5617

компонент: индивидуальной специфической компоненты, которая не изменяется во времени, и компоненты остатка, которая по предположению является не коррелированной во времени, таким образов, вся корреляция остатков во времени приписывается индивидуальным эффектам αi. Предполагается также, что αi и εit взаимно независимы и независимы от xjs (для всех j и s). Это означает, что МНК-оценки для µ и β в модели со случайными эффектами являются несмещёнными и состоятельными. Структура компонент остатков подразумевает, что составной остаток αi + εit будет иметь определённый вид автокорреляции (если . Следовательно, обычно вычисляемые стандартные ошибки для МНК-оценок будут некорректны и этом случае лучше воспользоваться обобщённым МНК (ОМНК), используя структуру ковариационной матрицы остатков. Так можно получить ОМНК-оценку параметром модели со случайными эффектами.

Оценки параметров модели со случайными эффектами получаются аналогично рассмотренным ранее оценкам с фиксированными эффектами из уравнения регрессии в отклонениях от индивидуальных средних, но взятых с

При ψ = 0 имеем модель с фиксированными эффектами. При ψ = 1 ОМНК-оценка просто является МНК-оценкой. Можно показать, что ОМНКоценка является средневзвешенной оценкой внутригрупповой и межгрупповой оценок для вектора параметров β. Межгрупповая оценка является обычной МНК-оценкой вектора параметров β в модели индивидуальных средних:

= µ + β + αi + , i = 1,2,…,n.

Таким образом, ОМНК-оценка (оценка параметров модели со случайными эффектами) является матрично-взвешенным средним межгрупповой и внутригрупповой оценок, где веса зависят от соотношения дисперсий этих двух оценок.

Межгрупповая оценка игнорирует любую внутригрупповую информацию. ОМНК-оценка является оптимальной комбинацией

81

внутригрупповой и межгрупповой оценок и поэтому более эффективна, чем любая из этих двух оценок в отдельности. Если объясняющие переменные независимы от всех εit и всех αi, то ОМНК-оценка является несмещённой и состоятельной.

Отметим, что компоненты дисперсий и на практике неизвестны и оцениваются предварительно на основе реализуемого ОМНК. В разных статистических пакетах они могут оцениваться по-разному, поэтому результаты таких оценок могут различаться для разных пакетов.

Оценка, полученная реализуемым ОМНК, называется оценкой со случайными эффектами для вектора неизвестных параметров β (и µ).

По аналогии с моделью с фиксированными эффектами встаёт вопрос: различаются ли компоненты ошибки αi у разных объектов наблюдения?

С этой целью вместо проверки гипотезы о том, что αi = αj для любых i,j формулируется гипотеза в соответствии с постановкой модели со случайными эффектами: H0 : αi = 0 против альтернативы Hа : αi > 0. Для проверки этой гипотезы применяют тест множителей Лагранжа с тестовой

гипотеза и выполняется предпосылка о нормальном распределении ошибок, LM-тест имеет асимптотическое χ2-распределение с одной степенью свободы. Если нулевая гипотеза отклоняется, то имеем модель со случайными эффектами, в противном случае – объединённую модель.

4.4. Фиксированные эффекты или случайные?

Имея две различные спецификации модели панельных данных, учитывающие индивидуальные эффекты, необходимо решить, какую из них предпочесть. Как было отмечено, каждая из таких моделей обладает своими преимуществами и недостатками. Недостатки модели с фиксированными эффектами состоят в необходимости оценивать большое число параметров и невозможности включить неизменные во времени переменные. Модель со случайными эффектами эти проблемы решает, но требует введения дополнительного предположения о некоррелированности специфического для каждого объекта слагаемого ошибки с регрессорами. А эта предпосылка

82

83

84

где - )т. Такой коэффициент называется R2within. Межгрупповая оценка, являясь МНК-оценкой для модели в терминах

индивидуальных средних, максимизирует «межгрупповой R2», который определяется как

Описанные коэффициенты детерминации можно определить для любой оценки вектора параметров β, при этом естественно считать, что

т, . Именно такой подход реализован в эконометрическом пакете STATA: при оценивании моделей с панельными данными вычисляются все три отмеченных коэффициента детерминации, независимо от того, какой метод оценивания применяется.

Следует отметить, что коэффициенты детерминации в моделях с панельными данными нецелесообразно использовать для того, чтобы определить, какой метод оценивания лучше. Однако эти коэффициенты можно применять для сравнения моделей, отличающихся набором регрессоров и оцениваемых одним и тем же методом.

Приведём пример анализа панельных данных на примере из Носко В. П. В нём рассматриваются три предприятия, каждое за 10 лет по двум показателям: y – объём инвестиций, x – прибыль. После структуризации информации, в рабочей области пакета EViews эти данные примут вид (рисунок 4.1).

Именно в таком виде (начиная со столбца F) эта информация и должна вноситься в базу данных пакета программ при анализе панельных данных.

85

Здесь первые 10 наблюдений – это 1-е предприятие за 10 лет, вторые 10 наблюдений – 2-е предприятие и последние – 3-е предприятие. Видно, что у 2-го предприятия, в отличие от 1-го и 3-го прибыль выше, чем инвестиции. Количественно это выглядит следующим образом:

Существенно ли это различие – попытаемся выяснить, используя модели панельных данных.

Приведём сначала расчёты в пакете EViews. Объединённая модель (без учёта структуры панельных данных – pooled) следующая (рисунок 4.3). Здесь она приведена для сравнительного анализа.

Рисунок 4.3 – Объединённая модель

Модель с фиксированными эффектами следующая (рисунок 4.4).

87

При этом константа в уравнении модели с фиксированными эффектами (–1,323498) – это среднее арифметическое эффектов из модели с фиктивными переменными (рисунок 4.5). Вычтя это значение из эффектов модели на рисунке 4.5, получим в точности эффекты из рисунка 4.4.

Анализировать нормированные эффекты удобнее. Так, если попытаться проинтерпретировать численные значения эффектов (рисунок 4.4), то это можно сделать следующим образом. Как было отмечено в начале этого примера, второе предприятие отличается от 1-го и 3-го тем, что у него в анализируемом периоде прибыль выше инвестиций. Это и отмечено эффектами – у 2-го предприятия эффект с отрицательным знаком в отличие от эффектов 1-го и 3-го предприятий. Причём и численное значение эффектов показывает: различие в разности прибыли и инвестиций примерно одинаковое, но с обратным знаком, что и отражено в индивидуальных эффектах (рисунок 4.4).

И тем не менее фиксированные эффекты не объясняют вариацию между объектами, они только улавливают её. Т.е., если спросить, почему 2-е предприятие имеет прибыль больше, чем инвестиции по сравнению с другими анализируемыми предприятиями, то ответ, представляемый эффектами, есть просто: «потому, что это 2-е предприятие».

Рассчитаем модель со случайными эффектами. Получим (рисунок 4.6).

Рисунок 4.6 – Модель со случайными эффектами

89

Параметры этой модели оценены на основе обобщённого МНК с учётом ковариационной матрицы оценок, что и отражено в заголовке отчёта. Можно рассчитать индивидуальные случайные оценки (рисунок 4.7)

Рисунок 4.7 – Случайные эффекты

Они тоже нормированы под нулевое суммарное значение. И их интерпретация аналогична фиксированным эффектам.

Как было отмечено, тестирование, являются ли эффекты значимыми, можно определить на основе тестов Вальда и Бреуша – Пагана. Оба эти теста асимптотические, и в силу малого объёма выборки в анализируемом примере эти тесты здесь не приводятся.

По этой же причине можно было бы не приводить тест на спецификацию модели (с фиксированными эффектами или со случайными?), тем более, как отмечалось, результаты этого теста могут различаться при разных методах оценивания дисперсии остатков моделей. Тем не менее приведём для примера тест Хаусмана, рассчитанный в пакете EViews (рисунок 4.8). Как видим из отчёта работы этого теста, вероятность для χ2-статистики меньше 0,05, следовательно, гипотеза о значимом расхождении оценок по моделям с фиксированными и случайными эффектами отклоняется и можно предпочесть из этих моделей модель с фиксированными эффектами.

Рисунок 4.8 –Тест Хаусмана

90