К определению собственных частот и форм колебаний жесткого двухопорного ротора (80

Предложена обобщенная методика определения собст­

венных частот и форм колебаний жестких двухопорных ро­

торов, охватывающая все возможные варианты взаимного

расположения центра масс ротора и его опор в предположе­

нии линейной упругости последних и соблюдении указанных в статье ограничений и допущений.

A generalized procedure of eigen frequencies and fluctua­ tion forms determination of inflexible double-seat rotors at cer­ tain restrictions and assumption is suggested. It takes into ac­ count all variants of mutual arrangement of rotor centre of grav­ ity and its supports, linear elasticity of the latters is supposed.

Свободные колебания жесткого ротора на податли­ вых опорах представляют практический интерес. Зна­ чения собственных частот критических режимов коле­ баний и определение форм колебаний необходимы для оптимизации параметров ротора при разработке конст­

рукций жестких роторов торцовых электрических машин, при выборе рабочих скоростей вращения роторов техно­ логических машин, шпинделей шлифовальных станков и других механизмов промышленного назначения.

Аналогичные вопросы рассматривались в работе [1] применительно к жесткому ротору на податливых опорах, размещенных на его концах, где были даны лишь указа­ ния по составлению уравнения для определения частоты колебаний и не приводились развернутые расчетные вы­ ражения для определения собственных частот колебаний. Причем в качестве переменных величин, описывающих движение ротора, использовались координаты его кон­ цов. Это обстоятельство, по-видимому, и не позволило решить задачу с достаточной полнотой.

Подобный подход использовался и в работе [2], но анализ свободных колебаний жесткого ротора не прово­ дился. Было получено уравнение для определения крити-

ческих скоростей вращения в случае прямой синхронной прецессии. Другие формы движения не рассматривались.

В монографии [3] решается задача определения сво­ бодных колебаний жесткого ротора на упругоподатливых опорах, расположенных на его концах на основа­ нии методов теоретической механики [4] при следую­ щих допущениях.

Ротор считается абсолютно жестким и осесимметричным, что можно считать достаточно обоснованным, принимая во внимание форму и реальные соотношения размеров его конструктивных элементов. Этому требо­ ванию удовлетворяют роторы торцовых электродвига­ телей и шлифовальных станков. Предполагается, что опорные узлы роторов изотропные, причем при малых радиальных смещениях опорных шипов ротора зависи­ мости между силами и возникающими перемещениями имеют линейный характер:

(1)

где 7?j, /J2 — реакции опор; q , c2 — статические ко­ эффициенты жесткости; гх , г2 — радиальные переме­

щения опорных сечений ротора. Сделаны следующие допущения:

отсутствие на роторе неуравновешенных масс; незначительное влияние внешнего трения при опре­

делении частот свободных колебаний и критических скоростей вращения, что соответствует принятым в ра­ боте [5] допущениям;

продольные перемещения центра масс ротора при анализе поперечных колебаний принимаются пренеб­ режимо малыми;

угол отклонения оси ротора от исходного положения при его колебаниях также мал (для большинства кон­ струкций).

Перечисленные выше допущения для свободных ко­ лебаний жесткого ротора с опорами, размещенными на его концах [3], сохраняются и в случае одноконсольного ротора (рис. 1).

Поскольку деформациями вала, которые по сравне­ нию с перемещениями опорных сечений незначитель­

'Уо

Рис. 1. Расчетная схема жесткого ротора

34

ны в условиях данной задачи, можно пренебречь, то для наглядности совместим центр масс ротора с центром диска. Важно лишь то, что центр масс жесткого ротора расположен по одну сторону от его опор.

Положение ротора массой т будем определять отно­ сительно неподвижной системы координатx^y^ZQ, в ко­ торой ось го направлена по оси подшипников, оси х0 и _у0 с учетом принятого допущения об изотропности опор могут быть выбраны произвольно [3].

На рис. 1 также имеется жестко связанная с ротором система координат xyz, в которой точка пересечения осей совмещена с центром масс С, а осям соответствуют осевые моменты инерции масс ротора: Jx,Jy,Jz, причем

•'х — •'у

Расстояния от центра масс С до секущих плоско­ стей, перпендикулярных к оси ротора и проходящих че­ рез центры An В опор, обозначим соответственно а и Ъ (а = СА, Ъ — СВ). При этом расстояние между этими се­ чениями / = Ъ — а.

Введем связанную с центром масс С поступательно движущуюся систему координат x\y\Z\, центр пересе­ чения осей которой проходит через точку С. Тогда по­ ложение ротора относительно этой системы координат вследствие вращательного движения будет определять­ ся углами Эйлера [4]: <р — угол собственного вращения; у — угол прецессии, 0 — угол нутации. Положение цен­ тра С определено координатами XQC, УОС- Координату Юс считаем постоянной в силу принятого допущения об отсутствии осевых перемещений.

В соответствии с теоремой о движении центра масс [4]

где хд\, уoi и х02> У02 — координаты точек А и В, со­ ответственно. ,

Вращательной составляющей движения ротора во­ круг полюса (центра С) соответствуют динамические уравнения Эйлера [4]:

где сох, (лу, mz — проекции вектора угловой скорости со вращения ротора вокруг полюса на главные централь­ ные оси инерции тела; Мх, Му, Mz — проекции на эти оси главного вектора — момента внешних сил относи­ тельно полюса.

На рис. 1 показаны составляющие угловой скорости — со j , со 2 , «з : ш3 направлена по линии узлов СК, со j и

со 2 — по осям Cz и Cz\ соответственно.

Для получения уравнений вращательной составляю­ щей движения в проекциях на поступательно движу­ щиеся оси системы координат x^y\Z\ воспользуемся

ISSN 0042-4633. ВЕСТНИК МАШИНОСТРОЕНИЯ. 2007. № 3

> (6)

— Ay(sinq> siny — сощ cos0 cosy) — AjSinG cosy; К = Alsincp sinG + ATycos9 sin0 + AlcosG.

JxK. ~JzazK. +™OC+nQv, = 0 ,

где с = су + ci\ г — с\а + cjb; п — c-ib2 + c\cr.

Решение данной системы будет иметь вид:

с-тр 2 -(n-JxP )

В первом случае, учитывая выражение (17), из урав­ нений (20)—(22) имеем:

Во втором случае с учетом выражения (18) получим

Поэтому обратим внимание на то, что вращающий­ ся жесткий ротор с упругими опорными связями может иметь как при прямой, так и при обратной прецессии по две формы колебаний, каждой из которых соответ­ ствует своя собственная частота pt (/ — 1; 2; 3; 4).

?г[1 + х/(1 + ; © г / л Г

где X = n/{Q Jx) — безразмерный параметр.

Формула (30) соответствует прямой прецессии оси ротора, а формула (31) — обратной. Они позволяют найти четыре значения частоты р свободных колебаний для каждого значения угловой скорости сог вращения ротора. При этом необходимо задавать отношение wz/p.

Расчет собственных частот р-, колебания может быть представлен в удобной графической форме. Каждому значению р{ соответствует определенная форма колеба­ ний, которая определяется выражениями (20)—(24). Во всех четырех случаях определенным образом наклонен­ ная ось z ротора совершает вращательное движение во­ круг оси го (см. рис. 1) с собственной частотой р,- коле­ баний, зависящей от угловой скорости сог вращения ро­ тора, образуя при этом коническую поверхность.

Возможные формы колебаний жесткого ротора на упругих опорах представлены на рис. 2, где расположе­ ние осей дано в проекции на плоскость л^уо ПРИ взгляде со стороны положительного направления оси ZQ-

Заметим, что в случае невращающегося ротора, т. е. при mz = 0, в соответствии с уравнениями (30), (31) имеем только два значения собственных частот колебаний.

Значения критических скоростей вращения ротора легко находим по формулам (30) и (32), полагая, что az/p - 1:

Для сравнения найдем собственные частоты колеба­ ний невращающегося ротора, используя уравнение (30) или (31):

0>2Ai2)i,2 =6.9645 • 10-1(1 Т 9,15116- Ю-1).

Тогда ^i s 838 с- 1 ; р2 = 3981 с- 1 .

Моменты инерции распределенных масс ротора целе­ сообразно определять экспериментально, для чего удобно пользоваться сдвоенным бифилярным подвесом [6]. По­ ложение центра масс ротора также предпочтительно на­ ходить опытным путем, поскольку недостаточно точное задание значений параметров а и Ь, определяющих по­ ложение центра масс С относительно опор, может вне­ сти заметную погрешность в результаты анализа.

Поэтому изложенная в данной статье методика рас­ чета собственных частот колебаний одноконсольного жесткого ротора, т. е. ротора, у которого центр масс рас­ положен по одну сторону от обоих его подшипников, легко обобщается в случай расположения центра масс С ротора между двумя его подшипниками.

Сопоставление результатов [3] показало, что уравне­ ния (30) и (31), а следовательно, и (32) и (33) остаются справедливыми для недеформируемого двухопорного ротора при любом размещении центра масс С относи­ тельно подшипников. Различие состоит лишь в том, что параметр (расстояние между подшипниками) в случае, рассмотренном в работе [3], определяется как сумма па­ раметров а и Ь, т. е. / = а + Ь, а в данном случае 1= Ь — а, что равносильно изменению знака параметра а.

Таким образом, полученные формулы учитывают все возможные варианты расположения центра масс жесткого двухопорного ротора относительно его под­ шипников. Их можно применять и для жестких валов, не несущих присоединенных дисков, т. е. для вращаю­ щихся цилиндров, при соблюдении определенных ог­ раничений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.

2.Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Машиностроение (Ленинградское отделение), 1976.

С.182-183.

3.Загрядцкий В. И., Кобяков Е. Т., Степанов Ю. С. Торцо­ вые асинхронные электродвигатели и совмещенные электроме­ ханические агрегаты. М.: Машиностроение-1, 2003. 287 с.

4.Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1986. 416 с.

5.Вибрация энергетических машин. Справочное пособие / Под ред. Н. В. Григорьева. Л.: Машиностроение, 1974. 464 с.

6.Кобяков Е. Т., Квятковский О. И., Шуев И. С. Экспери­ ментальное определение осевых моментов инерции тел и пло­ ских сечений методом колебаний. Орел: ОФ МИП, 1992. 20 с.