Введение в квантовую теорию поля. Ч. 2 (90

а n-кратное действие такого оператора на основное состояние привело бы к рождению n электронов с одинаковым импульсом и спином

что для частиц со спином 1/2 не может быть реализовано, так как противоречит принципу Паули. Чтобы этого избежать, Дирак предложил заменить коммутационные условия (2.35) на антикоммутационные условия:

считая все остальные возможные антикоммутаторы равными нулю. В этом случае действие оператора рождения aˆ+p,λ на вакуум все так-

же приведёт к рождению одного электрона, но уже двукратное действие в силу антикоммутационных соотношений

{ aˆ+p,λ, aˆ+p,λ } = 2 aˆ+p,λ aˆ+p,λ = 0,

даст ноль

aˆ+p,λ aˆ+p,λ | · · · 0 0 · · · 0 0 · · · >= 0.

Рождение двух частиц в разных квантовых состояниях при этом остаётся возможным

aˆ(+)p,λ aˆ(+)p ,λ | · · · 0 0 · · · 0 0 · · · >= | · · · 1p,λ 0 · · · 1p ,λ 0 · · · > .

Рассмотрим, что представляет собой состояние с минимальной энергией для спинорного поля. Поскольку в таком поле мы имеем два типа решения – с положительной и отрицательной энергией, то очевидно, что состоянию с минимальной возможной энергией соответствует вектор состояния, в котором все состояния с отрицательной энергией заняты, а с положительной энергией свободны. Такое состояние называют “морем Дирака” и именно его будем в дальнейшем отождествлять с вакуумом:

Отметим, что, в отличие от бозонов, для фермионов эту “яму” с отрицательными энергиями можно “насытить”, так как на каждый её уровень можно посадить только по два фермиона, чьи квантовые состояния отличаются только спином. Правда, энергия такой “ямы” будет отрицательной и бесконечной.

ϕλ ϕλ + = I, (2.23)

λ

в чем не трудно убедиться, используя явный вид функции ϕλ. Таким образом, биспинорная амплитуда (2.17) является функцией

не только импульса частицы, но и ее спина, и с учётом (2.21) может быть записана в форме:

−

В волновой функции (2.9) осталось определить только коэффициент N , который находим из условия нормировки

Окончательно нормированное решение уравнения Дирака в виде плоских волн де-Бройля может быть представлено в виде:

где значения параметра λ = ±1 соответствуют двум возможным проекциям спина – на направление движения или против него.

Решение (2.25) соответствует положительной энергии E = p 2 + m2. Однако из уравнения Дирака следует, что энергия частицы может принимать как положительные, так и отрицательные значения (2.12).

Решение, соответствующее отрицательной энергии E = − p 2 + m2, удовлетворяет уравнению

Биспинорная амплитуда, соответствующая решению с отрицательной энергией, может быть приведена к форме

Учитывая, что волновая функция определена с точностью до общей фазы, биспинорная амплитуда u(−p) может быть записана в виде

Как видно из (2.28), биспинорная амплитуда, соответствующая решению с отрицательной энергией, может быть получена из функции u(λ)(p) заменой в последней m → −m, что соответствует уравнению (2.26). При этом нормировка биспинорной функции u(−p) не меняется:

u(λ) +(−p) u(λ)(−p) = 2E.

Биспинорные амплитуды, соответствующие двум типам решений и разным проекциям спина, ортогональны друг другу:

Используя принцип суперпозиции, запишем общее решение уравнение Дирака в виде суммы решений:

Следует особо отметить, что в случае спинорного поля положительно частотное решение соответствует решению с положительной энергией, E > 0, в то время как отрицательно частотное решение – решению с отрицательной энергией, E < 0. Чтобы в этом убедиться, найдём энергию поля Дирака. Для этого вычислим компоненту T 00 тензора энергии-импульса, которая для спинорного поля принимает следующий вид

Энергия спинорного поля в общем случае определяется интегралом:

Найдем энергию одночастичного состояния, соответствующего решению с положительной частотой. Подставляя в (2.31) решение в форме (2.25), получаем:

Для вычисления энергии одночастичного состояния, соответствующего решению с отрицательной частотой, используем решение (2.27):

Как видно из (2.32) и (2.33), для поля частицы со спином 1/2 энергия действительно может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Напомним, что в случае скалярного поля компонента T 00, а значит, и энергия, были положительно определёнными величинами для двух типов полевых решений – и положительно частотного, и отрицательно частотного. Таким образом, Дирак, “спасая” статистическую интерпретацию Борна (теперь j0 = ψ+ ψ > 0), получил состояния с отрицательной энергией.

Для того чтобы проквантовать спинорное поле, рассмотрим выражение для его энергии, которое может быть приведено к виду (см. Упражнение № 2.3)

p, λ

Предадим по аналогии со скалярным полем коэффициентам ap,λ и a−p,λ смысл операторов рождения частицы с положительной и отрицательной энергией соответственно, а коэффициентам ap,λ и a−p,λ

– смысл операторов уничтожения частиц и подчиним эти операторы коммутационным условиям

все остальные возможные коммутаторы полагая равными нулю. При таких условиях в результате действия на вакуум повышающего оператора aˆ+p,λ рождается электрон с импульсом p и проекций спина на направление движение λ:

Более удобным оказывается использовать оператор спиральности

пульсном представлении, когда он является просто единичным вектором в направлении движения частицы, n = p/|p|.

Нетрудно убедиться (см. Упражнение № 2.1), что коммутатор операторов спиральности и Гамильтона равен нулю,

ˆ ˆ

[Sn, H] = 0,

а, значит, спиральность сохраняется с течением времени.

Будем полагать, что функция u(p) является собственной функцией

Из первого уравнения этой системы (см. Упражнение № 2.2) находим, что параметр λ принимает два значения λ = ±1, значит, второе уравнение системы (2.20) оказывается тождественным первому. Реше-

Попытка уменьшить энергию состояния (2.39), действуя на него оператором aˆ+−p, λ, приводит к нулю в силу антикоммутационных соотношений (2.38). Действительно, представив состояние вакуума как результат действия оператора рождения электрона с отрицательной энергией

Таким образом, состояния с энергией меньше, чем у вакуума, нет. Напомним, что в скалярном поле за вакуум также принималось состояние с минимальной энергией, но там оно соответствовало состоянию, в котором не было ни одного возбуждённого осциллятора (все осцилляторы находились в основном состоянии).

Увеличить энергию системы, находящейся в основном состоянии, можно двумя способами. Первый способ заключается в действии на это состояние повышающим оператором aˆ+p,λ. При этом на фоне “Моря Дирака” появляется электрон с положительной энергией, что приводит к изменению энергии по сравнению с энергией вакуума на E > 0

Второй способ увеличить энергию – это подействовать на вакуум оператором уничтожения электрона с отрицательной энергией, aˆ−p, λ. В этом случае энергия системы уменьшится на −E > 0, то есть она увеличится на E

В результате такого действия в вакууме возникает вакансия – дырка в спектре отрицательных энергий. Поэтому удобно ввести оператор рождения такой вакансии (дырки), то есть оператор уничтожения электрона с отрицательной энергией

Появление такой дырки на фоне моря Дирака воспринимается как рождение частицы с положительной энергией и положительным зарядом. Как оказалось, такое состояние действительно соответствует частице – позитрону, отличающемуся от электрона только знаком электрического заряда.

В дальнейшем под вакуумом будем понимать состояние, в котором нет ни одного электрона с положительной энергией и нет ни одной дырки. Обозначать такое состояние будем следующим образом:

|vacuum >≡ | 0 > .

Сучётом вышеизложенного общее решение уравнения Дирака (2.30) может быть представлено в форме:

иимеют следующий смысл:

•оператор aˆ+p, λ – оператор рождения электрона с импульсом p, энергией E = p 2 + m2 > 0 и проекцией спина, определяемой параметром λ,

•оператор aˆp, λ – оператор уничтожения электрона с импульсом p, энергией E = p 2 + m2 > 0 и проекцией спина, определяемой параметром λ,

является Лоренц инвариантом.

Подставляя в условие (2.14) биспинорную амплитуду в виде (2.13) и учитывая, что спинор ϕ подчиняется условию нормировки

и выписываем нормированное решение уравнения Дирака в импульсном представлении в форме

Здесь n – единичный вектор, определяющий направление движения

√

частицы, n = p/|p | = p/ E2 − m2.

Следует отметить, что спинор ϕ при этом остаётся произвольным, поскольку биспинорная амплитуда (2.17) описывает частицу с определённым импульсом, но не несёт в себе никакой информации об её спине. Для того чтобы соответствовать состоянию с определённым спином частицы, функция u(p) должна быть собственной и для оператора спина

ˆ

S

, определённого следующим образом:

Однако в релятивистской физике спин не является интегралом движения, так как ни одна из его компонент не коммутирует с оператором Гамильтона

ˆ ˆ ˆ ˆ

[Si, H] = [Si, α p + β m] = 0.

Нетрудно показать, что уравнение Шредингера (2.2) с оператором Гамильтона в форме (2.3) сводится к уравнению Клейна–Гордона– Фока. Действительно, квадрируем уравнение (2.2)

Подставляя в уравнение (2.4) оператор Гамильтона в форме (2.3) и используя свойства “чисел” αi и β, получаем

что в точности воспроизводит уравнение Клейна–Гордона–Фока (2.1),

Уравнение (2.2) с оператором Гамильтона (2.3) может быть преобразовано к ковариантной форме. Для этого умножим его слева на

Вводя гамма-матрицы Дирака γμ = (γ0, γ) = (β, β α) или в явном

Данная система уравнений по параметрам ϕ1, ϕ2 линейная и однородная, следовательно, отличное от нуля её решение существует при условии равенства нулю определителя

раскрывая который, находим собственные значения оператора

Для нахождения функций, соответствующих этим значениям параметра λ, вернёмся к системе (2.48). Поскольку уравнения в этой системе линейно зависимые, то возможным оказывается только выразить одну компоненту спинора через другую, например, ϕ2 через ϕ1

ϕ2 = λ − cos θ ei ϕ ϕ1, sin θ

так что спиновая функция ϕ принимает вид

Из условия нормировки |ϕ|2 = 1 находим неизвестную функцию ϕ1

Окончательно выражение для собственной функции оператора проекции спина на произвольное направление может быть приведено к форме:

где α – произвольная фаза, которую в дальнейшем будем полагать равной нулю.

Упражнение № 2.3 Найти выражение для энергии спинорного поля.

Решение.

Энергия спинорного поля в общем случае определяется интегралом (2.31), для вычисления которого потребуется явный вид функций ψ+

и ˙ , построенных на решении в форме (2.30):

ψ

Интеграл по координатам легко вычисляется c использованием со-

Возникающий при этом символ Кронекера позволяет снять сумму по импульсу p :

− aE,−p,λ a−p,λ u(λ )+(E, −p) u(λ)(−E, −p) e2iEt+ + a−E,p,λ ap,λ u(λ )+(−E, p) u(λ)(E, p) e−2iEt .

Учитывая, что биспинорные амплитуды, соответствующие разным значениям спина и разным типам решений, ортогональны друг другу

и оказывается знаконеопределённой, что создаёт проблемы при вероятностной трактовке j0. Напомним, что в нерелятивистской квантовой механике имела место статистическая интерпретация волновой функции. Это оказалось возможным благодаря тому, что плотность вероятности – положительно определённая величина

ρ =| ψ |2,

что является следствием того, что уравнение Шредингера содержит по времени только первую производную

П. Дирак поставил перед собой задачу найти сохраняющийся ток, нулевая компонента которого была бы положительно определённой, тогда вероятностная интерпретация допускалась бы и в случае спинорного поля. Для этого необходимо, чтобы поле являлось решением уравнения, содержащего производную по времени только первого порядка, в отличие от уравнения (2.1). Из требования, чтобы это уравнение было релятивистским, следует, что оно должно быть также линейным и по производным по координатам. Такое уравнение может быть записано в форме уравнения Шредингера (2.2), в котором оператор Гамильтона имеет вид:

Дирак показал, что такая алгебра может быть реализована на матрицах 4 × 4, а роль “чисел” α и β играют матрицы, построенные сле-

где σi – матрицы Паули, а O и I – матрицы размерности 2 × 2:

Для того чтобы найти выражения для векторов (1.38) в системе отсчета K, необходимо выполнить над ними преобразования Лоренца вдоль оси x со скоростью V = −p/E:

Таким образом, для 4-вектора импульса в этой системе получаем:

Аналогичные преобразования выполняем для 4-вектора поляризации:

который с учетом того, что вектор p направлен по оси x, может быть представлен в виде:

Следует отметить, что выражение (1.40) справедливо в произвольной системе отсчета, относительно которой частица летит со скоростью

.

V = p/E

Нетрудно убедиться, что для 4-векторов pμ и εμ выполняется усло-

Здесь знак “+” соответствует фермионному полю, знак “–” – бозонному полю. С учетом перестановочных соотношений (3.5) выражение (3.8) существенно упрощается

Переходя от суммирования по импульсам к интегрированию по правилу

получаем выражение для свертки двух полевых операторов при условии x0 > y0 в виде:

λ

Эта матрица имеет различный вид для разного типа полей, и её явный вид мы найдем позднее.

Перепишем выражения для свертки двух полей в терминах этой матрицы

Выражение (3.13) можно максимально приблизить по форме к выражению (3.12), для этого сделаем в нем замену переменной интегрирования p → −p. В результате такой замены интеграл преобразуется к виду:

Для того чтобы объединить выражения (3.12) и (3.14) в одно, рассмотрим интеграл в комплексной области переменной p0

Аналогично для нахождения собственных векторов поляризации, соответствующих собственным значениям λ = ±1, возвращаемся к системе (1.35). Полагая в ней λ = ±1 и раскрывая её относительно координат вектора поляризации, выражаем компоненты ε1 и ε2 через третью компоненту ε3

Из условия нормировки (1.26) находим выражение для третьей ком-

В результате для векторов поляризации, соответствующих λ = ±1,

Упражнение № 1.2 Найти выражение для 4-вектора поляриза-