Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение краевых задач для уравнения Лапласа (96

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

299.1 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Таким образом, искомые функции vn(k)(r, z) должны удовлетворять уравнению (5.7), однородному граничному условию (5.8), а также следующим граничным условиям:

vn(k)(r, 0) = b(nk)(r), vn(k)(r, h) = c(nk)(r), k = 1, 2, n ≥ k − 1.

(5.9) Учитывая однородность граничных условий по переменной r, решение краевой задачи (5.7)–(5.9) можно искать в виде разложения в ряд Фурье по системе собственных функций оператора Lr,

действующего на функцию Xn(r) по правилу

Lr[Xn(r)] = −	d	r	dXn(r)	+	n2
						Xn(r).
	dr		dr		r2

Поставим задачу на отыскание собственных значений и собственных функций оператора Lr:

Lr[Xn(r)] = λnXn(r), 0 < r < a;	(5.10)
αXn(a) + Xn0 (a) = 0;	(5.11)
\|Xn(0)\| < +∞.	(5.12)

Здесь условие (5.11) следует из однородного граничного условия (5.8), а условие (5.12) означает ограниченность искомого решения при r = 0.

Собственные значения и собственные функции этой задачи имеют вид

	(n)	2		(n)
λnm =	m		, Xnm(r) = Jn	m	r , m N,
	μa			μ
				a

где μ(mn) > 0 — m-й корень уравнения

α aJn(μ) + μJn0 (μ) = 0.

Итак, функцию vn(k)(r, z) будем искать в виде разложения в ряд Фурье по системе собственных функций задачи (5.10)–(5.12):

	∞
	X
v(k)(r, z) =	Z(k)	(z) Xnm(r),	(5.13)
n	nm

m=1

где Znm(k) (z) — коэффициенты Фурье функции vn(k)(r, z) по системе функций {Xnm(r)}∞m=1.

Далее, подставляя ряд (5.13) в уравнение (5.7) и учитывая равенство (5.10), получаем дифференциальное уравнение относи-

тельно искомых коэффициентов Znm(k) (z):

Znm(k)00(z) −	μm(n)	2
		Znm(z) = 0, 0 < z < h,
	a

общее решение которого запишем в виде

Znm(k) (z) = Cnm(k) sh	μm(n)z	+ Bnm(k) sh	μm(n)(h − z)	.
	a
			a

Определим коэффициенты Cnm(k) и Bnm(k) . Для этого подставим ряд (5.13) в граничные условия (5.9). В результате получим:

при z = 0

X∞

Znm(k) (0) Xnm(r) = b(nk)(r);

m=1

при z = h

X∞

Znm(k) (h) Xnm(r) = c(nk)(r).

m=1

Так как эти соотношения представляют собой разложения функций b(nk)(r) и сn(k)(r) соответственно в ряды Фурье по системе

функций {Xnm(r)}∞m=1, то коэффициенты Фурье Znm(k) (0) и Znm(k) (h) указанных функций могут быть вычислены по формулам

Znm(k) (0) =

rbn(k)(r) Xnm(r) dr = ψnm(k) ;

kXnmk2

Znm(k) (h) =

rcn(k)(r) Xnm(r) dr = ξnm(k) .

kXnmk2

Учитывая, что

Znm(k) (0) = Bnm(k) sh

μm(n)h

, Znm(k) (h) = Cnm(k)

μm(n)h

находим

ξ(k)

ψnm(k)

Cnm(k)

, Bnm(k) =

μm(n)h

В результате решение исходной краевой задачи (5.1)–(5.3) примет вид

∞

μm(n)

r cos nϕ+

u(r, ϕ, z) = n=0 m=1 Znm(1) (z) Jn

X X

+ Znm(2) (z) Jn

μm(n)

r sin nϕ,

где

Z(k)

(z) =

ξ(k)

μm(n)z

+ ψ(k) sh

μm(n)(h − z)

;

μm(n)h

μ(mn) > 0 — m-й корень уравнения αaJn(μ) + μJn0 (μ) = 0, а коэф-

фициенты ψnm(k) и ξ(k)

вычисляются по формулам

2π

μm(n)

ψ(k)

f1(r, ϕ) Jn

Φ(k)(ϕ) rdrdϕ;

Φn(k)

2 Z Z

2π

μm(n)

ξnm(k) =

(r, ϕ) Jn

Φn(k)(ϕ) rdrdϕ.

Φn(k)

2 Z Z

0 0

5.2. Задачи для самостоятельного решения

Решить краевую задачу для уравнения Лапласа u(r, ϕ, z) = 0

в цилиндре 0 ≤ r < a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 < z < h с заданными

граничными условиями.

(αu + ur) r=a = 0, u z=0 = 0,

r z=h

= V0

cos 2ϕ.

(αu + ur) r=a

= 0, u z=0 = V0

sin

ϕ, uz

z=h = 0.

(αu + ur) r=a

= 0, uz

z=0 = 0, uz

z=h = V0

sin ϕ.

ОТВЕТЫ Глава 2

μn

λn =

, n N, где μn — положительные корни

уравне-

ния μ cos μ + βl sin μ = 0; Xn(x) = sin

√

; kXnk2 =

1 +

λn

l(λn + β2)

λn

μn

, n N, где μn

—

положительные корни

уравнения

μ cos

μ + βl sin μ

0; X

(x) =

sin

√

;

2 =

1 +

−

μn

l(λn + β2)

λn =

, n N, где μn — положительные корни

уравне-

ния μ sin μ − βl cos μ = 0; Xn(x) = cos

√

; kXnk2 =

1 +

λn

l(λn + β2)

λn

μn

, n N, где μn

—

положительные корни

уравнения

μ sin μ

βl cos μ

0; X

(x) =

cos

√

;

2 =

1 +

−

l(λn + β2)

Глава 3

1. u(x, y) = U1 +		(U2 − U1)y	.	2. u(x, y) = U0	x		1 +	y	.
					a			b
		b
Указание	. Решение краевых задач 1					в виде гар-
				и 2 следует искать

монического полинома u(x, y) = A(x2 − y2) + Bxy + Cx + Dy + F .

3πx

3πy

u(x, y) = U0

sin

3πa

w(x, y) = U0

w(x, y) =

xy.

Указание. Решение краевых задач 4 и 5 следует искать в виде u(x, y) = v(x, y) + w(x, y), где функция w(x, y) удовлетворяет граничным условиям по переменной y.

Глава 5

∞

J3(μ

)

μnz

r , где

u(r, ϕ, z) = U0a

cos 2ϕ n=1

μnkJ2k2

μnh

μn — положительные корни уравнения αaJ2

(μ) + μJ20 (μ) = 0.

∞

J2(μn)

μn(h − z)

μn

r ,

u(r, ϕ, z) = U0a

sin ϕ n=1

μnkJ1k2

μnh

μJ10 (μ) = 0.

где μn — положительные корни уравнения αaJ1(μ) +

∞

J2(μ

) ch

μnz

r ,

u(r, ϕ, z) = U0a

sin ϕ n=1

μn2 kJ1k2

μnh

где

μn — положительные корни уравнения αaJ1(μ) + μJ10 (μ) = 0.

УСЛОВИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ Вариант 1

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

= 0

, 0 < x < a, 0 < y < b;

v0y(b

u x=0 =

ab−

, ux

x=a =

, 0 ≤ y ≤ b;

≤

3πx

v x

y=0 =

1 + sin

, u

y=b =

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤

cos ϕ, u

= v0

= 0,

z=l

2π.

z=0

Вариант 2

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u = 0, 0 < x < a, 0 < y < b;

≤

v0x

πx

ux x=0 = v0 , u x=a = v0y , 0 y

y=b

1 + cos

≤

y=0

a2b

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤

sin ϕ,

2π.

= v0

= 0,

z=l

z=0

Вариант 3

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u 0, 0 < x < a, 0 < y < b;

v0y

= v

1 +

, u

, 0

≤

x=0

x=a

x a.b

a −

≤

1 + sin

2πx

= v0 + v0

≤

y=0

y=b

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

ϕ 2π, 0≤ ϕz

≤ l;π

ur r=R,

≤

, 0 < z < l;

u = 0, 0

r < R, 0

≤

r≤

≤

z=l

z=0

≤ ≤

cos ϕ,

2π.

= v0

= 0,

Вариант 4

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

= 0

< x < a, 0 < y < b;

v0y2

v00y

3πy

ux x=0 =

sin

− 1 ,

u x=a =

0 ≤ y ≤ b;

− a

≤

0(a + x)

u y=0 = v0 1

, uy

y=b =

, 0 x a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

0 ϕ 2π≤,

ϕ0≤ zπ

r=R

= 0,

≤

u = 0, 0

r < R, 0

≤

, 0 < z < l;

≤

z=l

z=0

≤ ≤

sin ϕ, uz

2π.

= v0

= 0,

Вариант 5

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u = 0,

< a,

< y < b

;v0

3πy

v0y

v00 < xv0y2

≤

2 ,

x=a =

1 + sin

ux x=0

2ab

≤

u y=0 = v0x

, uy y=b = v0(x − a), 0 x a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤ ≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤

cos ϕ,

= v0

= 0,

z=0

z=l

2π.

Вариант 6

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u 0, 0 < x < a, 0 < y < b;

= v

− b

, u

= v

− b

, 0

≤

x=0

x=a

0 x a.−

−

sin

πx

≤

= 2v0 v0

y=0

y=b

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤ ≤

z=0

z=l

sin ϕ,

2π.

= v0

= 0,

Вариант 7

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u 0, 0 < x < a, 0 < y < b;

= v0

, u

= v0 2

, 0

≤

x=0

− b

x=a

− b

2πx

v0x

v0x(x a)

≤

1 + sin

−

y=0

= v0

− b

y=b

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

0 ϕ 2π≤,

ϕ0≤ zπ

r=R

= 0, ≤

u = 0, 0

r < R, 0

, 0 < z < l;

≤

cos ϕ,

2π.

= v0

= 0,

z=l

z=0

Вариант 8

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u =

, 0 < x < a, 0 < y < b;

πy

v0(y b)

u x=0 =

a−

x=a

1 + cos

, 0 ≤ y ≤ b;

≤

v x(x

uy y=0 =

, u

y=b

−

, 0 x

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤ ≤

z=0

z=l

sin ϕ,

0 ϕ 2π.

= v0

= 0,

0 r

Вариант 9

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

= 0

v00

< x < a, 0 < y < b;

3πy

v0y2

≤

ab2 ,

ux x=0 =

1 + cos

ux x=a =

≤

v x

uy y=0 =

, u

y=b

, 0

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤

sin ϕ,

= v0

= 0,

R, 0

z=l

2π.

z=0

Вариант 10

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

= 0

, 0 < x < a, 0 < y < b;

πy

v0y(b + y)

v0y

u x=0 =

u x=a =

+ v0 cos

0 ≤ y ≤ b;

v x

= 2v0 −

uy y=0 =

, u y=b

, 0 ≤ x ≤ a.

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

u = 0, 0 r < R, 0 ϕ 2π, 0 < z < l;

≤

≤0 ϕ 2π,≤ 0 ≤z

r=R = 0,

≤

cos ϕ,

2π.

= v0

= 0,

z=l

z=0

Вариант 11

Задача 1. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в пря-

моугольнике:

u = 0,

< x < a,

< y < b

v00(y b)

2v;0y

x=0

−

, u

x=a

, 0

≤

3 x

v x(x + a)

≤

= v0 1

+ v0 cos

y=0

− a

y=b

a2b

Задача 2. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа в кру-

говом цилиндре:

≤0 ϕ 2π≤, ϕ0≤ zπ

r=R

= 0,

u = 0, 0

r < R, 0

, 0 < z < l;

≤

z=l

z=0

≤ ≤

sin ϕ,

2π.

= v0

= 0,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]