Тема 4.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Основные понятия

В разделе теории вероятностей, изучающем случайные события, принято отдельно рассматривать опыт, состоящий в повторении одинаковых испытаний.

Пусть событие А может произойти в некотором испытании с вероятностью р и не произойти с вероятностью q (q = 1–р). Независимо друг от друга проводится n таких испытаний. Эту ситуацию называют схемой Бернулли. В схеме Бернулли ставятся два основных вопроса: какова вероятность появления события А в n испытаниях k раз и какова вероятность появления события А в n испытаниях не менее раз, но не более раз в данной схеме Бернулли. Сначала необходимо научиться вычислять .

Формула Бернулли

Эта формула имеет вид

и используется при небольших значениях n.

Пример 4.1. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Найти вероятность того, что из четырех обслуживаемых потребует внимания один станок.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли при

; :

= =

.

З а м е ч а н и е. Вероятности того, что в независимых испытаниях событие наступит а) менее раз; б) более раз; в) не менее раз; г) не более раз находят соответственно по формулам

а)

б)

в)

г)

Пример 4.2. Монету подбрасывают шесть раз. Найти вероятности того, что при этом герб выпадет 1) два раза; 2) не менее двух раз; 3) менее двух раз.

Решение. Подбрасывание монеты шесть раз  последовательность независимых испытаний. В каждом испытании происходит либо событие {выпадение герба}, либо событие {выпадение цифры}. Так как эти события равновозможные, то

Рассмотрим интересующие нас события:

{герб выпадет два раза};

{герб выпадет не менее двух раз};

{герб выпадет менее двух раз}.

Для расчета вероятностей этих событий воспользуемся формулой Бернулли и формулами а), б). У нас , поэтому получаем

1)

2)

.

3)

Формула Пуассона

Когда число испытаний велико, вычисление затруднительно, поэтому формулу Бернулли заменяют приближенной формулой. Если n велико и р  0 (р<0,1), используют формулу Пуассона

,

где

Пример 4.3. Завод отправил на базу 500 деталей. Вероятность повреждения детали в пути равна 0,002. Какова вероятность повреждения в пути трех деталей.

Здесь схема Бернулли с n = 500, p = 0,002. Так как p  0 и n велико, то для отыскания применим формулу Пуассона c =500·0,002=1:

Локальная формула Лапласа

Если n велико и р не близко к 0 или 1, то используют локальную формулу Лапласа (Муавра-Лапласа):

,

где , а

Значения (х) затабулированы для х[0,4] (приложение 1). Для х[0,4] значения (х) определяют, используя ее свойства:

1)  четность;

2) при .

Функцию (х) называют функцией Гаусса, а ее график  кривой Гаусса (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Кривая Гаусса.

Пример 4.4. Найти вероятность поражения мишени 250 раз при 600 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

Решение.

Имеем схему Бернулли с n = 600, p = 0,4 и k = 250. искомая вероятность  . Для ее отыскания применим локальную формулу Муавра-Лапласа.

Найдем сначала

.

Затем по таблице приложения 1 находим (0,833)=0,282 и, наконец, искомую вероятность