Определение момента инерции тела методом крутильных колебаний методические указания к лабораторной работе по разделу Механика для студентов УГС 080000, 140000, 150000, 190000, 200000, 220000, 230000, 240000, 250000, 280000

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени С. М. Кирова»

Кафедра физики

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Методические указания к лабораторной работе по разделу «Механика»

для студентов УГС

080000, 140000, 150000, 190000, 200000, 220000, 230000, 240000, 250000, 280000

Санкт-Петербург

2013

Рассмотрены и рекомендованы к изданию учебно-методической комиссией факультета химической технологии и биотехнологии

Санкт-Петербургского государственного лесотехнического университета 27 февраля 2013 г.

С о с т а в и т е л ь кандидат физико-математических наук, доцент Г. И. Полищук

О т в . р е д а к т о р доктор физико-математических наук, профессор С. М. Герасюта

Р е ц е н з е н т

кафедра физики СПбГЛТУ

Определение момента инерции тела методом крутильных ко-

лебаний: методические указания к лабораторной работе по разделу

«Механика» для студентов УГС 080000, 140000, 150000, 190000, 200000,

220000, 230000, 240000, 250000, 280000 / сост. Г. И. Полищук. – СПб.:

СПбГЛТУ, 2013. – 8 с.

Методические указания к лабораторной работе по разделу «Механика» предназначены для студентов всех направлений и всех форм обучения. В работе экспериментально определяется момент инерции тела методом крутильных колебаний.

Темплан 2013 г. Изд. № 154.

2

При вертикальном смещении груза от положения равновесия на величину x0 наличие упругости у пружины и инерционности у груза приводят к возникновению колебательного движения пружинного маятника, при котором величина x меняется со временем t по закону:

Наибольшее значение величины x(t), т. е. x0, называют ам-

плитудой колебаний. Величина ω0 называется циклической ча-

стотой колебаний. Она равна

0 2T ,

где T – период колебаний – минимальный интервал времени, за который тело возвращается в исходное положение с прежним направлением скорости, т. е. совершает одно полное колебание.

Величина

0t 0

называется фазой, а константа 0 – начальной фазой.

Изменение величины x со временем по закону (1) называют

гармоническими колебаниями этой величины.

Период поступательных колебаний груза пружинного маятника зависит от m и k следующим образом:

T 2 mk .

Величина k характеризует упругие свойства пружины, а мас-

са m является мерой инертности груза, движущегося посту-

пательно, т. е. количественно характеризует его инерцию.

2) Простейший крутильный маятник (рис. 2) – это диск массы m, подвешенный на тонком упругом стержне (нерастяжимой проволоке).

При повороте диска на малый угол вокруг оси из-за деформации проволоки возникает упругий вращающий момент, стремящийся вернуть диск в равновесное положение. Величина этого момента M пропорциональна углу поворота диска φ:

4

M = cφ,

где с – коэффициент крутильной жѐсткости проволоки.

Рис. 2. Крутильный маятник

При закручивании диска на малый угол φ0 << 1 наличие упругих свойств у проволоки и инертности у диска приводят к возникновению крутильных колебаний, при которых угол поворота диска φ меняется со временем t по гармоническому закону

(t) 0 cos( 0t 0 ) ,

где φ0 – максимальное значение угла поворота (угловая амплиту-

да); 0 2T ; T – период вращательных колебаний, зависящий от

величины c и инертности диска.

Опыт показывает, что при вращательном движении тела

его инерционные свойства определяются не только величи-

ной массы (как было бы при поступательном движении), но и тем, как эта масса распределена относительно оси вращения.

Так для материальной точки массой m, вращающейся вокруг некоторой оси на расстоянии r от неѐ, мерой инертности является величина i, называемая моментом инерции материальной точ-

ки. Она равна

i mr2 .

Эта величина имеет размерность [i] кг м2

и учитывает не только массу материальной точки, но и еѐ удалѐнность от оси вращения.

5

Мерой инерции твѐрдого тела при его вращении служит величина I, называемая моментом инерции тела. Она равна сумме моментов инерции всех составляющих данное тело N материальных точек:

N

I ik .

k 1

В частности, момент инерции однородного диска Iд относительно его собственной оси, вычисленный по этой формуле, равен:

I mD2 , (2)

где m и D – масса и диаметр диска соответственно.

Период колебаний крутильного маятника зависит от упругих свойств проволоки c и его инерции I следующим образом

Описание прибора и метода измерения

На длинном упругом стержне (проволоке) длиной l и радиусом r0 подвешен трѐхкулачковый патрон, момент инерции которого известен – Iп. Численное значение Iп указано на лабораторном столе. Верхний конец стержня закреплѐн во втулке, соединѐнной с рычагом пускового механизма.

При приведении в действие пускового механизма упругий стержень закручивается, после чего система начинает совершать крутильные колебания, период которых в соответствии с формулой (3) равен:

Если в патрон зажать исследуемую деталь (исследуемое тело) с неизвестным моментом инерции Iд, то момент инерции такой системы, являясь, как и масса, величиной аддитивной, станет равным (Iп + Iд).

6

Период крутильных колебаний при этом увеличится и определится как

Решая совместно систему уравнений (4) и (5), в которой неизвестными являются коэффициент крутильной жѐсткости c и момент инерции исследуемого тела Iд, получим расчѐтную формулу для определения искомого неизвестного Iд по значениям периодов крутильных колебаний T1 и T2 и известному значению момента инерции патрона:

Порядок выполнения работы

1.Привести в действие пусковой механизм. По секундомеру

измерить время t1, за которое совершается целое число (n1 = 20) полных колебаний. Вычислить период колебаний T1. Измерения повторить 5 раз.

2.Зажать в патрон исследуемое тело цилиндрической формы. Аналогично определить период колебаний T2.

3.Результаты измерений и расчѐтов заносить в таблицу:

4.Вычислить по формуле (6) момент инерции диска Iд, используя средние значения T1 и T2.

5.По общим правилам оценить погрешность измерения Iд. Результат измерения Iд представить в виде:

7

Iд ±Δ Iд.

Сравнить полученный результат с вычисленным по формуле (2).

6.Используя соотношение (4), получить формулу для коэффициента крутильной жѐсткости c и рассчитать его.

7.Используя приводимое в курсе «Сопротивление материалов» соотношение между коэффициентом крутильной жѐсткости

си модулем сдвига материала упругого элемента G в случае, если упругий элемент – однородный стержень (проволока) длиной l и радиусом r0:

c r04 G ,

2l

оценить величину модуля сдвига материала стержня G, предварительно измерив l и r0.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение механических колебаний твѐрдого тела. Какие колебания называются гармоническими? Поясните смысл понятий амплитуда, период колебаний, фаза, начальная фаза.

2.Какие колебания называют свободными? Какие причины заставляют систему возвращаться в положение равновесия и проскакивать это положение при поступательных и крутильных колебаниях?

3.От чего зависят период и частота свободных поступательных и крутильных колебаний?

4.Что такое момент инерции тела, в каких единицах он измеряется и от чего зависит?

5.Чему равны частота и циклическая частота крутильных колебаний в проведенных Вами опытах?

Рекомендуемая литература

1.Т. Н. Трофимова. «Курс физики», М., 2007.

2.И. В. Савельев. «Курс общей физики», М., 2005.

8

С о с т а в и т е л ь Полищук Геннадий Иванович

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Методические указания к лабораторной работе по разделу «Механика»

для студентов УГС

080000, 140000, 150000, 190000, 200000, 220000, 230000, 240000, 250000, 280000

Отпечатано в авторской редакции

Компьютерная верстка – Р. П. Абакаров

Подписано в печать с оригинал-макета 28.03.13. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 0,5. Печ. л. 0,5. Тираж 150 экз. Заказ № 92. С 154.

Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет Издательско-полиграфический отдел СПбГЛТУ 194021, Санкт-Петербург, Институтский пер., 5.

9