Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5596

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

ТИ7. Найдите интегралы

;

0,25

0,01

3,5

;

0,25

0,01

3,5

Пример 9. По таблице находим, что

а)

arcsin

C , где 3

9 ;

б)

C (знак перед числом 3 ни на что не влияет).

ТИ8. Избавившись от коэффициента перед квадратом, найдите интегралы

;

4x2

9x2

0,25

4x2

0,01

9x2

4x2

;

4x2

9x2

4x2

9x2

4x2

0,25

0,01

;

3x2

7x2

0,25

3x2

0,1

15x2

0,2x2

;

5x2

8x2

2x2

6x2

0,5

0,06

0,6

Пример 10 (здесь 0,6

3 / 5 ).

а)

arcsin

C ;

5x2

0,6

5 0,6

0,6

б)

x 2

C .

7 x 2

x 2

7 x

xn dx

xn 1

ТИ9. На основе интеграла

C (при n

1 ) найдите

1) x

3 20 dx;

7 15 dx;

7 10 dx;

3x 7 dx ;

0,3x

2 8 dx ;

;

2 3x

0,5x

0,3

0,4x

1 5 dx;

5 3x

1 2 dx;

7x 3 dx ;

9 7 dx ;

4xdx;

;

3x 4 5

5 3x 4 2

4 7x

4 7 8x 3

9x 2 7

Пример 11. Задание ТИ9 решается так:

а)

7x 5

13 dx

7x 5 13 1

7x 5 14

C ;

б)

6x 9 13dx

6x 9 12

C ;

9 13

72 6x

9 12

в)

4x 3 5 7 dx

4x 3

7 4x 3 5 dx

4x 3

7 7 4x 3 12

C ;

г)

5x 8

9 / 7 dx

5x 8

7 5x

8 9

C .

10 7

2 / 7

ТИ10. Зная, что

C , найдите

;

0,2

0,5x

0,3x

0,2x

0,7

;

1 x

0,2

0,5x

5 0,3x

0,7

0,2x

Пример 12. По основному правилу табличного интегрирования

а)

C – логарифм знаменателя делим на коэффициент

перед переменной;

б)

0,6

0,1x

10 ln

0,6

0,1x

C .

0,6

0,1x

0,1

ТИ11. Учитывая, что

C , найдите

;

0,5x

0,3x

;

0,4

0,5

2 0,5x

0,3x

Пример 13. Проверьте дифференцированием, что

а)

0,2x

C (здесь 10

2 / 0,2 );

0,2x

0,2

0,2x

б)

0,2x

C .

0,2x

0,2

0,2x

ТИ12. На основе интеграла

C найдите

;

0,5x

2 3x

Пример 14.

C .

6 7x 2

6 7x

7 6 7x

ТИ 13. С учётом формулы

найдите

2x2

;

0,3x

Пример 15.

C .

6x 4 3

2 6x 4 2

12 6x 4 2

ТИ14. Зная, что

ex dx

C , найдите

ex 1dx;

ex 3dx;

e1 x dx;

e1 2 x dx ;

e3x 2dx;

e2 x 3dx;

e4 5x dx .

Пример 16.

e5 8x dx

e5 8 x

C .

ТИ15. Учитывая формулу

cos xdx

sin x

C , найдите

cos2xdx;

cos

dx;

cos x

2 dx;

cos 3x

2 dx ;

cos

dx;

cos 2

dx .

Пример 17.

cos 0,5x

9 dx

sin 0,5x

2 sin 0,5x

C .

0,5

ТИ16. На основе табличного интеграла

sin xdx

cos x

C найдите

sin 3xdx;

sin

dx;

sin

dx;

sin

dx ;

sin

dx; sin

dx .

Пример 18. При помощи производной можно проверить, что

а)

sin 4x

7 dx

cos 4x

C ;

б)

sin

cos

C .

2 /

ТИ17. На основе табличного интеграла

tg x

C найдите

cos2 x

;

cos2 3x

cos2

x / 3

cos2

3x / 7

cos2

x 3

cos2 5x

cos2

Пример 19. Легко видеть, что

а)

tg 6x

cos2 6x

б)

tg x / 6

C 6 tg

C .

cos2 x / 6

1/ 6

ТИ18. Зная, что

ctg x

C , найдите

sin2 x

;

sin2 4x

sin2 x / 2

sin2

3x / 4

sin2

sin2 3x

sin2 3

Пример 20.

ctg 5x

C .

sin2

§ 2. Подведение под знак дифференциала

Метод подведения под знак дифференциала редко приводится в литературе, поэтому вначале покажем, почему он выгоден.

Нередко в подынтегральной функции можно увидеть 2 фрагмента, один из которых похож на производную другого. Например,

а) в интеграле

dx числитель x похож на производную от x2 :

x 2

2x ;

б) интеграл

ln x

dx можно представить как

ln x

dx , где

ln x

;

в) функция cos x

в интеграле

cos x

dx – это

sin x .

sin5 x

Подобные интегралы часто предлагают находить, заменив новой переменной функцию, производная которой обнаружена. Так, для указанных интегралов

а) если x 2

2x , то x2

t , тогда x

t и dx

t dt

dt , откуда

t 1

x2 1

C ln x2 1 C ;

t 1 2 t

t 1 2

б) поскольку

ln x , то t

ln x , тогда x

и dx

et dt , поэтому

ln x

et dt

tdt

t 2

ln2 x

C .

Более подробно метод замены изложен в § 4.

Однако вычисление 3-го интеграла при помощи замены уже связано с труд-

ностями. Пусть, заметив, что cos x

sin x

, мы заменили t

sin x .

Тогда x

arcsint

и dx

arcsin t

. Выразить cos x через t можно так:

t 2

cos arcsin t

sin2 arcsin t

sin arcsin t 2

t 2

( arcsin t

;

, поэтому cos arcsint 0 ). Подставим:

cos x

t 2

t 5dt

t 4

C .

sin5 x

1 t 2

4 sin4 x

В результате громоздких действий практически всё сократилось и получился простой табличный интеграл. Возникает вопрос, нельзя ли было прийти к нему быстрее, если почти ни одно выражение не понадобилось.

Действительно, есть более короткое решение:

cos x		sin x		sin x dx	d sin x	,
	dx		dx
sin5 x	dx	sin5 x	dx	sin x 5	sin x 5

тогда, заменив t

sin x , сразу получаем интеграл

t 5dt

t 4

C .

4 sin4

Таким же образом можно было найти интегралы

а)

1 x2

1 x2 dx 1 d x2

x2 3

2 x2

3 2 x2

t x2

t 3

C ln x2

3 C ;

б)

ln x

ln2

C .

ln x

ln x ln x

ln x d ln x

tdt

Здесь действия показаны очень подробно, и половину из них можно пропустить. Особенно коротким сделает решение следующая

Таблица основных дифференциалов

d x2

x2dx

d x3 ;

xdx

;

x ;

d ln x ;

ex dx

d e x

a x dx

d a x

;

cos xdx

d sin x ;

sin xdx

d cos x ;

ln a

d tg x ;

d ctg x ;

d arctg x ;

d arc sin x .

cos2

sin2 x

Примеры подведения под знак дифференциала

1 1

C ;

d ln x

ln x,

ln x

x ln x

ln x x

ln x

C ;

d ln x

ln x,

2 ln x

x ln x

ln x x

ln x

cos3 x sin xdx

cos3

xd cosx

t cosx,

t 3dt

t 4

cos4 x

C ;

cos x

d sin x

sin x,

2 t

sin x

C ;

sin x

d x2

t x2 ,

4 C ;

2 t 4

d x2

t x2 ,

5 3x2

C ;

5 3x2

5 3t

e x

d ex

t e x ,

t 4

e x

C ;

e x

e x 4

t 4

e x

d e x

e x

e2 x

t 2 ,

arctg

e x

C ;

e2 x

t 2

4 2

arctg x

arctg xd arctg x

arctg x,

tdt

3 t

3 arctg x

C ;

x2dx

d x3

10)

t 2 ,

C .

4 3 x6

2 4 2 2

t 2

ПД1. Найдите интегралы

1)а)

е)

2)а)

е)

3)а)

е)

4)а)

е)

5)а)

е)

xdx

;

б)

xdx

;

ж)

ex dx

;

б)

ex dx

;

ж)

e2 x

cos xdx

;

б)

sin x

cos xdx

;

ж)

sin2 x

ln2 xdx

;

б)

; ж)

x 1

ln2 x

;

б)

;

ж)

xdx

;

в)

xdx

;

з)

ex dx

;

в)

2ex

ex dx

;

з)

4e2 x

cos xdx

;

в)

sin x

cos xdx

;

з)

4 sin2 x

;

в)

x ln2 x

;

з)

x 5

ln3 x

;

в)

1 x

; з)

xdx

;

г)

xdx

;

и)

ex dx

;

г)

ex dx

;

и)

e2 x

cos xdx

;

г)

sin4 x

cos xdx

;

и)

sin2 x

;

г)

x ln x

;

и)

x 3

ln5 x

;

г)

e x dx

;

и)

xdx

;

д)

xdx

;

x4 1

xdx

;

к)

xdx

;

ex dx

;

д)

ex dx

;

4ex

ex dx

;

к)

ex dx

;

e2 x

cos xdx

;

д)

cos xdx

2 sin x

sin5 x

cos xdx

;

к)

cos xdx

;

esin x

2sin x

;

д)

ln xdx

;

x 1

ln2

ln5 x

3 ln x 1 dxx ; к)

			dx				; д)



	x		5			x
		dx			;		к)


e x				x
e x				x

		dx	;

	x ln3 x
			dx		;
cos x			dx


				x
		dx	.



		xe x

§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение ax2 bx c

При интегрировании функций, содержащих выражение ax2 bx c , поможет

формула x2							p		2			p	2
		px	q		x					q			. Например,
		px	q		x	2				q	2		. Например,
						2					2
а) x2	4x 7		x	4		2		7	4		2		x 2 2	3 ;

				2					2
				2					2
б) x2	6x	x	6	2		6		2		x 3 2			9 ;

			2			2
			2			2
в) x2	3x	2	x	3		2		2	3		2		x 1,5 2	0,25.

				2					2
				2					2

Полученную скобку удобно обозначить новой буквой и перейти к интегралу по этой переменной (дифференциалы новой и старой переменных совпадут).

Коэффициент перед квадратом лучше выносить за скобку:

ax2	bx c a x2		b	x		c	,

			a			a
а затем, если возможно, и за знак интеграла. Так,
4x2 8x 12 4 x2 2x	3 ;	0,5x2			2x		3 0,5 x2 4x 6 .

Цель замены – перейти к интегралу без линейного слагаемого

px , поскольку

интегралы, содержащие только x 2

q , находятся проще, и часто – по таблице.

При этом важно помнить, что xdx

d x2

, tdt

, и т.п.

А именно (см. § 2),

tdt

d t 2

C ;

t 2

2 t 2

tdt

d t 2

t 2

C ;

t 2

tdt

d t 2

d b

t 2

C ,

2 b

b t 2

где a – любое число, и число b

0 . Кроме того, при a

t 2 dt

t 2

a a

arctg

C ;

t 2

t 2 dt

t 2

a a

C ,

t 2

2 a

где

a .

Замечание 1. После замены часто появляются интегралы

t2dt

t2 A

или

t2dt

. Их можно найти так:

t 2

dt 6

6dt 6 ln

C ,

t2 6

аналогично во 2-м и в 3-м случае.

Однако интегралы вида t 2 6 dt достаточно сложны. Воспользуйтесь гото-

выми формулами

t 2

Adt

t 2

C ;

arcsin

t 2 dt

(проверьте дифференцированием, что это действительно так).

КИ1. Найдите при помощи равенства xdx

d x2

и замены x2

t :

xdx

;

xdx

;

xdx

;

3xdx

;

3xdx

;

5 x2

x2 2

xdx

;

xdx

;

xdx

;

4xdx

;

4xdx

;

6 x2

7 x2

xdx

;

xdx

;

xdx

;

5xdx

;

3xdx

;

5x2

3x2

6 3x2

4x2 7

5 3x2

xdx

;

xdx

;

xdx

;

4xdx

;

5xdx

4x2

3x2

6 3x2

7x2

7 3x2

Пример 1 (для краткости

обозначено как 0,5d x 2 .

а)

4xdx

4 0,5d x2

3x2

C ;

6 3x2

6 3t

4xdx

4 0,5d x2

б)

3x2 C .

2 6

6 3x2

6 3t

При поиске

учли, что

2 z C соот-

6 3t

ветственно, и применили основное правило табличного интегрирования.

КИ2. Найдите интегралы, разложив каждый на сумму интегралов, один из которых – табличный, а другой аналогичен найденным в задании КИ1:

dx;

4x 5

dx;

3x 1

dx;

5 2x

dx;

3x 7

dx ;

x2 3

5 x2

4x 5

dx;

2x 7

dx;

3x 2

dx;

4 5x

dx;

4x 3

dx ;

6 x2

7 x2

2x 3

dx;

5x 6

dx;

4x 1

dx;

5 8x

dx;

3x 8

dx ;

5x2

6 3x2

4x2

5 3x2

3x2

6x 2

dx;

2x 3

dx;

4x 9

dx;

4 3x

dx;

5x 6

dx .

4x2

3x2

6 3x2

7x2

7 3x2

Пример 2. Найдём интеграл

dx , разложив на сумму двух:

xdx

0,5d x2

dx 5

d x2

arctg

C .

2,5

arctg

2,5 ln

Ответ:

2,5ln x2

arctg

(модуль не нужен, поскольку

всегда x2

3 0 ).

Пример 3. Возьмём таким же образом интеграл

6x2

5x	7	dx	5	xdx


5	6x2			5 6x2
5	6x2			5 6x2

Рациональнее всего найти интегралы так:

а)

xdx

dx2

d 6x2

5 6x2

где учли, что

2 z ;

7 .

5 6x2

1 d 5		6x2	2
					5 6x2 C ,

12	5	6x2	12	1


б)	dx	1	dx		1	arcsin	x		1	arcsin	6x	C2 .

	5 6x2	6	5 / 6 x2	6			5 / 6	6			5
	5 6x2	6	5 / 6 x2	6			5 / 6	6			5

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.03 Mб65591.pdf
#
13.11.20222.04 Mб25592.pdf
#
13.11.20222.04 Mб15593.pdf
#
13.11.20222.04 Mб105594.pdf
#
13.11.20222.04 Mб105595.pdf
#
13.11.20222.05 Mб25596.pdf
#
13.11.20222.07 Mб45597.pdf
#
13.11.20222.09 Mб45598.pdf
#
13.11.20222.1 Mб95599.pdf
#
13.11.202222.53 Кб356.doc
#
13.11.20222.1 Mб45600.pdf