселя ν-го порядка. Общее решение этого уравнения

25

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

имеет вид

y(x) = C1Jν(x) + C2Yν(x),

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

На рис. 4.1 и 4.2 представлены графики функций Бесселя J0(x), J1(x) и Неймана Y0(x), Y1(x) для действительного аргумента. Следует отметить, что функции Неймана при x → 0+ не ограничены.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

3. Для функций Бесселя (Неймана) справедливы следующие

формулы дифференцирования:

dxd xνJν(x) = xνJν−1(x);

dxd x−νJν(x) = −x−νJν+1(x)

и вытекающие из них рекуррентные соотношения

Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2νx−1Jν(x);

Jν−1(x) − Jν+1(x) = 2Jν0 (x).

26

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. Уравнение

при ν > −1 имеет бесконечное множество действительных корней

μn (μ1 < μ2 < ∙ ∙ ∙ < μn < . . . ), причем μn → +∞ при n → ∞. 5. Если на линейном пространстве функций, интегрируемых на

[0, a], ввести скалярное умножение согласно правилу

4.2. Краевая задача на собственные значения и собственные функции для уравнения Бесселя

Пусть ν > 0. Рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения и собственные функции:

Здесь условие (4.6) ограниченности решения при x = 0 связано с тем, что точка x = 0 является особой точкой уравнения (4.4).

27

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где A и B — произвольные постоянные.

Так как эта функция должна удовлетворять условию (4.6), то

Далее, подставляя (4.7) в граничное условие (4.5), получаем уравнение для определения собственных значений λ:

αJν √λa + β√λJν0 √λa = 0.

Пусть μn > 0 — n-й корень уравнения (4.8), тогда собственные значения и собственные функции задачи (4.4)–(4.6) примут вид

Квадрат нормы собственной функции определяется по формуле (4.3).

Замечание. Если α = ν = 0, то существует собственное значение λ0 = 0, которому соответствует собственная функция

X0(x) ≡ 1.

28

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ЦИЛИНДРЕ

5.1. Примеры решения задач

Задача 1 (смешанная краевая задача). Решить задачу

Решение. В соответствии с общей схемой метода Фурье поставим задачу на отыскание собственных значений и собственных

∂2

функций оператора Lϕ = −∂ ϕ2 :

Здесь условие периодичности (5.5) связано с тем, что решение u(r, ϕ, z) краевой задачи (5.1)–(5.3) должно быть периодично по ϕ с периодом, равным 2π.

Напомним, что собственные значения и собственные функции задачи (5.4), (5.5) имеют вид

ν0 = 0, Φ(1)0 (ϕ) ≡ 1;

νn = n2, Φ(1)n (ϕ) = cos nϕ, Φ(2)n (ϕ) = sin nϕ, n N.

Будем искать решение u(r, ϕ, z) краевой задачи (5.1)–(5.3) в форме разложения в ряд Фурье по системе собственных функций оператора Lϕ:

u(r, ϕ, z) = v0(1)(r, z)Φ(1)0 (ϕ)+

n=1

где v0(1)(r, z) и vn(k)(r, z), k = 1, 2, — коэффициенты Фурье функции u(r, ϕ, z), которые необходимо определить так, чтобы решение

29