Примеры решения индивидуальных заданий

Пример 1.8. Одновременно подброшены три игральные кости. В результате на их верхних гранях выпала некоторая сумма очков. Требуется найти вероятность того, что выпавшая сумма очков окажется кратной трем.

Решение.

1. Всех возможных элементарных исходов согласно правилу произведения в рассматриваемом опыте .

2. Обозначим событие, вероятность которого по условию задачи предлагается найти, через А, т.е.

А = {сумма очков, выпавших на верхних гранях трех подброшенных кубиков, кратна трем}.

Перечислим благоприятствующие событию А элементарные исходы опыта. Для облегчения этой работы выпишем всевозможные исходы подбрасываний первых двух костей в виде следующей таблицы:

Теперь с каждым из перечисленных исходов будем сочетать подходящие нам значения количеств очков, выпавших на третьей кости. Получаем:

111	213	312	411	513	612
114	216	315	414	516	615
123	222	321	423	522	621
126	225	324	426	525	624
132	231	333	432	531	633
135	234	336	435	534	636
141	243	342	441	543	642
144	246	345	444	546	645
153	252	351	453	552	651
156	255	354	456	555	654
162	261	363	462	561	663
165	264	366	465	564	666

Итак, число исходов опыта, благоприятствующих событию А, равно 72. Согласно классическому определению вероятности события для нахождения искомой вероятности мы должны разделить это число на общее число элементарных исходов опыта, т.е. на 216:

.

Пример 1.9. Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешаны и случайным образом выстроены в линию. Какова вероятность, что в результате образовано прежнее слово?

Решение.

Обозначим

В = {вновь получено слово МАТЕМАТИКА}.

Элементарными исходами опыта являются перестановки из 10 заданных элементов (букв). Отсюда число всевозможных элементарных исходов будет следующим:



Для вычисления числа исходов, благоприятствующих событию В, воспользуемся правилом умножения способов отбора элементов из заданной совокупности. При этом учтем, что буква А встречается в заданном слове три раза, а буквы М и Т по два раза, т.е. из этих букв возможны перестановки, которые не приведут к изменению слова. Получаем:

232 = 24.

Таким образом,

.

Пример 1.10. На складе имеется 5 инженерных и 6 бухгалтерских микрокалькуляторов в одинаковых упаковках. Случайным образом берут 4 упаковки. Найти вероятность того, что в них окажется:

а) 2 инженерных микрокалькулятора;

б) менее двух инженерных микрокалькуляторов;

в) хотя бы один инженерный микрокалькулятор.

Решение.

Элементарными исходами рассматриваемого опыта будут, очевидно, всевозможные сочетания из 11 элементов (микрокалькуляторов) по 4. Их число равно

.

а) А = {в упаковках окажется 2 инженерных микрокалькулятора}. Значит, в отобранных четырех упаковках 2 инженерных и 2 бухгалтерских микрокалькулятора. Используя правило умножения и классическое определение вероятности, получаем

.

б) В = {в упаковках окажется менее двух инженерных микрокалькуляторов}.

Благоприятствующие событию В исходы характеризуются следующим образом: либо в упаковках окажется один инженерный и три бухгалтерских микрокалькулятора, либо в них не будет ни одного инженерного микрокалькулятора, т.е. все четыре бухгалтерские. По правилам сложения и умножения имеем

(проверьте),

откуда

.

в) С = {в упаковках окажется хотя бы один инженерный микрокалькулятор}.

Перейдем к противоположному событию:

{в упаковках не будет ни одного инженерного микрокалькулятора, т.е. все четыре будут бухгалтерскими}.

Для этого события число благоприятствующих исходов .

Но , поэтому получаем

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 1

1. Что понимают под испытанием? Приведите примеры.

2. Что называется событием? Приведите примеры.

3. Что понимают под исходами испытания? Приведите примеры.

4. В каких из следующих примеров указаны все возможные исходы испытания: а) выигрыш, проигрыш шахматной партии; б) попадание, промах при одном выстреле в мишень; в) выпадение в указанном порядке герба-герба, герба-цифры, цифры-цифры при двукратном бросании монеты?

5. Какие из следующих событий являются случайными, достоверными, невозможными: а) выигрыш по одному лотерейному билету; б) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика при его однократном бросании; в) получение абитуриентом 20 баллов на вступительных экзаменах в институт при сдаче трех экзаменов, если применяется пятибалльная система оценок?

6. Какие из следующих событий являются несовместными: а) выигрыш, проигрыш в шахматной партии: б) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 20 включительно является 1) четным, 2) кратным 3; в) нарушение в работе первого, второго транспортеров на животноводческом комплексе?

7. Сформулируйте классическое определение вероятности и свойства вероятности.

8. Что такое противоположные события? Как связаны их вероятности?

9. Сформулируйте понятие относительной частоты события. Чему равна относительная частота достоверного, невозможного, случайного событий?

10. Пятеро знакомых договорились отправиться вместе в поездку на некоторой электричке, но забыли условиться о номере вагона. В итоге каждый из них случайным образом выбрал один из десяти вагонов. Найти вероятность того, что при этом никто из договаривавшихся о встрече не вошел в один и тот же вагон.

11. На 6 различных должностей претендуют 6 мужчин и 4 женщины. Найти вероятность того, что при случайном отборе претендентов должности будут распределены между четырьмя мужчинами и двумя женщинами.

12. Пять мужчин и пять женщин случайным образом занимают места за круглым столом на десяти стульях. Найти вероятность того, что при этом на каждой паре соседних стульев окажутся мужчина и женщина.

13. На книжную полку случайным образом выставлено 7 книг, среди которых есть двухтомник Э.По. Найти вероятность того, что при этом его тома окажутся рядом, причем сначала первый, а затем второй.

19