5596
.pdf
Можно увидеть, что необходимое условие сходимости интеграла 
f x dx –
a
это условие lim f x
0 . Поэтому, если при бесконечно большом аргументе
x
функция не стремится к 0, интеграл заведомо расходится. Если же функция стремится к 0, весь вопрос в том, насколько быстро это происходит.
Задача. Выясним, при каких p сходится интеграл |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x p |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если p |
|
|
1, то |
|
|
dx |
lim ln B ln1 |
|
|
|
– интеграл расходится. Если же p 1, то |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
1 |
|
B |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
p dx lim |
|
x p dx |
|
lim |
|
|
|
|
lim |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x p |
|
|
|
1 p x p 1 |
|
|
1 p |
B p 1 |
1p 1 |
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
B |
1 |
|
|
B |
|
|
1 |
B |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Предел |
lim |
|
1 |
|
|
существует и конечен, если p 1 |
0 – в этом случае бесконеч- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
B |
p 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ность остаётся в знаменателе и предел равен 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ: интеграл равен |
1 |
|
при |
p |
|
1 и расходится при p |
|
1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Иногда бесконечен не верхний, а нижний предел интегрирования (например, при изучении инвестиций, сделанных в прошлые годы):
a |
a |
|
|
|
f t dt lim |
f t dt lim F a F B |
F a |
lim F B . |
|
B |
B |
|
B |
|
|
B |
|
|
|
Реже встречаются интегралы по всей числовой оси |
f t dt |
lim F B |
lim F A . |
|
|
|
|
B |
A |
Несобственными интегралами 2-го рода называют интегралы от функций,
неограниченных в одном из концов отрезка интегрирования. Для их вычисления также переходят к пределу:
Пример 5. Поскольку функции не существуют в одном из концов отрезка,
4 |
|
dx |
|
|
|
|
4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
|
lim |
|
|
lim 2 4 |
2 a 4 |
lim2 a |
4 2 0 |
|
4 ; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
a 0 |
a |
|
|
a 0 |
|
|
|
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
lim arcsin1 |
arcsinb |
arcsin1 |
arcsin0 |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
1 x2 |
|
b 0 b 1 x2 |
b 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Такие интегралы в экономике возникают редко и более характерны для исследований в области астрофизики и геологии.
61