Основные понятия

Нормально распределенные случайные величины наиболее распространены на практике. Объяснение этому факту дал русский математик А.М. Ляпунов, доказав центральную предельную теорему.

Теорема. Если случайная величина Х равна сумме очень большого числа попарно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Приведем несколько примеров случайных величин, подчиняющихся нормальному закону распределения:

1. масса животного в определенном возрасте;

2. длина початка кукурузы;

3. жирность молока;

4. масса клубня картофеля.

Определение. Говорят, что непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределение Гаусса) с параметрами и ( , если плотность вероятностей этой случайной величины имеет вид

Влияние параметров a и  на вид кривой распределения, которую называют нормальной кривой, иллюстрируют рис. 7.1 – 7.3.

Рис. 7.1.

Рис. 7.2.

Рис. 7.3.

Можно показать, что если , то

Случайную величину X ~ N(0; 1) называют нормированной нормально распределенной или стандартной. Для нее законом распределения будет изученная ранее функция Гаусса (x) (см. схему Бернулли)

.

Отметим следующие важные факты: если , то справедливы формулы

(7.1)

и

(7.2)

Если в последней формуле заменить , то получим

.

Этот факт известен как правило трех сигм. Он означает, что практически все значения нормальной случайной величины находятся в интервале (рис. 7.4), который называют диапазоном изменения значений нормальной случайной величины.

Рис. 7.4.

78