4419
.pdf
A |
150 exp(0,175 1,5) 195,03. |
|
По формуле (3.1) i |
exp(0,175) 1 |
0,19. |
Пример З.2. Накопление происходит |
при переменной силе процента, |
|
определяемой формулой
(t) a bt
в год. Найти a, b , если известно, что сумма 100 у. д. е. даёт накопление
125 у. д. е. за 1,3 года, 175 у. д. е. за 2,5 года.
Решение: Согласно формуле (3.4)
|
|
1,3 |
|
|
|
bt 2 |
|
1,3 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
125 |
100 exp |
(a bt)dt 100 exp (at |
|
) |
|
|||||
0 |
|
2 |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 exp(1,3a |
1 |
b 1,32 ), |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
100 exp(2,5a |
|
1 |
b 2,52 ). |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Логарифмируя полученные равенства, имеем
n1,25 |
1,3a 0,845b, |
n1,75 |
2,5a 3,125b. |
Решая систему, получим a |
0,53; b 0,222 , |
то есть (t) 
0,053 0,222t .
Пример 3.3. Процентная ставка в год равна 15 %. Найти экви-
валентную ей годовую процентную ставку, конвертируемую ежеквар-
тально.
Решение. Воспользуемся формулой (3.3) при р = 4:
21
i(4) |
(1 |
0,15) 14 |
1 |
4 |
|
(1,036 1) |
4 |
0,14. |
||||||
Пример 3.4. При |
i |
0,25 |
найти, |
эквивалентную |
процентную ставку, |
|||||||||
конвертируемую раз в 30 дней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: Согласно формуле (3.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
365 |
30, |
|
|
|
||
|
1 |
0,25 |
(1 |
|
|
i |
|
|
) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
365 |
30 |
365 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
30 |
365 |
|
365 |
|
|
|
||
|
i30365 |
(1 |
0,25) |
1 |
|
|
|
0,23. |
||||||
|
|
|
30 |
|
||||||||||
Если известна сила процента (t) ,то текущая или дисконтированная стоимость P накопленного капитала A находится по формуле
P A 
e
t
0
(t )dt
, |
(3.6) |
дисконтирующий множитель
t
V (t) e 0
(t)dt
. |
(3.7) |
Если сила процента постоянна, то есть (t) |
, то |
|||
P A e |
t |
A |
, |
|
|
(1 i)t |
(3.8) |
||
|
|
|
|
|
V (t) |
|
1 |
|
(1 d )t e |
t , |
(3.9) |
|
|
|
||||
|
|
i)t |
||||
(1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
22 |
где i – процентная ставка; d – учётная ставка в единицу времени.
Довольно часто в высшем финансовом анализе используется модель силы процента, определяемая формулой Студли:
(t) p |
s |
|
|
|
|
. |
(3.10) |
||
1 re st |
||||
|
||||
|
|
|
Формула (3.10) обладает тем замечательным свойством, что дисконтирующий множитель V (t) равен среднему взвешенному двух дисконтирующих множителей с постоянной силой процента:
V (t) |
|
1 |
|
e |
( p s)t |
r |
e |
pt . |
(3.11) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 r |
|||||
1 |
|
r |
|
|
|
|
|||
Пример 3.5. Пусть:
1.Сила процента равна 8 % в год.
2.Сила процента является кусочно-постоянной функцией:
0, 12, 0 t 5,
(t) |
0, 08, 5 t 10, |
0, 04, t 10,
в год..
Найти текущую стоимость суммы 750 у.д.е, накопленной за 20 лет.
Решение.
1. По формуле (3.8)
P 750 
e 0,08t 750 
e 0,08 20 151,42 .
23
2. По формуле (3.6)
|
|
|
20 |
|
|
|
|
5 |
10 |
20 |
P |
|
750exp |
|
(t)dt |
750exp |
0,12dt |
0,08dt |
0,04dt 750exp |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
( |
5 |
0,12 |
0,08 |
5 |
0,04 |
10) |
184,95. |
|
|
|
|
|
3.4. |
Потоки |
наличности |
|
|
|
|
||
Потоки наличности подразделяются на непрерывные и дискретные.
Дискретный поток наличности определяется моментами времени t1, t2 ,...,tn и вложениями (выплатами или поступлениями)денег
Ct1 , Ct2 ,..., Ctn .
Непрерывные потоки определяются нормой вложений (t) :
(t) Ф/ (t) ,
где Ф(t) – накопление капитала за время t . |
|
|||
Текущая стоимость на момент времени t |
0 для дискретного потока |
|||
наличности равна |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
A(0) |
Ct j |
V (t j ) , |
(4.1) |
|
j |
1 |
|
|
|
t |
|
|
|
для непрерывного – |
A(0) |
V (t) |
(t)dt , |
(4.2) |
|
0 |
|
|
|
гдеV (t) дисконтирующий множитель, определяемый формулой (3.7).
Пусть A(t1 ) – текущая стоимость потока наличности на момент времени
t t1 . Тогда текущая стоимость данного потока наличности на момент времени t t2 находится по формуле
24
A(t2 ) A(t1 ) |
V (t1 ) |
. |
(4.3) |
|
V (t2 ) |
||||
|
|
|
Пример 4.1. Пусть
(t) |
0,5, |
0 |
t 2, |
|
0,3, |
t |
2 |
||
|
в год. Найти текущую стоимость на момент t 0 непрерывно потока наличности за 5 лет при норме 
1в год начиная с момента времени t 0.
Решение: Найдём вначале дисконтирующий множитель V (t) :
а) при 0 t 2
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
exp |
|
|
(t)dt |
|
exp( |
0,5dt) |
|
exp( |
|
0,5t |
t0 ) |
exp( 0,5t) |
||||||||||
б) при t |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
exp( |
0,5dt |
|
|
0,3dt) |
exp( |
0,5 |
2 |
|
0,3(t |
2)) |
exp( 0,4 |
0,3t) . |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
V (t) |
|
|
e |
0,5t , |
|
0 |
t 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e 0,4 0,3t , t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По формуле (4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
||
|
|
5 |
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,5t |
|
|
e 0,4 |
0,3t |
|
||||
A(0) |
|
V (t)dt |
e |
0,5 t |
dt |
e |
0,4 |
0,3t |
dt |
|
|
|
e |
0 |
|
|
e |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(e 0,5 2 1) |
|
e 0,4 |
(e 1,5 |
|
e 0,6 ) |
|
2(1 |
e 1) |
|
10 |
(e 1 e 1,9 ) |
1,99. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0,5 |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 4.2. Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в размере
100 у. д. е. в конце каждого года пожизненно с правом наследования, если сила процента равна 7 % в год.
Решение: Данную ренту можно рассматривать как поток наличности,
25
определяемый равенствами
Сt |
100, Ct |
100,..., Ct |
n |
100,... |
1 |
2 |
|
|
где t1 |
1, t2 2,...,tn |
|
n,.... |
|
Цена ренты C равна текущей стоимости данного потока наличности |
||||
на момент времени t 0 . Согласно формуле (4.1) |
||||
C A(0) |
100e |
j |
. |
(4.4) |
|
||||
|
j 1 |
|
||
|
|
|
|
|
Выражение (4.4) есть сумма убывающей геометрической прогрессии,
то есть
C 100 |
e |
100 |
|
|
100 |
|
1380 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
e0,07 |
|
||
|
1 e |
|
e |
1 |
1 |
|||
Пример 4.3. Необходимо уплатить 750 у. д. е. 1 января 2011 года, 1000 у. д. е. 1 января 2012 года и 1 500 у. д. е. 1 июля 2013 года. Полагая силу процента постоянной и равной 10 % в год, найти стоимость платежей на а)1января 2010 года; б) 1 марта 2012 года.
Решение: По формуле (3.9)
V (t) e 0,1t
а)представим данную сделку как поток наличности:
|
|
|
Ct |
750, Ct |
2 |
1 000, Ct |
1 500, t1 |
1, t2 2, t3 |
3,5 . |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда по формуле (4.1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A(0) |
750 exp( 0,1 1) 1 000 exp( |
0,1 2) |
1 500 exp(0,1 |
3,5) 2554 ,39; |
||||||||||
|
|
б) воспользуемся формулой (4.3): |
|
|
|||||||||||
A |
26 |
A(0) |
V (0) |
2554,39 |
|
1 |
|
3172,37 . |
|
||||||
12 |
|
26 |
|
|
0,1 26 |
12 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
V ( |
|
) |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 4.4. Найти накопленную стоимость трёх ежегодных выплат в размере 1 000 у. д. е., если первая выплата производится в момент t 0 .
26
Сила процента определяется формулой Студли с параметрами p 0,7;r 0,6;s 0,2.
Решение: Найти текущую стоимость потока на момент t 0 .
2
A(0) 1000 V ( j)
j 0
Сделаем перерасчёт по формуле (4.3)
|
|
|
1000 |
2 |
|
|||
|
|
A(2) |
|
|
|
|
V ( j) . |
|
|
|
|
V (2) |
|
||||
|
|
|
|
|
j 0 |
|
||
В |
случае |
формулы Студли |
величинаV (t) находится из равенства |
|||||
(3.11): |
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
5 |
e 0,9t |
|
3 |
e 0,7t . |
|
||
8 |
8 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
Выполнив расчёты, получим: |
A(2) 8200. |
|||||||
Рассмотрим задачу о процентном доходе, когда начальный
инвестированный капитал P не меняется, но идёт непрерывное
накопление процентов с P при заданной силе процента (t) .Тогда сумма
процентного дохода за время от t |
|
t0 до t T находится по формуле |
t |
|
|
S(T ) P (t)dt |
, |
(4.5) |
t0 |
|
|
а текущая стоимость на момент t |
|
t0 - |
A(t0 ) P(1 V (T )) ,
где дисконтирующий множитель V (t) определяется равенством
t
V (t) exp 
( y)dy .
t0
При постоянной силе процента (t) 
27
S (T ) |
P |
(T t0 ), |
|
|
A(t0 ) |
P 1 |
e |
(T t0 ) |
(4.6) |
|
|
|||
Пример 4.5. Инвестор вкладывает в банк сумму 1 000 у. д. е. под процентный доход 1 января 2012. Найти сумму процентов на 1 марта 2009
года, если сила процента
(t) |
0,12, |
0 |
t 1,5; |
|
0, 08, |
t |
1,5 |
||
|
в год.
Решение: По формуле (4.5) имеем
|
19 |
196 |
1,5 |
196 |
||
S |
1 000 |
(t)dt 1 000 0,12dt 1 000 |
0,08dt |
|||
|
6 |
|||||
|
0 |
0 |
1,5 |
|||
1 000(0,12t 1,50
19 |
|
0,08 t 1,56 ) 1 000 0,12 1,5 0,08(19 6 1,5 |
313,33 . |
Пример 4.6. Инвестор вкладывает 1 500 у. д. е. в момент времени t0 0
под процентный доход и желает получить сразу сумму процентного дохода за первые пять лет. Найти эту сумму, если сила процента постоянна и равна 12 % в год.
Решение: По формуле (4.6) найдём текущую стоимость на момент t0 0 процентного дохода за 5 лет:
A(0) 1 500(1 e 0,12 5) 676,78 .
3.5. Уравнение стоимости
Во многих случаях приходится сравнивать сделки по степени выгодности или доходности. Аппаратом такого сравнения служат уравнение стоимости и внутренняя норма прибыли сделки. Любую сделку можно трактовать как некоторый поток наличности. Рассмотрим
28
сделку, определяемую дискретным потоком наличности Ct1 ,Ct2 ,..., Ctn .
Уравнение стоимости для данной сделки имеет вид
n |
|
t j |
|
|
|
Ct j (1 i) |
0 . |
(5.1) |
|
j 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Решение i |
уравнения (5.1) называется |
внутренней нормой прибыли |
|
или доходностью сделки. Среди нескольких сделок следует выбирать
такую, при прочих равных условиях у которой доходность максимальна.
Область определения левой части (5.1) определяется неравенством i 
1,
однако реальный экономический смысл имеет только положительная доходность (i 0). Следует иметь в виду, что доходность сделки существует,
если уравнение (5.1) имеет только положительный корень.
Сформулируем правила, на основании которых можно определить, не
решая уравнение стоимости, имеет данная сделка положительную доходность или нет.
Правило 1. Пусть сделка задана потоком наличности Сt |
j |
, 1 j n. |
|
|
|
|
|
Пусть накопленные к моменту времени tm итоговые суммы |
|||
m |
|
|
|
Am |
Ct j ,1 m n, |
|
|
j |
1 |
|
|
обладают следующими свойствами:
1) A1 0, An 0,
2) после исключения нулевых значений последовательность A1, A2 ,..., An
имеет ровно одну перемену знака.
Тогда уравнение стоимости имеет ровно один положительный корень.
Правило 2. Если в сделке все расходы предшествуют всем доходам и итоговая сумма поступлений превосходит итоговые затраты, то уравнение
стоимости имеет ровно один положительный корень.
Пример 5.1. Пусть сделка определяется потоком наличности
29
Ct j |
5,1, 3, 8, 4 . |
Исследовать существование доходности данной сделки.
Решение. Воспользуемся правилом 1 и вычислим итоговые суммы:
A1 |
5; A2 |
|
Ct |
Ct |
2 |
|
5 1 |
4; A3 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
3 |
|
7; |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
A4 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
3 |
Ct |
4 |
1; A5 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
3 |
|
Ct |
4 |
Ct |
5 |
5 . |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, последовательность Ai |
|
|
|
|
|
5; |
4; 7;1; 5 |
||||||||||||
имеет одну перемену знака (вначале следуют отрицательные члены, затем
положительные), причём A1 |
0, A5 |
0. Сделка имеет доходность. |
|||
Пример |
5.2. |
Пусть |
сделка |
определяется потоком наличности |
|
Ct |
i |
6; 1; |
8; 5;17; 3 |
. Исследовать существование её доходности. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение: В данном случае все расходы хронологически предшествуют
всем доходам (капиталы с отрицательным законом соответствуют расходам),
причём общая сумма доходов (5+17+3=25) больше общей суммы расходов
(6+1+8=15). Следовательно, по правилу 2 сделка имеет доходность.
Пример 5.3. Инвестор вкладывает в дело 700 у. д. е. в данный момент, 300
у. д. е. через 3 года. Ещё через 1 год получает 200 у. д. е., затем через 2 года вкладывает 300 у. д. е. и после этого через 1 год получает 2 500 у. д. е. Найти внутреннюю норму прибыли, если она существует, данной сделки с точностью
0,01.
Решение: Данная сделка характеризуется следующим потоком
наличности:
Ct |
i |
|
700; 300; 200; |
300; 2500 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
t1 0, t2 |
3, t3 |
4, t4 |
6, t5 |
7 . |
||
Составим уравнение стоимости: |
|
|||||
700(1 |
|
i)0 |
300(1 |
i) 3 |
200(1 i) 4 300(1 i) 6 |
|
2 500(1 |
i) |
7 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |