К анализу напряженности магнитного поля некругового витка с током в однородной изотропной среде (80

Получены аналитические выражения для осевой составляющей напряженности магнитного поля плоского витка с током, состоящего из двух радиа­ льных и двух дуговых участков, в однородной изот­ ропной среде, необходимые, в частности, для расче­ та магнитного поля в кольцевом зазоре торцевой асинхронной электрической машины.

К л ю ч е в ы е с л о в а : магнитное поле, напря­ женность, ток, плоский виток, изотропная среда

Расчет магнитных полей [1], созданных тока­ ми, протекающими по контурам конечных разме­ ров, представляет собой весьма сложную задачу. Это связано с тем, что все величины, характери­ зующие поле, являются функциями трех коорди­ нат, т.е. задача является трехмерной. В простей­ шем случае одного кругового витка ее решение найдено [1, 2] в форме векторного потенциала, через который определены осевая и радиальная составляющие вектора магнитной индукции. Тангенциальная составляющая в этом случае в силу осевой симметрии поля отсутствует.

Определенный теоретический и практический интерес представляет задача расчета напряжен­ ности магнитного поля, созданного током плос­ кого контура, показанного на рис. 1. Контур имеет два радиальных прямолинейных участка и два участка в форме дуг окружностей; П — след плоскости симметрии поля на плоскости контура витка. Примером такого контура может служить виток обмотки статора торцевого асинхронного двигателя (ТАД) [3, 4].

Рис. 1

The analytical expressions are obtainedfor an axial component of the magnetic field strength of a planar turn with current, consisting of two radial and two arc portions in a homogeneous isotropic medium. In part­ icular they are neededfor calculating the magnetic field in an annular gap of an end wall of an asynchronous electric machine.

K e y w o r d s : magnetic field, strength, current, flat turn, isotropic medium

Ограничимся определением напряженности Н магнитного поля в точках, лежащих в плоскости витка. В этих точках векторы Н направлены перпендикулярно плоскости витка, а их значения могут быть найдены путем алгебраического сум­ мирования напряженностей, созданных каждым проводником контура. Принимаем известное до­ пущение, согласно которому размеры поперечно­ го сечения проводников витка пренебрежимо малы по сравнению с размерами контура.

Для определения напряженности Н восполь­ зуемся законом Био—Савара, в соответствии с которым напряженность dH в точке М от тока / в элементе dl контура выражается формулой

где /; — радиус-вектор, проведенный от элемента dl к точке М; в квадратные скобки заключено векторное произведение векторов dl и г+.

Формулу (1) преобразуем к виду, удобному для решения поставленной задачи, воспользовав­ шись обозначениями, принятыми на рис. 2. Учи­ тывая, что согласно рис. 2 rt=-r, из (1) находим:

где~ё— единичный вектор (орт), перпендикуляр­ ный площадке, образованной векторами г и dl.

Если кривая АВ плоская (рис. 2), то, рассмат­ ривая г как функцию угла <р, отсчитываемого от луча МА, в результате интегрирования находим:

Вформуле (3) следует брать знак плюс, если точка М, в которой определяется напряженность поля, при движении по направлению тока / нахо­ дится слева. Положительное значение Н означа­ ет, что вектор Н направлен от плоскости конту­ ра к наблюдателю.

Вслучае плоского кругового контура из (3) имеем известный результат для центра круга:

Я=|72г.

Воспользуемся формулой (3) для решения по­ ставленной задачи о магнитном поле витка с то­ ком (рис. 1). Сначала определим напряженность поля, создаваемого током, проходящим по пря­ молинейному участку АВ (рис. 3). Для точки М, заданной координатами р и а,

Причем переменной интегрирования является угол у, отсчитываемый от перпендикуляра к пря­ мой АВ.

Тогда, согласно (3), заменив <р на у, получаем:

Рис.3

где

aQ=p's'm(a'-0,5ar). (8)

Определим напряженность магнитного поля, создаваемого током участка CD (рис. 3), восполь­ зовавшись выражениями (6) и (7):

для точек М и М2 имеем соответственно:

где

где

=p"sin(a"-0,5aT). (12)

Обозначения геометрических параметров, входящих в (4)—(12), показаны на рис. 3.

Рассмотрим определение напряженности маг­ нитного поля, создаваемого током кругового участка DA (рис. 3).

При отсчете угла ср от направления луча ОМ функция г(ср), входящая в (3), имеет вид

Воспользовавшись формулой (3), в соответст­ вии с принятыми обозначениями (рис. 3), после несложных преобразований для точки М нахо­ дим:

где E(q>,k) — неполный эллиптический интеграл второго рода [5]:

F(fi, k2) — неполный эллиптический интеграл первого рода [5]:

Р

(21)

Oyl-^jsiir/J

Напряженность поля в точке М (рис. 3), созда­ ваемая током участка ВС контура, определим, воспользовавшись выражением (19). Учитывая направление тока, имеем:

где модуль интегралов

kx=Rxlp<\. (23)

В точке N, расположенной снаружи контура витка, p>R2. Поэтому условие (16) не выполняет­ ся. Чтобы преодолеть возникающее затруднение, введем в рассмотрение угол /3 (рис. 3). На рис. 3 обозначения геометрических параметров, относя­ щихся к точке N, помечены значком «~».

Тогда

Е(у*, ко):

Принимая во внимание (17) и (18), согласно

(3) после некоторых преобразований находим:

Приводим расчетные зависимости для вычис­ ления значений угловых параметров, входящих в слагаемые выражения (26):

Для точек, расположенных снаружи контура витка, результирующее значение напряженности магнитного поля получим аналогично тому, как это сделано для точки М. Заменяя в выражении (26) нижние индексы на обозначения рассматри­ ваемых точек, определяем соответствующие им компоненты, пользуясь изложенной выше мето­ дикой. Получаемые аналитические зависимости для удобства пользования приводим в разверну­ той форме. Они учитывают особенности распо­ ложения точек относительно контура витка.

Для точек М\, координаты которых удовлет­ воряют условиям R\<p<R2, 0,5ат<а<тг, компо­ нента # w определена согласно (7), а остальные

сосгавляющие определяются в соответствии с

зависимости (5) и (10), а остальные параметры

н—^-(sin<pS-sin<pi)

\-к~

(29) Для точек Р, расположенных ниже участка ВС (рис. 3), с координатами из области (0<p<i?j; -0,5aT<a<0,5aT), получаем:

применимы формулы (19), (32), (34), но при этом следует иметь в виду, что компонента Н^ отри­ цательна [правая часть (32) должна иметь знак

CD

минус], компонента НN вычисляется по форму­ ле (9), а углы /3[ и в\ изменяют знаки и поэтому в (19) и (34) слагаемые, содержащие /?j и в], дол­ жны быть взяты с противоположными знаками. При этом формулы (35) не изменяются, за исклю­ чением формулы для р2:

/32=0,5л+у4. (40)

Обозначения геометрических параметров, от­ носящихся к точке N\, на рис. 3 помечены знач­ ком «=».

Аналогичное обстоятельство имеет место и для точек Р\ (рис. 3), расположенных в области (0<p<R\; 0,5ат<а<тг). Соответствующие геомет­ рические параметры на рис. 3 помечены значком

При вычислениях компонент напряженности магнитного поля в этих точках допустимо поль­ зоваться формулами (36), (37), (24), (38), но правую часть формулы (36) для Нр следует взять со

знаком минус, а в формулах, содержащих углы i//| и <р|, соответствующие слагаемым, должны из­ менить знаки на противоположные.

Формулы (39) для углов у\-у4, Уъ 92 справед­ ливы И ДЛЯ ТОЧеК Р\, НО УГЛЫ Ц/\, <£>] ДОЛЖНЫ ВЫ­ ЧИСЛЯТЬСЯ иначе. Учитывая принятые обозначе­ ния, имеем:

вого типа, представляет изучение магнитного поля витка в кольцевой области R\<p<R2. При этом, учитывая симметрию поля, достаточно ограничиться областью значений а, удовлетворя­ ющей условию: 0<а<л. Как показывают вычис­ ления, магнитное поле витка сосредоточено, в основном, внутри контура витка, а напряжен­ ность поля в наружных областях, примыкающих к контуру, быстро затухает при удалении от кон­ тура. Поле внутри контура витка характеризует­ ся существенной неравномерностью распределе­ ния напряженности, и эта неравномерность уве­ личивается при сближении проводников контура, т.е. при уменьшении расстояния между ними.

О характере распределения напряженности поля в кольцевой области Rx<p<R2 можно су­ дить по рис. 4, где показана схема исследуемой

ш"

области поля (рис. 4,а) и построены кривые Н(а) для окружности радиуса p=(i?i+i?2)/2B развертке (рис. 4,6) и кривые Н(р) для ряда значений а (рис. 4,в) при ат = ж/3.

Цифровые значения, указанные на рис. 4, даны в относительных единицах для рассмотрен­ ного нами частного случая (R\ = 9 см, Л2=13 см). За единицу напряженности принята напряжен­ ность магнитного поля в центре витка (точка 3).

Выводы. Полученные аналитические выраже­ ния для осевой составляющей магнитного поля плоского витка с током указанной конфигурации позволяют проводить анализ магнитного поля как внутри контура витка, так и за его предела­ ми. Они будут полезны для теоретических иссле­ дований и для практики проектирования элект­ рических машин, в частности торцевых асинх­ ронных двигателей. На их основе могут быть по­ лучены аналитические выражения для напряжен­ ности поля m-фазной обмотки статора электро­ двигателя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Неймап Л.Р., Калаптаров П.Л. Теоретические основы члектротехники. Ч. 3. - М; Л.: ГЭИ, 1954.

2.Мвлош Штафль. Электродинамические задачи в элект­ рических машинах и трансформаторах / Пер. с чешек. В.И. Ва­ сина. - М.; Л.: Энергия, 1966.

3.Патент РФ № 2058655. Торцовая электрическая асинх­

ронная машина / В.И. Загрядцкий, Е.Т. Кобяков. — Опубл. в БИ, 1996, № 11.

4. Патент РФ № 2140700. Торцовая электрическая асинх­ ронная машина / В.И. Загрядцкий, Е.Т. Кобяков, Е.П. Сидо­ ров. - Опубл. в БИ, 1999, № 30.

5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Фор­ мулы, графики, таблицы / Под ред. Л.И. Седова / Пер. с 6-го нем. изд. — М.: Наука, 1968.

(23.12.9tij

Авторы: Загрядцкий Владимир Иванович

окончил электротехнический факультет Горьковского политехнического института в 1954 г. В 1973 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Исследование совмещенных электрических машин (Основы теории машин и устройств с вращающим­ ся магнитным полем и разнополюсными обмотка­ ми) » в Харьковском политехническом институте. Заведующий кафедрой электротехнических дисцип­ лин Орловского государственного технического университета (ОрелГТУ).

Кобяков Евгений Тихонович окончил механиче­ ский факультет Всесоюзного заочного института текстильной и легкой промышленности в 1965 г. В 1995 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Анализ и синтез динамических систем в за­ дачах проектирования испытательных машин осе­ вого циклического нагружения и роторов» в Орел­ ГТУ. Доцент кафедры «Прикладная механика» ОрелГТУ.