Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

Теория вероятностей

Сборник задач

Хабаровск 2013

2

ББК В Х 12

Теория вероятностей: сборник задач / Е. Н. Кравченко, И. В. Ясеновская. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2013. – 88 с.

Рецензенты:

И. А. Алтухова канд. пед. наук, доцент, заведующий кафедрой математических методов и информационных технологий ДВИУ РАНХ и ГС;

А. И. Ивлева канд. физ.-мат. наук, доцент, начальник адъюнктуры Хабаровского пограничного института Федеральной службы безопасности Российской Федерации.

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний для студентов

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2013

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современный период развития науки характеризуется широким применением вероятностных методов в экономических исследованиях, для оценки рисков, при принятии управленческих решений.

Настоящий сборник задач по теории вероятностей представляет собой учебное пособие для студентов экономических вузов. Цель сборника состоит в освещении возможностей практического применения методов теории вероятностей, освоении методики решения типовых задач.

В учебном пособии подобраны задачи по всем разделам курса теории вероятностей. В каждом разделе задачи распределены по степени сложности, начиная с более простых и заканчивая более сложными, имеющими экономическое содержание. Ряд задач составлен авторами и не имеют аналогов в литературе.

Сборник содержит краткие методические указания по основным разделам курса, подробные объяснения решения типовых задач, представленных в пособии.

Пособие может быть использовано для работы студентов под руководством преподавателя, а также для самостоятельной работы. Для проверки работы, задачи снабжены ответами.

Сборник составлен в соответствии с требованиями федерального государственного стандарта высшего профессионального образования по всем направлениям подготовки бакалавров.

4

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Элементы комбинаторики

Различные группы, составленные из каких-либо предметов называются

соединениями (комбинациями).

Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов, и каждое

Пример 1.1. Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать, если в день можно сдавать только один экзамен ?

Решение. Искомое число способов равно числу 4 элементных подмножеств множества из 8 элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо

Перестановками из n элементов называются такие соединения, каждое из которых содержит все n элементов, и которые отличаются друг от друга порядком элементов.

Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле

Пример 1.2. Сколькими способами можно разместить на полке четыре книги?

Решение. Искомое число способов равно числу способов упорядочения множества, состоящего из четырёх элементов, т.е. P4 12 3 4 24 .

Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются одно от другого только элементами.

Число сочетаний из n элементов по m и вычисляется по формуле

5

подмножеств множества из пяти элементов, каждое из которых отличается от

(сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями из n

Пример 1.4. Сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в записи могут повторяться ?

Решение. Искомое число записей равно числу размещений с повторениями из

Пример 1.5. В цветочном магазине продают цветы шести сортов. Сколько различных букетов можно составить из девяти цветов в каждом ? Букеты отличаются только составом цветов.

Решение. Число элементов рассматриваемого множества равно числу сортов, т.е. шести. Поскольку каждый букет состоит из 9 цветов и порядок расположения цветов в букете не важен, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из шести элементов по девять в каждом.

Если в перестановках из общего числа n элементов есть k различных

Пример 1.6. Сколько семизначных чисел можно записать с помощью цифр 2, 3, 5 при условии, что цифра 2 повторяется в каждом из чисел три раза, а цифры три и пять по два раза ?

6

Решение. Искомое число записей является числом различных перестановок с повторениями из цифр 2, 3 и 5, в которых цифра 2 повторяется 3 раза, а цифры 3

объект В – другими n способам, причём выборы объектов А и В несовместны, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлён m+n способами.

Правило произведения. Если объект А может быть выбран m способами и после каждого из этих выборов объект В может быть выбран n способам, то

Задачи

1. Правление коммерческого банка выбирает из 8 кандидатов трёх человек на различные должности (все 8 кандидатов имеют равные шансы). Сколько различных групп по три человека можно составить из 8 кандидатов?

2. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор не знает кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора кода, если цифры в коде: а) не повторяются; б) повторяются.

3. На железнодорожной станции имеется семь запасных путей. Сколькими способами можно разместить на них четыре поезда?

4. Слово “теория” составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекаются три карточки и складываются в ряд друг за другом в прядке появления. Сколько

7

возможных соединений можно составить из букв этого слова?

5. Расписание одного дня состоит из 5 уроков по разным дисциплинам. Определить число вариантов расписания при выборе из 12 дисциплин, без повторений?

6. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?

7. В соревнованиях участвует 10 человек, трое из них займут первое, второе, третье места. Сколько существует различных вариантов?

8. В гостинице 11 комнат, в каждой из которых можно разместить трёх человек. Сколько существует вариантов размещения прибывших трёх гостей?

9. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им оценки, если известно, что никому из них не будет поставлена «неудовлетворительная» оценка?

10. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 6 человек. Сколько списков бригады по 6 человек в каждой можно составить из 13 рабочих?

11. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 18 команд, если любые 2 команды встречаются между собой один раз?

12. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно образовать из 14 преподавателей?

13. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды в 52 карты?

14. На десять сотрудников университета выделены три путёвки. Сколькими способам их можно распределить, если: а) все путёвки в различные санатории; б) все путёвки в один санаторий.

15. Сколькими способами можно выбрать 7 деталей из ящика, содержащего 15 деталей?

16. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта, если все пассажиры выйдут на разных этажах?

17. Сколькими способами могут разместиться 5 покупателей в очереди

вкассу?

18.В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 9 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

19.Сколькими способами можно разместить 4 пассажиров в четырёхместной каюте теплохода.

20.Порядок выступления 7 участников в конкурсе определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьёвки при этом возможно?

8

21. Сколько существует восьмизначных чисел, состоящих из цифр 2, 5 и 6, в которых цифра 2 повторяется три раза, цифра 5 три раза и 6 – два раза?

22. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 книг по теории вероятностей, 3 книги по теории игр и 2 книги по математической логике?

23. Девять человек размещаются в гостинице в четырёхместный, трёхместный и двухместный номера. Сколько существует способов их размещения.

24. Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, если продают 4 сорта пирожных?

25.В конкурсе по 3 номинациям участвуют 19 студенческих работ. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?

26.В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно составить набор из а) 12 открыток? б) из 8 открыток?

27.Сколько различных полных обедов можно составить, если в меню имеется 3 первых, 4 вторых, 2 третьих блюда?

28.Компания имеет 4 отдела: производственный, отдел снабжения, отдел менеджмента и отдел маркетинга. В каждом отделе соответственно работают 8, 4, 3, 2 человек. Каждый отдел направляет 3, 2, 1, 1 работников соответственно на встречу с директором компании. Сколько различных групп для встречи можно составить из числа работников компании?

29.У одного человека имеется 7 книг по математике, а у другого – 9 книг по экономике. а) Сколькими способами они могут осуществить обмен книга на книгу? б) Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги?

30.Сколькими способами можно распределить поровну 12 различных учебников между четырьмя студентами?

31.Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 2 экземпляра другой и 1 экземпляр третьей книги. Сколькими способами могут быть вручены премии, если в олимпиаде участвуют 20 человек (каждому из участников вручается только одна книга)?

32.Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестёрку, состоящую из вратаря, двух защитников и трёх нападающих.

33.Имеется 6 билетов в театр и 7 билетов в филармонию. Сколькими