5

Введение

В течение последних десятилетий теория и практика финансового анализа и менеджмента во все большей степени стали опираться на количественные методы математики, статистики и эконометрии. Компьютеризация экономики позволила методам количественного (численного) анализа стать в настоящее время одними из наиболее динамично развивающихся направлений экономической науки, направленных на решение широкого круга прикладных задач оценки, анализа и прогнозирования финансовых и коммерческих операций. Практическая необходимость развития, изучения и применения количественных методов обусловлена становлением рыночных отношений, переходом к экономическим методам управления, образованием и функционированием новых финансовых, управленческих и коммерческих структур. Поэтому у специалистов, профессиональная деятельность которых связана с экономикой и управлением, существует возрастающая потребность в развитии навыков применения количественных методов.

Спектр применяемых в экономике и управлении количественных методов очень широк, им посвящено много научной и учебной литературы.

В настоящих методических указаниях рассмотрены только некоторые разделы курса ''Количественные методы финансового менеджмента'', а именно:

1.Основы математики оценивания в финансовом менеджменте.

2.Количественные методы оценки и принятия решений по инвестиционным проектам.

3.Элементы предельного анализа в финансах.

4.Методы и модели оценки финансовых активов, формирование портфеля активов.

5.Анализ и управление денежными средствами экономической

системы.

6

Приведены краткие теоретические сведения из указанных разделов, рассмотрены примеры решения задач, даны задания для контрольных и лабораторных работ.

При изложении материала предполагалось, что студенты знакомы с основными понятиями экономической теории, математики, статистики, финансового менеджмента.

Рекомендуемая литература позволит студентам основательней изучить дисциплину.

1. Основы математики оценивания в финансовом менеджменте

Одна из базовых концепций экономики (финансов, менеджмента, анализа и оценки бизнеса, теории принятия решений) – концепция стоимости активов состоит в том, что стоимость актива (инструмента, капитала), а в конечном счете определенной суммы денег – это функция от времени возникновения денежных доходов и расходов.

Денежная единица, полученная сегодня, стоит дороже такой же денежной единицы, которая будет получена в течение какого-либо периода в будущем. Единственное условие жизнеспособности этой концепции положительный уровень процента, под который можно инвестировать фонды (активы, капитал), иначе время неумолимо обесценивает настоящие (сегодняшние) стоимости.

Знание того, как правильно рассчитивать стоимость денег во времени и воплощать в конкретные решения чрезвычайно важно для экономической практики, а в теории для понимания финансов вообще.

Приведем основные понятия математики оценивания будущей стоимости сегодняшних активов и текущей дисконтированной стоимости будущих доходов.

Используемые обозначения (символы)

CF – денежный поток, поток платежей (cash flow), ассоциированный финансовой операцией в условных денежных единицах (у.д.е.);

CFt – денежный поток (поток платежей) в периоде t, представляющий собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) на конец этого периода.

денежный поток за период от t=1 до t=n;

n – число периодов экономической жизни финансовой операции;

PV – настоящая (приведенная, текущая, современная) стоимость денежных потоков (present value);

7

FVn – будущая стоимость денежных потоков в конце периода n (future value);

i (%) – процентная ставка (годовая) наращения (АРR);

первоначального объема капитала (величины актива) в результате начисления процентов.

Экономический смысл процесса наращения состоит в определении величины, которая будет (или может быть) получена из некоторой первоначальной (текущей) суммы в результате проведения финансовой операции во времени.

Существуют две основные модели (схемы) этого процесса:

1. Модель простых процентов, когда базой для наращения служит

где r – годовой коэффициент наращения, а n – число лет.

Эта модель используется, как правило, для краткосрочных финансовых операций (со сроком до года). Если период считается в днях, то t делят на фактическое число дней в году (365 или 366) и умножают на число полных дней операции. Аналогично можно поступить, если счет вести полугодними кварталами, месяцами.

2. Модель (схема) сложных процентов применяется (как правило) в долгосрочных финансовых операциях (со сроком более года). В ней база наращения переменная (увеличивается в каждом периоде в результате реинвестирования генерированных в предыдущих периодах сумм):

Очевидно, что первая модель в период до года дает больший рост, чем вторая, а после года наоборот. На рисунке это выглядит примерно так:

8

Итак, процесс наращения во времени приводит настоящие стоимости к будущим с нормой доходности r. Это прямая задача.

Процесс нахождения величины (стоимости капитала) на настоящий (сегодняшний, текущий) момент времени по ее известному или предполагаемому значению в будущем называется дисконтированием.

Дисконтирование – это, по сути, зеркальное отражение наращения, обратная процессу наращения задача, в которой значение будущей величины FV приводится к текущей величине PV с коэффициентом дисконтирования d.

d

На схеме это можно изобразить так: PV FV .

t

Так как процесс дисконтирования особенно важен в долгосрочных финансовых операциях, то рассмотрим его реализацию на модели сложных процентов.

где d коэффициент дисконтирования (как правило годовой). На практике величина d определяется альтернативной доходностью операции, ассоциированной с риском, инфляцией и другими факторами.

Если коэффициенты дисконтирования по годам различны, то

9

где dt – ставка дисконтирования в периоде t.

Из формулы (1.4) следует формула непрерывного дисконтирования:

Однако абсолютное большинство финансовых операций носят дискретный (прерывный) характер, поэтому большинство финансовых рынков используют дискретное наращение и дисконтирование. Поэтому в дальнейшем изложении предполагается дискретный подход рассмотрения материала.

Годовая эффективная ставка EPR (effective percentage rate) делает эквивалентным начисление процентов m раз в году по схеме сложных процентов с годовою r ставкой начислению процентов один раз в год по эффективной ставке EPR. Поэтому ее называют еще ставкой сравнения.

Рассмотрим логику типичных финансовых операций на простейших примерах.

Количественный анализ денежных потоков, генерируемых за определенный период финансовой операции, сводится к оценке следующих характеристик: n, r, PV, CFt, FVn, из которых чаще приходится исчислять FVn и PV.

Пример 1.1. Определить, какой из двух вариантов вложения капитала на срок 3 года более выгоден:

1)под 40% годовых, начисляемых один раз в году, или

2)под 32% годовых, начисляемых поквартально (после окончания каждого квартала).

Начисления производятся по модели сложных процентов.

Решение. Обозначим начальную сумму капитала, вкладываемую по каждому варианту через PV. По первому варианту, применяя формулу

(1.2) n=3, r1=0,4, при получим: FV΄= PV (1+04)3 = 2,744 PV.

По второму варианту, применяя формулу (1.3) при n=3, r2= 0,12,

FV˝, то вложение по первому варианту выгодней.

Пример 1.2. Предполагается получение дохода FV4=40 000 (у.д.е.) через 4 года по одному из двух сценариев:

1)с постоянным ежегодным коэффициентом дисконтирования d1=0,20;

2)с коэффициентами дисконтирования d1=0,24, d2=0,20, d3=0,16, d4=0,12 соответственно в первый, второй, третий и четвертый годы. Определить, какой из сценариев более предпочтителен?

Решение. Для сравнения сценариев приведем будущую величину FV4 к настоящей, т.е. вычислим современное (с позиции текущего момента

10

аннуитета (финансовой ренты), представляющего собой частный случай однонаправленного денежного потока, элементы которого имеют место через равные промежутки времени (часто ежегодные). Если элементы денежного потока одинаковы по величине, то аннуитет называют обыкновенным (простым), при ограниченности временных интервалов

средств осуществляется в начале соответствующего временного интервала, а второй по схеме аннуитета постнумерандо, т.е. поступление денежных средств осуществляется в конце соответствующего временного интервала. Начисление процентов производится по схеме сложных процентов в конце каждого года. Срок операции 5 лет.

Сценарий 1: делается ежегодный вклад пренумерандо в размере 1 000 (у.д.е.) при ставке 18 % годовых.

Сценарий 2: делается вклад постнумерандо в размере 500 (у.д.е.) каждые полгода при ставке 20% годовых.

Решение. Можно воспользоваться известными формулами для аннуитета и финансовыми таблицами, но для лучшего восприятия и усвоения логики наращения построим модели наращения в полном виде.

Сценарий 1. Будущая сумма в (у.д.е.)

Сценарий 2. Будущая стоимость FV5 вычисляется следующим образом:

Более раннее начало операции и с большей стартовой суммой PV=1 000 (у.д.е.) генерирует по сценарию 1 большую сумму даже при меньшем на 2 пункта проценте наращения.

В общем виде модель обыкновенного аннуитета пренумерандо

11

Пример 1.4. Заемщик может получить ссуду по одному из вариантов: 1) либо на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 26% годовых; 2) либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27% годовых. Какой из вариантов более выгоден?

Решение. Относительные расходы заемщика по обслуживанию ссуды могут быть оценены с помощью эффективной годовой процентной ставки: чем она выше, тем больше уровень расходов. Вычисляем эффективную процентную ставку в долях по формуле (1.9).

Таким образом, вариант 2 является более выгодным для заемщика. Если бы наращение производилось по этим вариантам, то выгоднее был бы первый вариант.

Пример 1.5. Взята ссуда (кредит) на 4 года в сумме 10 000 (у.д.е.) под 30% годовых, начисляемых на непогашенный остаток. Возврашать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется: 1) составить модель погашения ссуды; 2) вычислить величину годового платежа; 3) вычислить общую сумму процентного платежа; 4) сравнить данный вариант (1) с вариантом (2), при котором ссуда вместе с процентами возвращается в конце действия кредитного договора и с вариантом (3), при котором процентые платежи производятся ежегодно постнумерандо, а основная сумма долга возвращается в конце финансовой операции.

Решение. Эта ссуда называется ипотечной (ипотека – аннуитет наоборот). Обозначим CF (у.д.е.) величину годового платежа. Тогда:

1. Модель погашения ссуды будет следующей:

10 0001,3 CF 1,3 CF 1,3 CF 1,3 CF 0 .

2. Решая это уравнение, вычисляем величину (сумму в у.д.е.) годового платежа:

4. По второму варианту, при возврате в конце срока операции по

варианту, а процентный платеж составит 12 000 (у.д.е.) против 8 465,2 (у.д.е.) по первому варианту, т.е. первый вариант предпочтительней второго.

Третий вариант, когда ежегодно постумерандо выплачиваются процентные платежи, а первоначально взятая сумма возвращается в конце операции, близок по величине платежей ко второму. Действительно,

Длительность общего периода платежей, выраженная количеством (числом) его интервалов, по схеме сложных процентов определяется путем логарифмирования формулы (1.2):

Пример 1.6. Клиент хочет вложить определенную сумму денежных средств (например, в банк или инвестиционной фонд), которая позволит ему получать в течение последующих 20 лет ежегодно в конце года 2 400 (у.д.е.) при установленной доходности в размере 10 % годовых (коэффициент дисконтирования d=0,10). Какую сумму должен вложить клиент в данный момент, т.е. какова современная (приведенная) стоимость данного обыкновенного аннуитета?

13

Решение. Современная (приведенная, текущая) стоимость первого

приведенных стоимостей всех двадцати платежей равна:

Применив формулу для суммы членов геометрической прогрессии

стоимость аннуитета может быть вычислена по формуле:

если CFt = CF – постоянная величина, то современная стоимость обыкновенного аннуитета

современная стоимость бессрочного (вечного) обыкновенного аннуитета. Концепция учета фактора инфляции в финансах заключается в

необходимости реального отражения стоимости активов и денежных потоков, а также в обеспечении компенсации потерь доходов, вызываемых инфляционными процессами. Методический инструментарий следующий:

1. Реальная процентная ставка с учетом фактора инфляции вычисляется на основании модели Фишера:

где rреал реальная процентная ставка (коэффициент); rном номинальная

Это другая форма записи формулы Фишера.

При оценке будущей стоимости актива (денежных средств) с учетом фактора инфляции применяется формула

rинф=0,2, t=3 года.

Решение. Номинальная ставка с учетом инфляции вычисляется по

Под риском понимают возможность наступления неблагоприятных событий, связанных с различными видами потерь, под финансовым риском понимают совокупность специфических видов риска, генерируемых неопределенностью внутренних и внешних условий финансовых операций и проявляющихся чаще всего в финансовых потерях по объему и срокам платежей.

систематического риска с доходностью) по i-му (конкретному) финансовому инструменту.

При оценке будущей стоимости актива (финансового инструмента) с учетом фактора риска используется следующая формула:

15

Пример 1.8. Вычислить необходимый уровень премии за риск финансового инструмента (актива), если доходность безрисковых активов rf=0,08; средняя доходность на рынке rm =0,15; β-коэффициент актива i =1,2, и рассчитать будущую стоимость этого актива через 2 периода

(года) при настоящей стоимости PV=5 000 (у.д.е.) и реальной норме доходности rреал=0,12.

Решение. Коэффициент (норма) дополнительной доходности (норма

Под ликвидностью актива понимают способность и возможность быть быстро конвертируемым в денежные средства без потери своей текущей рыночной стоимости.

Основным абсолютным показателем ликвидности актива является общий период возможной конвертации, который рассчитывается по

где tтехн – период технической конвертации активов с абсолютной ликвидностью (обычно он равен 3-7 дней); tконв – время возможной конвертации конкретного актива.

ликвидность; 2) будущую стоимость актива (инструмента) с учетом фактора ликвидности при следующих условиях: общий период ликвидности конкретного инструмента инвестирования составляет 48 дней; среднегодовая норма доходности по инвестиционным инструментам с абсолютной ликвидностью составляет rреал=0,30; настоящая стоимость инструмента PV=1 000 (у.д.е); количество лет экономической жизни данного инструмента n=3 при начислении выплат по нему один раз в год.

Решение. 1) необходимый уровень премии за ликвидность в год

актива с учетом фактора ликвидности (премии за ликвидность)

через ожидаемую будущую стоимость с учетом фактора инфляции, можно

18

Решение. Используя формулы (2.1),(2.2),(2.3) для вычисления PV, NPV,PI, производим расчеты и результаты вносим в таблицу (вычисления произведены с точностью до целых по потокам, а по коэффициентам до четвертого знака).

дисконтированные суммы поступлений по годам складывались с суммой долга (затратами), результат NPV=13 215-10 000=3 215 (у.д.е.) больше нуля свидетельствует о том, что затраты при требуемой доходности возмещены (примерно к концу четвертого года полученная чистая приведенная (современная) стоимость (доход) 3 215 (у.д.е.) позволяет

Альтернативный проект тоже рентабелен, но данный проект более рентабелен (особенно в случае ограниченности средств). Действительно, при таком же сроке экономической жизни данный проект требует меньше первоначальных инвестиций (10 000<16 000), а рентабельность его выше, чем альтернативного (1,321 5>1,3).

При формировании инвестиционной программы (инвестиционного портфеля – набора проектов) с ограничениями по инвестиционным затратам для ряда периодов (например, лет) функционирования корпорации предложено большое число моделей и различные методы математического программирования. Большинство моделей предполагают задание цели – максимизацию благосостояния инвесторов и задание ограничений – лимитов на инвестиционные вложения по годам.

19

Рассмотрим наиболее популярный метод линейного программирования, схема применения которого включает следующие этапы: 1) задание целевой функции и ограничений (построение модели); 2) решение задачи симплексным методом; 3) интерпретация результатов; 4) проведение анализа чувствительности модели на изменение параметров.

Приведем основные факты теории линейного программирования. Стандартная задача имеет вид:

где i – индексы видов ресурсов; j – индексы результатов (видов продукции,

модели. Приведем основные свойства двойственных оценок, используемые для анализа решения задачи (2.5).

1. Оценка yi * показывает, на сколько может измениться

оптимальное значение целевой функции исходной задачи (при соответствующем изменении остальных дефицитных ресурсов), если объем i го ресурса изменить на единицу. В общем виде справедлива формула

если объем i го ресурса изменить на bi единицу.

2. Если ресурс i го вида в оптимальном плане израсходован полностью, то его оценка равна нулю ( yi* 0 ). В первом случае ресурс

называют дефицитным, во втором – недефицитным. Значения балансовой переменной в оптимальном плане показывает остаток ресурса после выполнения оптимальной программы. Чем больше оценка ресурса, тем он дефицитнее с точки зрения его вклада в изменение максимального значения целевой функции z.

3. В оптимальный план исходной задачи x* включаются только те виды продукции, оценка ресурсов на производство единицы которых совпадает с оценкой (эффектом) c j в целевой функции исходной задачи.

Такую продукцию j го вида называют рентабельной (для нее x j* 0 ), аналогичная оценка превышает эффект c j .

Рассмотрим пример применения линейного программирования к формированию инвестиционной программы по следующим данным:

Пример 2.2. Корпорации предлагается сформировать инвестиционную программу из шести проектов на четыре года при условии, что инвестиционные затраты превышают установленный лимит средств (возможности корпорации ограничены). Корпорация имеет высокий финансовый рычаг и не планирует привлекать заемные средства. Объемы инвестиций по годам ( bi ) за счет инвестирования прибыли

соответственно равны (в у.д.е.) 400, 450, 300, 200. Рассматриваемые шесть проектов независимы и имеют тот же класс (уровень) риска, что и текущая деятельность корпорации. Проекты реализуются в объеме не более одного раза, а при необходимости могут реализоваться (инвестироваться) частично при этом эффект, выраженный NPV j , пропорционален доле

реализации каждого (j-го) проекта. Данные по затратам (инвестированию

21

Таким образом, требуется: 1) составить экономико-математическую модель задачи, максимизирующей суммарный NPV; 2) решить ее симплексным методом на персональном компьютере; 3) произвести анализ результатов решения и чувствительность модели на изменение параметров.

1. Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:

(инвестиционные возможности корпорации по годам ограничены сверху), x j 1 означает, что каждый проект может быть реализован не более одного

раза. Целевая функция модели максимизирует оценку капитала (суммарный NPV) корпорации.

2. Решение задачи на персональном компьютере дает следующие

22

3. Модель рекомендует полностью принять (инвестировать в объеме 100 %) проекты второй и третий (они высоко рентабельны), проекты четвертый, пятый и шестой частично (реализовать в объеме 47,22%, 70, 56%, 51,57% соответственно), проект первый не инвестировать, он нерентабелен (затраты по нему превышают эффект на 107,78-100=7,78 (у.д.е.), поэтому x1*=0). При реализации этой оптимальной программы суммарный NPV (эффект) составит 480,22 (у.д.е). Этот вариант уступает варианту роста корпорации без ограничений, когда

для инвестирования вместо 1 285 (у.д.е.), мобилизованных для достижения

Ресурсы второго, третьего и четвертого годов дефицитны, они использованы полностью для инвестирования (их оценка y2*=0,444 4; y3*=0,311 1; y3*=0,333 3 больше нуля), причем самый дефицитный капитал второго года (его оценка больше всех остальных, увеличение объема инвестирования во втором году на 1 (у.д.е.) увеличит NPV на 0,444 4 (у.д.е.). Капитал первого года не является дефицитным (его оценка y1* равна нулю), его остаток s1*=65,09 (у.д.е.) не используется в данной оптимальной инвестиционной программе.

Все свойства двойственных оценок справедливы в границах изменения ресурсов и эффектов, приведенных ранее.

Если ресурсы bi изменяются в указанных границах, то план x* будет изменяется по объему, а по ассортименту будет оставаться неизменным, оптимальность плана сохраняется, оценки yi* не изменяется, zmax изменится. Поэтому, если корпорация хочет наращивать суммарный

NPV, ей следует увеличивать объемы инвестиций второго, третьего и четвертого годов (возможно инвестиции первого года в объеме 65,09 (у.д.е.) перенести на последующие).

Если эффекты по проектам будут изменяться в указанных границах,

Например, увеличение эффекта (NPV5) по пятому проекту на 50 (у.д.е.) не выводит его за верхнюю границу 152,1, поэтому увеличение

zmax составит Zmax 0,705 6 50 35,28 (у.д.е).

23

Для изменения ассортимента инвестиционной программы, например, для введения первого проекта в разряд рентабельных надо вывести его эффект за верхнюю границу (то есть сделать больше 107,78), тогда получим новый оптимальный план, в котором первый проект возможно будет инвестироваться в некотором объеме.

3. Элементы предельного анализа в финансах

Анализ на чувствительность очень важен не только для инвестиционных проектов, активов, но и при прогнозировании различных показателей, особенно в условиях неопределенности.

Рассмотрим подход и суть такого анализа методами дифференциального исчисления на следующей модели. Предположим, что чистая прибыль предприятия определяется объемом реализации (выручкой) за минусом всех затрат (постоянных и переменных) и налога на прибыль. Факторная модель прибыли в этом случае будет выглядеть так: П p v q FC 1 T , где П – чистая прибыль в (у.д.е.); p – цена единицы продукции в (у.д.е.); v – переменные издержки на единицу продукции в (у.д.е.); q – количество проданных единиц продукции; FC – постоянные издержки в этом периоде в (у.д.е.); T – коэффициент (норма) налога на прибыль. Цель анализа состоит в определении того, что будет, если один или несколько факторов изменяет свою величину.

Например, при изменении объема продаж q для анализа вычисляем частную производную показателя чистой прибыли П по переменной q:

изменении объема реализации q на единицу (точнее на бесконечно малую величину).

Предположим, что q=1 000 единиц, р=400 (у.д.е.), v=100 (у.д.е.),

FC=120 000 (у.д.е.), T=0,4 (ставка налога 40%).

24

цены единицы продукции на одну (у.д.е.) приведет к изменению чистой прибыли на 600 (у.д.е.).

Подобный анализ можно провести по остальным факторам (постоянным издержкам FC, налогу на прибыль Т).

Частные производные оценивают абсолютное (предельное) изменение (скорость изменения) показателя при изменении факторов. Относительное изменение показателя оценивают (измеряют) коэффициенты частной

среднего) по отношению к факторам q и p.

На практике достаточно распространена одна из модификаций вышеприведенного анализа на чувствительность, когда для факторов (параметров) модели ведут расчет для нескольких ситуаций, например, наилучшей (оптимистической) наиболее вероятной и наихудшей (пессиместической, неблагоприятной), то есть вводят вероятностные (стохастические), экспертные и другие оценки параметров. Это позволяет лучше учесть многовариантность в условиях неопределенности.

В общем случае в экономике применение дифференциального исчисления и теории пределов носит название предельного анализа (marqinal analysis). Предельные характеристики оценивают не состояние (как, например, средние), а процесс (изменение, динамику). Поскольку в экономике большинство процессов, рассматриваемых как непрерывные, являются функциями ряда аргументов (факторов), то предельные величины выступают как частные производные процесса (показателя, его описывающего) по каждому из факторов. Кроме того, экономический смысл предельных величин состоит в том, что их можно использовать для

25

принятия оптимальных решений с помощью методов дифференциального исчисления.

Наиболее распространенными предельными величинами являются предельная доходность (MRP), предельная полезность (МU), предельная производительность, предельные издержки (МС), предельная налоговая ставка (marqinal tax rate) и другие.

4. Методы и модели оценка финансовых активов, формирование портфеля активов

Доходность актива (доходность операции по использованию актива) определяется формулой

продисконтированной по ставке d будущей стоимости FVn за n периодов, а РV0 – настоящая стоимость актива. Предполагается, что PVn>PV0, в противном случае (при PVn PV0) актив нерентабелен (убыточен). Коэффициент доходности R выражается дробью (долей единицы настоящей стоимости актива PV0). Часто доходность актива выражается в процентной форме R 100% .

Доходность актива за один период (год) вычисляется по формуле

где CFt – ожидаемый денежный поток в периоде t (обычно год); d – ставка дисконта, оценивающая приемлемую (ожидаемую или требуемую) доходности актива. PVn – настоящая (приведенная, современная) стоимость актива за n периодов. Такой подход чаще всего используется потенциальными инвесторами в предположении, что все полученные доходы реинвестируются в данный актив в течение всей экономической жизни операции.

Можно показать, что из приведенных формул для доходности и стоимости активов вытекает, что общая доходность актива есть сумма