4419

процентной ставке 2 % в квартал. Однако мистер А хотел бы составить такую схему платежей, которая соответствовала бы его регулярным ежеквартальным доходам, а именно: первый платёж производится немедленно, а остальные два – в конце каждого квартала. Какой должен быть размер регулярного платежа?

В задачах 42–51 заданы сделки в виде дискретных потоков

наличности, определённых таблицами

где Ct j – доходы или расходы, выраженные в условных денежных

единицах; соответственно t j – моменты времени, в которые происходят поступления или выплаты денег. Требуется: а) составить уравнение стоимости; б) определить, имеет ли сделка доходность; в) решить уравнение стоимости, если сделка имеет доходность, и вычислить с точностью до одного процента.

11

решение. Последовательность внесения решения задач в контрольную работу регламентируется от первой до последней по порядку. В

3.2.1. Простые проценты Для решения задач на эту тему необходимо знать следующие

расчётные формулы:

Вформуле (1.1) A – накопленная стоимость, P – начальная стоимость,

i– простая процентная ставка, t – период времени. В формуле (1.2)

начальная стоимость носит название текущей или дисконтированной

стоимости накопленной стоимости A . В формулах типа (1.1) – (1.3)

отражается в простейшем случае весь круг задач финансовой математики,

когда одна из величин выражается через три остальные. При использовании формул (1.1) –(1.3) следует помнить о соответствии единиц измерения величин i и t .

Пример 1.1. Найти сумму процентов по кредиту 1 000 у. д. е. (условных денежных единиц) на 36 дней при простой процентной ставке 8

13

% в год.

Решение: Исходя из экономического смысла задачи сумма процентов

S находится по формуле

S A P iPt, т.е. S 0,08 1000 35365 7,67 (у. д. е.)

При решении этой задачи следует иметь в виду, что в финансовом

исчислении Запада расчётный год состоит из 365 дней, если не указано:

високосный год или нет.

Пример 1.2. Кредит 130 у. д. е. погашается суммой 150 у. д. е. за 25

дней. Найти простую полугодовую процентную ставку.

Полугодовая процентная ставка

Пример 1.3. Найти текущую стоимость суммы 250 у. д. е.,

выплачиваемой через 2 года при простой процентной ставке 10% в год.

Решение: Исходя из формулы (1.2)

Наряду с простой процентной ставкой, определяемой формулой (1.3), в

финансовом исчислении используется простая дисконтная ставка или учётная ставка, определяемая формулой

14

В терминах учётной ставки текущая и накопленная стоимости связаны соотношениями

Связь между учётной и процентной ставками в единицу времени даётся формулами

Пример 1.4. Дисконтировать 200 у. д. е. на 4 месяца при простой учётной ставке 7 % в год.

Решение: Согласно формуле (1.5)

P 200 (1 0,07 13 ) 195,33.

Пример 1.5. Вексель с номинальной стоимостью 200 у. д. е. под 12 %

годовых сроком на 70 дней продаётся банку с учётной ставкой 10 %

годовых через 30 дней после подписания векселя. Найти а) цену продажи;

б) норму прибыли (в год) продавца; в) норму прибыли (в год) банка.

Решение: Найдём фактическую стоимость векселя по формуле (1.1):

A 200(1 0,12 36570 ) 204,6 .

Чтобы найти цену продажи, необходимо дисконтировать факти-

ческую стоимость A по формуле (1.5):

P 204,6(1 0,140 365) 202,36.

Норма прибыли, как известно, находится по формуле

15

где Co – начальная сумма; C – накопленная сумма, t – время накопления. Тогда норма прибыли продавца

Норма прибыли банка

3.2. Сложные проценты

Сложные проценты отличаются от простых, как известно, тем, что при простой процентной ставке i в единицу времени накопление за n

единиц времени находится по формуле

Если простые процентные ставки в различные единицы времени различны: i1 , i2 ,...,in то накопление за n единиц времени находится по формуле

Формулы (2.1) и (2.2) описывают круг задач на сложные проценты, то есть одна из величин находится, если заданы остальные. При этом дисконтирующий множитель V (n) имеет вид:

16

Пример 2.1.Фактическая простая процентная ставка на настоящее время составляет 12 % в год, но через 2 года она понизится до 5 % в год.

Найти накопление вклада 2 000 у. д. е. за 4 года.

Решение: Согласно формуле (2.2)

фактическая простая процентная ставка на срок h равна h ih (t) , то есть

(2.3)

где P – начальный капитал; A – накопленный капитал.

Пример 2.2. Номинальная годовая процентная ставка на срок 3 дня

равна 10,8 % Найти накопление капитала 1 000 у. д. е.

Решение: По формуле (2.3) находим

A 1000(1 33650,108) 1000,89.

Определим коэффициент накопления. Для t2 t1 под величиной

A(t1,t2 ) (коэффициент накопления) будем понимать накопленную

17

A(t, t h) 1 h ih (t) ,

Накопление капитала P находится по формуле

При нормально функционирующей экономике выполняется принцип согласованности, определяемый при to t1 t2 тождеством

A(t0 , t2 ) A(t0 , t1) A(t1, t2 ).

Пример 2.3. Коэффициент накопления определяется формулой

A(t1,t2 ) exp 0,09(t2 t1)

в единицу времени – 1 год.

18

Условие согласованности выполняется.

3.3. Сила процента

Во многих случаях при теоретических исследованиях и практических

расчётах используется сила процента, т.е. процентная ставка,

изменяющаяся с течением времени по произвольному закону. По

определению, сила процента (t) равна пределу номинальной процентной ставки ih (t) , когда величина h стремится к нулю. Исходя из этого

определения можно получить следующие соотношения между силой процента, коэффициентами накопления и номинальными процентными ставками:

Особый интерес представляет случай, когда сила процента постоянна,

т.е.

(t) const .

В этом случае процентная ставка i в единицу времени связана с формулами

i e 1,

Для номинальной процентной ставки

19

Для процентной ставки i в единицу времени

Тогда

Накопление капитала P при переменной силе процента находится по формуле

при постоянной силе процента

Пример 3.1. Найти накопленную стоимость 150 у. д. е. за 1,5 года при постоянной силе процента 0,175 в год. Найти годовую процентную ставку, соответствующую данной силе процента.

Решение: По формуле (3.5)

20