Введение в квантовую теорию поля. Ч. 2 (90

Учебное издание

Михеев Николай Владимирович Нарынская Елена Николаевна

Введение в квантовую теорию поля

Часть 2

Методические указания

Редактор, корректор М. В. Никулина

Компьютерная верстка Е. Н. Нарынская

Подписано в печать 08.09.2011. Формат 60 × 84/16. Бумага тип. Усл. печ. л. 2,32. Уч.-изд. л. 3,0.

Тираж 50 экз. Заказ .

Оригинал-макет подготовлен редакционно-издательским отделом Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова.

Отпечатано на ризографе.

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова. 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра теоретической физики

Н. В. Михеев, Е. Н. Нарынская

ВВЕДЕНИЕ

В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ПОЛЯ

Часть 2

Методические указания

Рекомендовано Научно-методическим советом университета

для студентов, обучающихся по направлению Физика

Яpославль 2011

УДК 539.12; 537.8 ББК В 315я73

М69

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного издания. План 2010/2011 учебного года

Рецензент:

кафедра теоретической физики ЯрГУ им. П. Г. Демидова

M69 Михеев, Н. В. Введение в квантовую теорию поля. Ч. 2.: методические указания/ Н. В. Михеев, Е. Н. Нарынская; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Яpославль: ЯрГУ, 2011. 44 с.

Данное издание представляет собой вторую часть методических указаний, посвященных введению в квантовую теорию поля. В указаниях подробно излагается методика квантования векторного и спинорного полей, теория построения пропагаторов квантовых полей.

Методические указания предназначены для студентов, обучающихся по направлению 010700.62 Физика (дисциплина ”Введение в квантовую теорию поля”, блок СД), очной формы обучения.

Библиогр.: 8 назв.

Работа выполнена в рамках реализации Федеральной целевой программы “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы (Госконтракт № П2323), при частичной финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по программе “Развитие научного потенциала высшей школы” (проект № 2.1.1/13011) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-02- 00394-a).

УДК 539.12; 537.8 ББК В 315я73

c Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2011

Правая часть выражения (3.28) преобразуется к виду:

Приравнивая результаты (3.29) и (3.30), находим коэффициент A:

A = 1.

Таким образом, матрица плотности спинорного поля, просуммированная по поляризациям, имеем вид:

λ

Матрицу плотности для фермионов (3.31) можно получить и непосредственными прямыми вычислениями. Для этого подставим в определение (3.25) явный вид биспинорных амплитуд (2.24) и, учитывая,

Принимая во внимание, что спинор ϕλ является собственной функцией оператора спиральности и удовлетворяет уравнению (2.47), а значит, имеет место равенство

λ |p| ϕλ = (σ · p ) ϕλ,

Учитывая, что

ϕλ ϕλ + = I,

λ

выражение (3.32) может быть записано в терминах матриц Дирака γμ:

Каждое из полей A1μ и A2μ описывается лагранжианом (1.7), а лагранжиан комплексного поля Wμ строится как сумма лагранжиа-

то лагранжиан (1.12) может быть записан в терминах комплексного

где комплексный тензор поля определён как

Fμν (W ) = ∂μ Wν − ∂ν Wμ .

В качестве независимых полевых переменных можно выбрать либо два вещественных поля A1μ и A2μ, либо одно комплексное поле Wμ.

Далее подробно рассмотрим уравнение (1.14) для векторного поля Wν . Дифференцируя это уравнение по 4-координате, получим, что

с учётом которого уравнение (1.14) может быть записано в форме уравнения Клейна–Гордона

Уравнение (1.17) является однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, его одночастичное решение может быть представлено в виде плоской волны де-Бройля

Здесь N – нормировочный коэффициент, pμ – 4-импульс части-

цы, pμ = (E, p ), E = p 2 + m2, εμ – не зависящий от координат 4- вектор поляризации, который в общем случае может быть комплексным. Здесь и в дальнейшем у 4-векторов, стоящих внутри круглых скобок, тензорные индексы полагаются свёрнутыми последовательно, например: (px) = pμ xμ.

Подставляя в (1.16) функцию Wμ в виде (1.18), получаем условие,

В силу того, что мы уже выделили нормировочный коэффициент N в решении (1.18), не нарушая общности, можно считать, что вектор поляризации ε является единичным, то есть

В общем случае существует три произвольных вектора ε, что соответствует трём дополнительным степеням свободы, в качестве которых выступает спин частицы в системе её покоя. Так как число степеней свободы определяется соотношением 2S + 1, где S – спин, то из наличия трёх степеней свободы находим, что спин в нашем случае равен единице:

2S + 1 = 3 → S = 1,

что и должны были получить.

Таким образом, векторное поле реализует присоединённое представление группы вращений, генераторами которой являются операторы

Решая совместно уравнения (3.22) и (3.23), находим коэффициенты

1

A = −1, B = p2

и выписываем матрицу плотности векторного поля в форме:

Подобным способом можно построить и матрицу плотности спинорного поля, которая определяется через биспинорные амплитуды u(p):

Так как эта матрица также зависит только от 4-импульса частицы, ее можно представить в виде:

Домножим это равенство слева на ((p γ) − m) и, учитывая, что биспинорная амплитуда u(p) удовлетворяет уравнению Дирака (2.10), имеем

0 = ((p γ) − m) A (p γ) + ((p γ) − m) B I = ((p γ) − m) (B − m A).

Поскольку ((p γ) − m) = 0, получаем коэффициент B в виде:

Для определения коэффициента A вычислим след от правой и левой частей равенства (3.26)

где учтена связь коэффициентов A и B (3.27).

Вычисление следа от левой части этого выражения приводит к следующему результату:

Imp0

Рис. 2. Замыкание контура интегрирования при τ > 0

Легко увидеть, что результат (3.16) соответствует выражению (3.12), а результат (3.17) – выражению (3.14). Это позволяет объединить выражения для разных соотношений между x0 и y0 в одно и записать его в виде:

Выражение (3.18) имеет вид 4-кратного интеграла по объему 4- импульсного пространства, однако интегрирование по p0 проводится по контуру C в комплексной плоскости переменной p0. Оказывается, можно “положить” этот контур на вещественную ось. Действительно, добавив к знаменателю в (3.18) бесконечно малую мнимую величину iε, замечаем, что полюса сдвигаются с вещественной оси (см. рис. 4). Правило смещения этих полюсов найдем, решая уравнение:

p2 − m2 + iε = 0

или

p20 − p 2 − m2 + iε = 0.

квантования векторного поля аналогична процедуре, проводимой при квантовании скалярного поля, и векторное поле также является оператором:

торной частицы с импульсом p и поляризацией λ соответственно, подчиняющиеся следующим коммутационным условиям

Все остальные возможные коммутаторы этих операторов равны нулю.

Упражнения к главе ”Квантование векторного массивного поля“

Упражнение № 1.1 Найти три собственных вектора оператора проекции спина на произвольное направление.

Решение.

Для нахождения собственных векторов оператора проекции спина на произвольное направление в пространстве, определяемое векторомn = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ), необходимо решить уравнение:

где ε (λ) = (ε(1λ), ε(2λ), ε(3λ)) – три собственных вектора, соответствующих трём собственным значениям λ.

Подставляя в (1.34) явный вид оператора спина (1.22) и вектора n, получаем матричное уравнение:

Как видно из (1.35), полученная система уравнений на координаты векторов ε (λ) является линейной и однородной, следовательно, отличное от нуля ее решение будет существовать только при условии

равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при координатах ε1(λ), ε2(λ), ε3(λ) векторов поляризации:

Раскрывая этот определитель и приравнивая его к нулю, находим, что параметр λ может принимать только три значения

λ = 0, ±1.

Для того чтобы построить векторы, соответствующие этим значениям параметра λ, необходимо вернуться к системе (1.35) и найти её решение при конкретных значениях λ.

Найдём вектор поляризации, соответствующий λ = 0. Для этого в системе (1.35) положим λ = 0 и далее будем опускать индекс λ у компонент вектора поляризации. Получаем систему уравнений

−i cos θ ε2 + i sin ϕ sin θε3 = 0,

i cos θ ε1 − i cos ϕ sin θ ε3 = 0,

−i sin ϕ sin θε1 + i cos ϕ sin θε2 = 0.

Решая эту систему, находим вектор поляризации в виде

Используя условие нормировки (1.26),

ε ε3

(ε (λ=0) · ε (λ=0)) = 3 2 (cos2 ϕ sin2 θ + sin2 ϕ sin2 θ + cos2 θ) = 1, cos θ

находим третью компоненту вектора поляризации

ε3 = cos θ.

Окончательно вектор поляризации, соответствующий λ = 0, может быть записан в форме:

Таким образом, вектор поляризации, соответствующий проекции спина на направление вектора n, совпадает с этим вектором n.

Рис. 1. Контур интегрирования C в комплексной плоскости переменной p0

где интегрирование проводится по некоторой кривой C (рис. 1).

Как видно из (3.15), подынтегральная функция имеет два полюса

контуру, в этом случае интеграл легко вычисляется с помощью вычетов по теореме Коши. Однако замкнуть контур можно только в том случае, если при этом к уже имеющемуся интегралу (3.15) добавится слагаемое, равное нулю. Поэтому при τ > 0 замыкаем контур через нижнюю полуплоскость (рис. 2). В этом случае мнимая часть переменной p0 отрицательная, Im p0 < 0, и экспонента под интегралом будет убывающей:

e−i p0 τ = e−i Rep0 τ e−i i Imp0 τ = e−i Rep0 τ eImp0 τ .

При этом в область интегрирования попадает только один полюс в точке p0 = E, который обходим по часовой стрелке, и интеграл легко вычисляется

При τ < 0 замыкаем контур в верхней полуплоскости (рис. 3), когда мнимая часть переменной p0 положительная, Im p0 > 0, и экспонента опять будет убывающей. В этом случае вклад в интеграл даёт полюс в точке p0 = −E, и интеграл также легко вычисляется

Для того чтобы получить общее выражение для пропагатора любого типа поля, представим произвольное квантовое поле в виде

Здесь f (λ)(p) – спиновая амплитуда в импульсном представлении,

с импульсом p и поляризацией λ, подчиняющиеся перестановочным соотношениям:

Здесь выписаны только перестановочные соотношения с отличной от нуля правой частью. В выражении (3.5) знак “−” соответствует частицам с целым спином (бозонам), а знак “+” – частицам с полуцелым спином (фермионам).

Амплитуда f (λ)(p) для скалярного поля (спин = 0) равна 1, для комплексного векторного поля (спин = 1) роль этой амплитуды играет вектор поляризации ε(μλ), определяемый выражением (1.27), а для спинорного поля (спин = 1/2) в качестве амплитуды f (λ)(p) выступает биспинорная амплитуда u(λ)(p) (2.24).

Для вычисления пропагатора квантового поля нам потребуется сопряженное полевое решение, которое получается из решения (3.4) и может быть представлено в форме

Здесь ¯ означает сопряжение по Эрмиту для бозонного поля и со-

Φ

пряжение по Дираку для фермионного поля.

Найдем сначала выражение для свертки двух полевых операторов, предполагая, что x0 > y0. Подставляя в определение (3.3) явный вид

Упражнение № 1.3 Найти нормировочный коэффициент в решении (1.18).

Решение.

Для того чтобы найти коэффициент нормировки, необходимо найти энергию поля, соответствующую решению (1.18). Энергия поля в общем случае определяется через компоненту T 00 тензора энергииимпульса и вычисляется по формуле (1.31). Компонента T 00 в случае комплексного векторного поля Wμ выражается через это поле следующим образом

где L – функция Лагранжа, определяемая выражением (1.13). Нетрудно показать, что функция Лагранжа (1.13) при подстановке

в нее решения уравнения движения в форме (1.18) обращается в нуль. Действительно, найдем выражение для тензора поля Fμν , используя (1.18):

Массовое слагаемое в лагранжиане (1.13) при подстановке в него

Подставляя результаты (1.45) и (1.46) в функцию лагранжа (1.13), получаем ноль

L = −12 (−2N 2 m2) − m2 N 2 = 0,

(2.29), получаем окончательное выражение для энергии спинорного

3. Пропагаторы квантовых полей

При работе с квантовыми полями приходится иметь дело с упорядоченными произведениями операторов. Существует два типа таких произведений: хронологическое и нормальное.

Хронологическое произведение операторов – произведение, в котором операторы расположены так, что временные компоненты их аргу-

Здесь xμ = (x0, x) и yμ = (y0, y) – 4-координаты, а знаки “+” и “−” относятся к бозонным и фермионным полям соответственно.

Нормальным произведением операторов называется произведение, в котором все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения:

где верхний знак “+” соответствует бозонам, а нижний знак “−” – фермионам. Отличительное свойство нормального произведения – равенство нулю вакуумного среднего от любого неравного нулю числа операторов, записанных в виде N -произведения

<0| N (· · · ) |0 >= 0.

Вдальнейшем при вычислении матричных элементов физических процессов возникает необходимость в вычислении свертки операторов двух полей, определенной через T и N произведения и называемой пропагатором квантового поля

Уравнение движения (2.7) – это уравнение Дирака в ковариантной форме. Оно может быть получено путём варьирования функции Лагранжа спинорного поля

Здесь понимается, что оператор импульса действует на функцию ¯,

ψ

стоящую слева от него, по правилу:

Здесь N – нормировочный коэффициент, u(p) – биспинорная амплитуда, удовлетворяющая уравнению

Будем искать функцию u(p) в виде:

где ϕ и χ – спиноры, в общем случае зависящие от 4-импульса частицы:

Для того чтобы найти явный вид биспинорной амплитуды, подставляем волновую функцию (2.9) в уравнение (2.7) и получаем матричное уравнение

Или в виде системы уравнений на спиноры ϕ и χ:

(E − m) ϕ − (σ · p ) χ = 0

(2.11)

(σ · p ) ϕ − (E + m) χ = 0.

Эта система уравнений линейная и однородная, следовательно, нетривиальное решение системы существует только при условии равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов при переменных

ϕ, χ:

Раскрывая определитель и приравнивая его к нулю, получаем, что уравнение Дирака имеет решение при условии

E = ± p 2 + m2. (2.12)

Из равенства нулю определителя следует также, что уравнения в системе (2.11) линейно зависимые, а значит, одно из них можно исключить. Выражая из второго уравнения функцию χ, имеем

χ(p) = (σ · p ) ϕ(p).

(E + m)

Таким образом, в общем случае биспинорная амплитуда может быть записана в форме

Коэффициент A в решении (2.13) определяется из условия нормировки. Отметим, что можно использовать разные условия нормировки, мы будем использовать ковариантное условие:

Оператор энергии спинорного поля в терминах операторов aˆp,λ и

ˆp,λ преобразуется к виду: b

Действие этого оператора на вакуум даёт энергию основного состо-

p

Таким образом, вакуумная энергия бесконечная и отрицательная, в отличие от скалярного поля, где она была также бесконечной, но положительной.

Упражнения к главе ”Квантование спинорного поля“ Упражнение № 2.1 Вычислить коммутатор оператора спираль-

ности ˆ и оператора Гамильтона ˆ .

Sn H

Решение.

Для вычисления коммутатора используем явный вид оператора спиральности и оператора Гамильтона в импульсном представлении, где

Здесь вектор n = p/|p | – единичный вектор в направлении движения частицы.

Подставляя (2.45) в коммутатор, получаем

Рассмотрим выделившиеся коммутаторы отдельно, используя яв-