3n

3

а)

lim

n un

lim

n

= lim

0 ,

0

1

ряд сходится.

nn

n

n

n

n

n

3n

2

3n

2

б)

lim

n un

lim n

lim

3,

3

1

ряд расходится.

n

1

n

1

n

n

n

Интегральный признак. Если члены знакоположительного ряда

u n

могут

n 1

быть

представлены,

как

числовые

значения

некоторой

функции

f(x): u1=f(1), u2=f(2), u3=f(3),… un

f (n)... и функция f(x) ─ непрерывная, монотонно

убывающая на интервале (1; + ), то:

если

f(x)dx сходится, то сходится и ряд (1);

1

если

f(x)dx расходится, то расходится так же и ряд (1).

1

Признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда

u n

и

vn ,

n

1

n 1

для всех n выполняется неравенство

,

то если ряд

vn сходится, то и ряд

u n

сходится,

n 1

n 1

если ряд

u n

расходится, то и ряд

vn

расходится.

n 1

n

1

Для сравнения часто используются «эталонные» ряды:

Геометрический ряд

аn q n 1 – сходится при

q

1, расходится при

q

1.

n 1

Гармонический ряд

1

– расходится.

n

1 n

Обобщённый гармонический ряд

1

1

1

1

...

1

... ,сходится при

1,

n 1 n

2

3

n

расходится при

1.

Знакочередующиеся ряды.

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

u1 - u2 + u3 - u4 +…+(-1)n+1un + …=

(-1)n 1un .

(8.2)

n

1

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются два

условия :

1)последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает,

т.е.

u1

u2

u3

...

un

...

;

(-1)n 1

Пример 38.

Исследовать ряд на сходимость n 1

.

(2n -1) 2

Решение: Проверим выполнение условий признака Лейбница

1)

1 ;

u

2

( 1)2 1

1

1

;

u

( 1)1 1

1

1

2 1

1)2

1

2

2

1)2

9

9

u3

1)3 1

1

1

...

члены ряда убывают по абсолютной величине.

(

2

3

1)

2

25

25

2)

1

0 , условия признака

Лейбница выполняются,

lim

un

lim

1)2

n

n

(2n

данный ряд сходится.

Пример 39.

Исследовать сходимость ряда

(

1)n

n

.

Решение:

n

1

n

1

1)

1

1

1

1

;

2

2

2

;

3

3

3

члены

u1

(

1)

u2

(

1)

u3

( 1)

...

1

1

2

2

2

1

3

3

1

4

ряда убывают по абсолютной величине;

2)

lim

n

1

0

, второе условие признака Лейбница не выполняется, ряд

n

1

n

расходится.

Степенные ряды

Определение.

Ряд вида a

0

+ a

x+ a

x2+…+a

x n

=

а

xn

–

(8.3)

1

2

n

+…

n

n

1

называется степенным.

Числа a0, a1,… a2, …an …называются коэффициентами ряда,

x R ─ действительная переменная.

Теорема. Степенной ряд (13) сходится при значениях х, содержащихся в

некотором интервале (-R, R)

и расходится при значениях х вне этого интервала.

Этот интервал называется интервалом сходимости, а число R ─ радиусом

сходимости.

Формула для вычисления радиуса сходимости степенного ряда

R

lim

an

(8.4)

an 1

n

Пример 40.

Определить радиус сходимости степенного ряда и исследовать его

xn

сходимость на концах интервала n 1

.

3n (n 1)

Решение:

Найдём коэффициенты

an

1

,

an 1

1

1

;

3n (n 1)

3n 1 ((n 1) 1) 3n 1 (n 2)

Найдем R

lim

an

; R

lim

3n 1(n 2)

lim

3(n 2)

3.

an 1

3n (n 1)

n 1

n

n

n

R=3, значит ряд сходится на интервале (-3; 3). Исследуем сходимость ряда на

концах интервала.