Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5628

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Пример 22

								e 3
								e 3		1		ln x				dx .
			Вычислить:
			Вычислить:									x
						1						x
						1
Решение:
												t
						1 ln x						t
						1																				4
e	3							dx			dt									2
																										3
		1 ln x																							t					3 3				3
																					3							2				4				3
				dx			x														3	tdt						2			2	4	1		(	3	16 1)
																												1
1			x			при x						1		t	1		ln 1	1		1					4 \ 3			1	4					4
1						при x						1		t	1		ln 1	1		1
						при x						e		t	1		ln e	2
												Формула интегрирования по частям
																	b						ba	b
																	b							b
																	U dV			U V				V dU
			Пример 23														a							a
																	a							a

				/ 2											U		x				dU			dx									/ 2	/ 2


					x cos xdx																									x sin x		0		sin xdx
					x cos xdx								dV			cos xdx			V		cos xdx					sin x				x sin x		0		sin xdx
				0									dV			cos xdx			V		cos xdx					sin x								0
				0										cos x			/ 2																	0
					sin				0 sin 0											cos				cos 0					1.

				2		2											0	2				2					2
				2		2												2				2					2
																Площадь плоской фигуры
			Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой y																															f (x) , снизу ─
непрерывной кривой y																(x) , слева ─ прямой x											a ,		справа прямой x							b ,

вычисляется по формуле S

( f (x) (x))dx

Пример 24

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

(x 2) 2

, x 2 y 14 0 .

Решение:

Определим точки пересечения данных линий. Из уравнения прямой

(x 2) 2

находим

. Решим систему

x .

4, x2

6 , y1 9 , y2 4 .

Таким образом,

прямая и парабола пересекаются в точках А (-4;9) и

(6;4) (рисунок 6).

A 9

																			B				x
																			B


									-4	0	2									6
Рисунок 6 ─ Фигура, ограниченная линиями																		y			1	(x	2) 2 , x		2 y			14 0 .
Рисунок 6 ─ Фигура, ограниченная линиями																		y		4		(x	2) 2 , x		2 y			14 0 .
																				4
	Площадь фигуры равна
		6		x		1		(x 2) 2 )		6		x		x	2								6	x		x	2
S		(7		x		1			dx	(7		x		x			x			1)dx			6	x		x		dx
S		(7		2	4				dx	(7	2		4				x			1)dx			6	2	4			dx
		4		2	4					4	2		4										4	2	4
		4								4													4
			x 2		x3		6						16					2
			x 2		x3		6						16					2
	6x							36	9 18	24	4					41				.
	6x	4		12				36	9 18	24	4		3			41		3		.
		4		12				4					3					3

Тема 7. Дифференциальные уравнения

Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка

№

Вид уравнения

Алгоритм решения

Дифференциальное уравнение

Проинтегрировать почленно

с разделёнными переменными.

f1( y)dy

f2 (x)dx

f1 ( y)dy f 2 (x)dx

(1)

Дифференциальное уравнение

Приводим к уравнению (1)

с разделяющимися

Разделим обе части уравнения на

переменными.

произведение

f1 (x)g 2 ( y) получим

f1 (x)g1 ( y)dy f 2 (x)g 2 ( у)dx 0

уравнение

( y)

(x)

dx 0

g 2 ( y)

f1 (x)

Проинтегрируем уравнение

g1 ( y)

f 2 (x)

dx c

g 2 ( y)

f1 (x)

Однородное

Введём замену y

(2)

дифференциальное уравнение

dy udx

xdu

(3)

Q(x, y)dy P(x, y)dx 0

Получим уравнение с

Q(x, y) и P(x, y) – однородные

разделяющимися переменными.

функции одной степени

Находим решение полученного

относительно x и y

уравнения относительно функции u.

4. Вместо u, в полученное решение

подставим u

Линейное дифференциальное

1. Введём замену

уравнение 1-го порядка.

(4), y

u v

v u

(5)

P(x) y

Q(x)

и подставим в данное уравнение.

P(x), Q(x) – либо непрерывные

2. Получим уравнение

функции, либо постоянные

u v

v u

P(x)uv

Q(x) (6)

числа

u v

u(v P(x)v)

Q(x)

3. Выберем v

так, чтобы v P(x)v

Решим уравнение с разделяющимися

переменными относительно функции v.

4. Подставим в уравнение (6) вместо v

найденное выражение. Получим

уравнение с разделяющимися

переменными, решим его и найдём u.

4. Найдём решение исходного

уравнения в виде y

Уравнение Бернулли

1. Разделим все члены уравнения на y n ,

получим уравнение

y P(x) y y n Q(x)

1 n

Q(x)

(7)

y P(x) y

2. Введём замену z

(8)

n) y n y ;

y n y

(9)

3. Подставим в уравнение (7)

выражения (8) и (9),

получим линейное

уравнение

p(x)z

Q(x)

(10)

Уравнение (10) решим заменой z

Найдём y, используя равенство (8)

Пример 25.

Найти частное решение дифференциального уравнения

( y

xy)dx (x xy)dy

0 ,

при условии y(1)

1 .

Решение: ( y

xy)dx

xy)dy

0 ;

y(1

x)dx x(1 y)dy

0 ─ уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим обе части уравнения на xy,

0 .

Интегрируя, получим:

c ;

1 dx

1 dy c ;

c ;

c ─ общее решение.

y(1)=1; ln1+1-1=c;

c=0; частное решение ln

0 .

Пример 26.

Найти общее решение дифференциального уравнения

ydy (x 2y)dx 0

Решение: Обозначим

P( y)

y , Q(x, y)

2y) и проверим,

являются ли эти

функции однородными одной степени.

P(ty) ty

tP( y) ; Q(tx,ty)

tx 2ty

t(x 2y)

tQ(x, y) , P( y) и Q(x, y) однородные

функции степени 1, данное уравнение является однородным.

Применим подстановку y

ux,

udx

xdu ;

ux(udx xdu)

x(1

2u)dx 0 ;

разделим обе части уравнения на x,

u(udx

xdu)

2u)dx

0 ;

u2dx

uxdu

2u)dx 0 ;

uxdu

2u u2)dx 0 .

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

udu

0 ;

udu

;

udu

c ;

1-2u u2

(1 u)2

1 t

1 1

;

u 1 t

dt ln

1 u

(1 u)2

t 2

t t 2

1 u

c .

Вместо u, в полученное решение,

подставим u

x y

c ; ln

x y

c ;

x y

c ─ общее решение уравнения.

Пример 27. Найти общее решение уравнения y sin x

Решение: y

cosx

─ уравнение линейное.

sin x

Применим подстановку y

uv ; y

u v

v u

y		1		ln	x	c ;
y		1

x	1		y
x			y
			x
			x

y cosx 1 .

u v

u(v

cosx

)

; найдем v из уравнения v

cosx

0 ;

sin x

cosx

;

dx ;

dx ; ln

sin x

;

sin x .

sin x

Функцию u найдём из уравнения

u v

;

sin x

; du

dx ;

ctgx c .

sin x

sin2

Искомую функцию y находим из равенства y

ctgx)sin x

csin x

cosx ─ общее решение.

Пример 28. Найти общее решение уравнения

y se x2 .

Решение:

yse

x2 ─ уравнение Бернулли.

Разделим обе части уравнения на y3 ,

3 y

e x2 .

Введём замену z

3 y ;

3 y

z и подставим в данное

уравнение

x2 .

Получили линейное уравнение.

Введём замену z

uv ;

u v

v u ;

u v

v u

xuv

;

u v

xv)

;

0 ;

2 dx

2x2

; v

e x2 ;

u v

e x2

2xdx

0 ;

xdx ;

;

2 dx

du 2dx ; du 2 dx ; u 2x c .

z uv ; z (2x c)e x2 ; y 2

e x2 (2x c) ;

─ общее решение.

y 2

Решение однородного линейного дифференциального уравнение 2-го порядка

			с постоянными коэффициентами
y	py	gy	0 линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го
порядка.
k 2 pk	g	0 характеристическое уравнение.

Корни характеристического уравнения				Вид решения

1. k1, k2 – действительные различные				y	c ek1x		c	2	ek2x
					1			2
корни

2. k=k1=k2;		k1,	k2 – действительные	y	c1e	kx			kx
				y	c1e		c2xe
равные корни

3. k1, 2=		i		y	edx (c cos x c sin x)
						1			2
k1, k2-комплексные корни

Пример 29. y- 3y 2y 0 ;

Характеристическое уравнение k 2					3k	2	0 ; k				=1, k				=2; k	k	2
									1					2	1		2
Общее решение y	c ex	c e2x
	1	2
Пример 30.
y 10y 25 0 ; k 2	10k 25 0 ; k 5 2					0	;		k			k	2	5
									1				2
Общее решение y	c e5 x	c xe5 x
	1	2
Пример 31.

y 2 y 4 0 ; k 2					2	4	16
	2k 4 0; k									1				12 1 i 3 ;				1,
																			3


		1,2				2
						2
Общее решение ─ y ex (c cos				x
Общее решение ─ y ex (c cos			3	x	c	sin		3x) .
		1			2

Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

y py gy f(x)─ линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и g.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y y y

y ─ общее решение соответствующего однородного уравнения;

~ ─ частное решение неоднородного дифференциального уравнения. y

Для подбора частного решения ~ по виду правой части f(x) и корней y

характеристического уравнения можно пользоваться следующей таблицей.

Рассмотрим только те случаи, в которых корни характеристического уравнения

– действительные числа.

Правая часть уравнения f(x)

Корни

Вид частного решения

характеристическо

уравнения

-го уравнения

1. f(x)

Pn (x)

а)

─ не является

Qn (x)

корнем

─ действительное число

Q (x)

b х

b x2

... b xn

Pn (x) ─ многочлен степени n>0

характеристическо

-го уравнения,

относительно x.

т.е

k1 ,

x 2

x n

P (x)

a x

...a

б)

─ является

Qn (x)

корнем

характеристическо

-го уравнения

= k1 ,

в)

─ является

Qn (x)

двукратным

корнем

характеристичес-

кого уравнения

Пример 32. y

2 y

0 однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Правая часть

f (x)

e0x (x2

3x);

P (x)

3x ─ многочлен 2-й степени, n

2 .

Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.

k 2

0 характеристическое уравнение; k

1; k

2 ─ корни уравнения

различные, общее решение соответствующего однородного уравнения ─

c ex

e2 x

Найдём частное решение неоднородного дифференциального уравнения,

т. к.

0 не является корнем характеристического уравнения, т. е.

k1 ,

Q2 (x) ;

(b0

b1x

b2x

) ;

k2 , то вид частного решения y

b1x

b2x

Найдём

2b2 x ;

2b2

и подставим полученные

выражения

в исходное уравнение

y , y , y

2b 3(b 2b x) 2(b b x b x2) x2

3x ;

3b 6b x 2b 2b x 2b x2

3x ;

2b x2

(2b 6b )x (2b 3b 2b ) x2

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой частях уравнения

2b2

, решая систему, получим

3,b

4 .

3b1

2b2

2b0

Тогда частное решение y

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

y c1e

c2 e

4 3x

y y y;

Пример 33.

e2x

y y 2y 0 ; k2

c e2x ,

k 2 0;

1, k

2 ; y c e

f (x)

e2x ;

2 ;

P (x)

1− многочлен нулевой степени, n

Q (x)

b ;

2 корень характеристического уравнения, следовательно, частное решение

;

будем искать в следующем виде: y

xbe

;

2xbe

2be

4xbe

4be

4xbe

2 x

4be

4xbe

2xbe

;

3be

; 3b

1; b

;

. Общее решение y

c1e

c2e2x

xe2x .

Пример 34.

y 6y 9y 5e3x .

y 6y 9y 0 ; k2

6k 9 0 ; k 3 2

0 ;

c1e3x

c2xe3x ─ общее решение соответствующего однородного уравнения.

f (x)

5e3x 0,

─ двукратный корень характеристического уравнения

Pn (x)

5 ,

n=0,

Q0 (x)

Q0 (x)x

;

b , y

2 3x

bx e

; y

2bxe

3bx e

; y 2be

6bxe

9bx e

6bxe

2be3x

6bxe3x

9bx2e3x

6bxe3x

6(2bxe3x

3bx2e3x )

9bx2e3x

5e3x

2be

; 2b 5

; b

; y

Общее решение ─ y

c1e

c2 xe

Тема 8. Числовые и степенные ряды

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1, u2, …un, … соединённых знаком сложения:

u1+ u2+ +un+ = u n	(8.1)
n 1

Числа u1, u2,… un,… называются членами ряда, а un ─ общим членом ряд. Сумма первых n членов ряда (8.1) называется n-й частичной суммой ряда и

обозначается Sn, т. е. Sn= u1+ u2++un.

Если существует конечный предел S lim S последовательности частичных

сумм ряда (11), то этот предел называется суммой ряда, а ряд называется

сходящимся. Если lim Sn не существует или равен бесконечности, то ряд (8.1)

называется расходящимся.

Признаки сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числового ряда

Если ряд (11) сходится, то его общий член un стремится к 0, т. е. lim un 0 .
				n
Если lim un	0 или этот предел не существует, то ряд расходится.
n
Пример 35.	Исследовать сходимость ряда	3n	2

		n	5
	n 1	n	5

Решение : Проверим выполнение необходимого признака сходимости.

lim	3n	2	3 0 , необходимое условие сходимости не выполняется, поэтому
	n	5
n

ряд расходится.

Необходимое условие сходимости не позволяет однозначно ответить на вопрос о сходимости ряда. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых

lim un 0 .

Достаточные признаки сходимости числового ряда с положительными членами

Признак Даламбера. Пусть дан ряд (8.1) с положительными членами и

существует конечный или бесконечный

lim

un 1

, тогда если

1, то ряд

сходится, если

1, то ряд расходится,

если

1,то вопрос о сходимости ряда

остается открытым.

n 2

Пример 36.

Исследовать ряд на сходимость а)

б)

n 1

2 n

1 nn

Решение:

а)

, un

(n 1)2

;

un 1

(n 1)2

2n (n 1)2

;

2n 1

2n2

lim

un 1

lim

(n 1)2

lim

2n 1 1

;

2n2

1 по признаку Даламбера ряд сходится;

б)

, un 1

1)!

По признаку Даламбера

n n

1) n 1

un !

n 1 ! nn

1 2 3 n(n 1)nn

lim

lim (1

n 1

(n 1) 1 2 3 n

n 1

(n 1)

e 1

lim 1

lim

lim e

n 1

l e 1 < 1, ряд сходится.

Замечание. Признак Даламбера применяется когда общий член ряда содержит выражение вида n! или аn.

Признак Коши. Пусть дан ряд (11) с положительными членами и существует


конечный или бесконечный предел lim n un				. Тогда, если			1, то ряд
			n
сходится, если	1, то ряд расходится, если			1,то вопрос о сходимости ряда
остается открытым.
Пример 37 .	а)	3n		б)	3n	2	n
Пример 37 .	а)	n n		б)	n	1
	n 1	n n		n 1	n	1
Решение.	По признаку Коши.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.31 Mб35623.pdf
#
13.11.20222.31 Mб515624.pdf
#
13.11.20222.31 Mб315625.pdf
#
13.11.20222.31 Mб15626.pdf
#
13.11.20222.31 Mб85627.pdf
#
13.11.20222.33 Mб65628.pdf
#
13.11.20222.34 Mб35629.pdf
#
13.11.20222.35 Mб35630.PDF
#
13.11.20222.37 Mб85631.pdf
#
13.11.20222.37 Mб95632.pdf
#
13.11.20222.38 Mб55633.pdf