Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5596

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>


	5x	7				1					1				6x
Тогда	5x	7	dx	5		1	5		6x2	7	1	arcsin			6x	C , где C 5C	7C	2	.
Тогда			dx	5			5		6x2	7		arcsin				C , где C 5C	7C		.
	5	6x2				6					6		5			1
	5	6x2				6					6		5

		5x	7					5			7			6x
Ответ:		5x	7		dx			5	5 6x2		7	arcsin		6x		C .
							6
		5	6x2								6		5
		5	6x2								6		5

Замечание 2. В дальнейшем часто придётся разбивать интеграл на 2 или 3 интеграла, в каждом из которых появляется константа ( C1 , C2 , и т.д.). Для краткости будем подразумевать (но не указывать) константы в каждом отдельном вспомогательном интеграле (или указывать, но не сопровождать номером), а записывать будем лишь общую константу C в ответе. При этом всегда C – некая

линейная комбинация C

aC1

bC2 dCn .

КИ3. Получив в знаменателе полный квадрат и сделав замену, найдите

;

4x 13

6x 13

4x 5

xdx

;

2 dx

;

3 dx

;

2x dx

;

dx ;

4x 13

6x 13

4x 5

x2dx

;

2 dx

;

2x dx

;

3 x2 dx

;

3 2x

dx .

4x 13

6x 13

4x 5

Пример 4.

? Заметив, что

16x

16x 73 x

73 x 8 2

64 73 x 8 2

9 ,

заменяем x

8 t , тогда x

8 и dx

d t 8

t 8

1dt

dt .

Подставим в интеграл:

arctg

C .

x 4 2

t 2

16x 73

9 3

Пример 5.

10x 9

Поскольку x2

10x

5 2

16 , можно сделать замену x

t , при ко-

торой x

5 и dx

d t

dt . Подставим:

C .

10x 9

x 5 2

t 2

2 4

t 4

x 1

Пример 6.

3 dx

Здесь x2

1 2

64 , заменяем x

t , откуда x

1 и dx

dt .

Подставим:

2x 3 dx

2 t 1 3

2t 1

dt ,

x 1 2

t 2

2x 65

t 2

где t x

1. Разобьём интеграл на два:

2tdt

t 2

Так же, как в предыдущих примерах,

2tdt

d t 2

t 2

C ,

t 2

а 2-й интеграл – табличный:

arctg

C .

t 2

Итак,

arctg

C , где t

1. Тем самым

t 2

3 dx

arctg

x 1

C .

Пример 7.

3x dx

Теперь x2

3 x

2 2

1, замена x

t , поэтому x

2 и dx

dt .

Переходим к интегралу от новой переменной:

3x dx

2 2

3 t

t 2

t 2dt

tdt

t 2

4x 3

где t x

2 .

Найдём отдельно

а)

t 2

1 1

t 1

C ;

t 2

2 1

t 2

б)

1 d t 2

C ;

t 2

2 t 2 1

2 t 2

1 2 t 2

в)

C (табличный интеграл).

Умножим 2-й результат на 7, 3-й на 10, соберём подобные слагаемые и

вернёмся к старой переменной:

3x dx

x 2

C .

КИ4. Найдите интегралы от иррациональных функций:

;

8x 15

8x 20

8x x2

xdx

;

x dx

;

xdx

;

4x dx

;

8x 15

8x 20

8x x2

x2dx

;

2x dx

;

3 x2 dx

;

x2 2 dx

;

4x 29

8x 12

6x x2

4 x2

	dx		;


8x		x2
8x		x2
	xdx		;


8x		x2
8x		x2
	x2dx			.

	8x	x2
	8x	x2

Пример 8. Найдём

3 dx

. Похожий интеграл без корня уже найден

выше (пример 6), и достаточно на соответствующем шаге добавить корень:

2x 3 dx

2t 1

2x 3 dx

2t 1

dt ,

t 2

2x 65

t 2

где t x

1. Разбиваем

2tdt

t 2

и находим

2tdt

d t 2

а)

2 t 2

64 C ;

2 z C

t 2

б)

t 2

C .

t 2

Таким образом,

t 2

t t 2

C , где t

t 2

3 dx

Ответ:

C .

Пример 9.

x dx

? Полный квадрат удобно получить так:

4,5 2

4,52

6,25

4,5 2 ,

где 6,25

4,52

14 . Тогда

x dx

6,25

4,5 2

Заменим t

4,5 . При этом x

4,5 и dx

dt :

4,5

0,5

dt .

6,25

4,5 2

6,25

t 2

6,25

t 2

6,25

t 2

Действуем так же, как в примере 8:

			t				1	d t 2					1		d 6,25	t 2		1
а)			t			dt	1	d t 2					1		d 6,25	t 2		1	2	6,25 t 2			6,25
							2					2						2
		6,25			t 2			6,25			t 2			6,25		t 2
		6,25			t 2			6,25			t 2			6,25		t 2
б)			0,5			dt	0,5arcsin				t	0,5arcsin				t	,
б)						dt	0,5arcsin					0,5arcsin					,
		6,25			t 2					6,25				2,5
	t	0,5												t							0,5arcsin	x	4,5
	t	0,5		dt			6,25	t 2		0,5arcsin				t		6,25 x		4,5 2				x	4,5


	6,25 t 2											2,5											2,5
					4	x dx
Ответ:					4	x dx			9x x2			14			0,5arcsin 0,4x				1,8		C .


					9x	x2	14
					9x	x2	14

t 2 ;

C .

Замечание 3. Нельзя из-под корня выносить знак «–» или любой отрицатель-

ный общий множитель:

x2 4 ;

18x

x2 18x 36 , и т.д.

В примере 9 показан единственно возможный правильный способ действий.

Пример 10. Посмотрим, что изменится, если в примере 9 поставить квадрат:

найдём

x2 dx

. Теперь после тех же замен окажется, что

4,5

t 2

16,25

dt .

6,25

4,5 2

6,25

t 2

6,25

t 2

Как обычно,

t 2

16,25

t 2dt

tdt

16,25

6,25

t 2

6,25

6,25 t2

6,25

и 2-й и 3-й интегралы находятся так же, как в примере 9:

6,25

;

6,25

arcsin

6,25

2,5

Согласно указаниям на стр. 19, 1-й интеграл можно преобразовать так:

t 2 dt

t 2

6,25

t 2 6,25

6,25

t 2

6,25

t 2

6,25

t 2

6,25

t 2

где снова

arcsin

, а

6,25

2,5

6,25

t2 dt .

6,25

Новый интеграл находят или тригонометрической подстановкой t

2,5cos z ,

или повторным интегрированием по частям,

взяв U

6,25

и dV

dt . Вос-

arcsin

пользуемся готовой формулой

t 2 dt

A t2

(стр. 19):

3,125arcsin

6,25 t2 dt

6,25

2,5

Умножим все интегралы на соответствующие им коэффициенты и соберём вместе:

3,125arcsin

6,25

t 2

6,25 t 2

16,25arcsin

2,5

в ответе приведём подобные слагаемые.

Ответ:

6,25

t 2

19,375arcsin

C .

2,5

§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле

Иногда удаётся перейти к более простому интегралу, заменив переменную.

Пусть дан			f	x dx . Представим, что аргумент – некоторая функция x			g t . То-
гда f	x	f	g t – новая функция от параметра t. Обозначим её как y t				. Кроме
того,	dx	d g t		g t dt . Подставим:
				f x dx	f g t d g t	y t g t dt .
Но y t g			t	также новая функция от параметра t, обозначим её как h t			. Полу-

чили новый интеграл h t dt . Задача – подобрать замену x g tтак, чтобы но-

вый интеграл оказался проще исходного.
Для этого некоторую часть функции f x	заменяют параметром t: t	x ,
выражают из этого равенства переменную: x	g t и затем уже приходят к инте-

гралу от y t gt . Как правило, t – это какой-либо корень, скобка, показательная функция и т.п. – всё, что неудобно интегрировать.

Фактически интегрирование заменой переменных начинается не с поиска подстановки x g t , а с обозначения некоторой части функции f xновой буквой t, с последующим выражением x как функции x g tи пересчётом dx .

Пример 1. Найдём x 2 3x 1 4 dx . Можно раскрыть 4-ю степень скобки,

получить 5 слагаемых, раскрыть произведение двух скобок и проинтегрировать всё, что получится. Очевидно, такой способ несколько громоздок. Тем более неясно, что делать при ещё больших и (или) нецелых степенях.


Сделаем так: пусть 3x 1 t ,	тогда			3x	t 1		и соответственно				x	1		t 1 .
Сделаем так: пусть 3x 1 t ,	тогда			3x	t 1		и соответственно				x	3		t 1 .
												3
Также найдём дифференциал: dx	d	1	t	1	1	d t	1	1	t 1 dt	1	1dt		dt		.
Также найдём дифференциал: dx	d		t	1		d t	1		t 1 dt		1dt				.
		3			3			3		3		3

(Вспомним, что dg t gt dt .) Подставим:

x 2 3x 1	4	dx	t 1	2 t	4 dt		1		t 7 t	4	dt .
			3			3		9

Теперь очень легко раскрыть скобки:

1	t 7 t 4dt	1	t5	7t 4 dt

9		9

и найти интеграл как сумму двух табличных интегралов:

	1	t5dt		1	7t4dt				1 t6		1		7	t5		C		t6		7t5	C ,
		t5dt			7t4dt								7			C					C ,
	9			9			9 6				9		5				54			45
где t 3x	1.
			4			t6	7t5
Итак,	x 2 3x	1		dx						C , где t					3x		1.
Итак,	x 2 3x	1		dx	54		45			C , где t					3x		1.
					54		45
Можно вернуться к исходной переменной:
			x 2 3x 1 4 dx									3x 1 6				7 3x 1 5				C
			x 2 3x 1 4 dx								54						45			C
											54						45
и даже вынести общий множитель:
x 2 3x 1 4 dx 3x 1 5								3x 1					7		C		1		3x 1 5 15x 37 C ,
x 2 3x 1 4 dx 3x 1 5							54				45				C		270		3x 1 5 15x 37 C ,
							54				45						270

но это не всегда легко или целесообразно.

ЗМ1. Найдите интегралы, заменив скобку на новую переменную:

	x x 3 5 dx;			2x 1 x 3 8 dx;	x2 2x 3 10 dx;			x2	x 3 2x 1 6 dx .
Пример 2. Найдём x2 2x 1 4x					3 5 dx. Пусть 4x			3	t , тогда x					1	t 3
													4

и dx		1	dt . Также нам понадобится величина x2			1	t	3 2		1	t 2	6t	9 . Под-

	4				16				16

ставим в интеграл и сведём к общему знаменателю:

	1			2											1											5 dt					1					2						5			1							7					6			5	dt .
			t			6t				9 2									t		3 1 t														t			2t			31 t			dt							t					2t			31t
			t			6t				9 2									t		3 1 t														t			2t			31 t			dt							t					2t			31t
	16														4												4				64														64
	Интеграл распадается на сумму табличных:
			1		t7dt						2			t6dt							31	t5dt						1				t8		1				t7			31 t6					C , где t										4x			3 .

			64							64											64							64			8			32				7			64			6
			64							64											64							64			8			32				7			64			6
Вынесем за скобку														t	6		и вернёмся к старой переменной:

													64
													64
							x2				2x 1 4x 3 5 dx																4x 3 6									4x 3 2							2 4x 3 31													C .
							x2				2x 1 4x 3 5 dx																		64							8									7						6					C .
																													64							8									7						6
	ЗМ2. Найдите интегралы при помощи подходящей замены знаменателя:
1)			x			dx;							x 4							dx;					2x 3						dx;							x2				dx;						x2				x			dx ;
1)		x	4		2	dx;							x		3			2		dx;					x			1	4		dx;						x	4			4	dx;						x	4				5		dx ;
					2													2											4												4												5

2)				x					dx;											x	4			dx;									2x 3						dx;							2x			3						dx ;

		x 2 2				4										x 3 2						9										x 1 2						9								x 4 2							5
3)			x2		1															x2		x											2x2					3									x2		2x							dx .
								dx;																	dx;															dx;
		x 4 2				9		dx;									x 3 2					4			dx;								x 1 2					9		dx;						x 3 2								4
	Пример 3.									Найдём интеграл																		3x			5			dx .				Заменим							x 4						t ,				тогда				x		t 4 ,
	Пример 3.									Найдём интеграл																			x		4		3	dx .				Заменим							x 4						t ,				тогда				x		t 4 ,
																																	3

3x	5		3 t			4				5			3t			17 и dx d t													4				t			4		dt			1dt dt . Поэтому
		3x			5		dx					3t			17				dt				3t	dt						17		dt				3 t		2dt				17		t		3dt			3	t 1						17		t 2		C .
				4 3			dx												dt					dt								dt				3 t		2dt				17		t		3dt			3							17				C .
		x		4 3										t3									t3							t3																						1							2

Упростим и вернёмся к старой переменной:

				3	t 1	17		t	2		C		17		3	C		8,5					3				C .

					1				2				2t 2		t				x 4 2				x 4
					1				2				2t 2		t				x 4 2				x 4
Можно свести к общему знаменателю и найти, что																						3x	5		dx		C		3x			3,5		.
Можно свести к общему знаменателю и найти, что																								3	dx		C							.
																						x	4	3					x			4	2
																						x	4						x			4
Пример			4.	Найдём						3x2		2x		5	dx . Заменим							x	4		t ,		тогда				x		t 4 и
Пример			4.	Найдём							x 4	2		16	dx . Заменим							x	4		t ,		тогда				x		t 4 и
											x 4	2		16
dx d t		4	dt . Также 3x2								2x	5		3 t		4 2		2 t 4			5		3t2			26t		61.
Подставим:
	3x2		2x 5				3t 2				26t 61							t 2						t							dt				.
					dx									dt	3					dt	26						dt	61
		4 2			dx				t 2					dt	3		t 2			dt	26		t 2				dt	61			2
	x	4 2		16					t 2		16						t 2	16					t 2		16					t	2	16

По отдельности находим

а)		t 2 dt					t 2		16				16			dt				1					16		dt		dt	16				dt		t	16		arctg		t	;
а)	t	2	16					t 2	16							dt				1			t 2		16		dt		dt	16			t 2	16		t	4		arctg		4	;
	t	2	16					t 2	16														t 2		16								t 2	16			4				4
б)			tdt		1			d t2								1							;
			tdt		1			d t2								1	ln	t2		16
	t	2	16		2			t2	16							2	ln	t2		16
	t		16		2			t2	16							2
в)			dt		1	arctg					t		(табличный интеграл);
в)		2				arctg							(табличный интеграл);
	t	2	16		4				4
тогда
				t						1												1		arctg		t					13	arctg			t			t 2				C ,
3 t	4 arctg			t			26			1		ln		t 2		16				61		1				t		C	3t		13				t	13ln				16
3 t	4 arctg						26					ln		t 2		16				61								C	3t							13ln				16
			4						2												4				4					4				4
			4						2												4				4					4				4
где t	x		4 . Итак,						3x2						2x 5				dx		3x				12			3,25arctg			x		1	13ln x2				8x		32		C .
где t	x		4 . Итак,																dx		3x				12			3,25arctg					1	13ln x2				8x		32		C .
										x			4 2			16														4

В следующих примерах путём замены избавляются от корня.

ЗМ3. Найдите интеграл при помощи замены

t , выразив x

t 2

b ,

заменив dx

2tdt и перейдя к интегралу от переменной t:

xdx

;

xdx

;

xdx

;

xdx

;

xdx

;

xdx

;

xdx

2x 6

5 2x

5 3x

0,2x

Пример 5.

xdx

? Заменяем:

t2 ,

d t2

tdt

t, 4x

5 ,

2tdt

Подставим в интеграл:

xdx

0,25 t 2

0,5tdt

0,125

t 2

5 dt

0,125

C .

tdt

Здесь 1/4 представили как 0,25 и

– как 0,5tdt . Учтём, что t

5 :

xdx

C .

0,125

Можно вынести корень за скобку, упростить и получить, что

xdx

0,125

C .

5 4x

Замечание. Интеграл можно найти и без замен, представив числитель так:

4x 5 5

4x 5

затем сократив

5 и применив основное правило табличного ин-

тегрирования. В более сложных интегралах такой способ не поможет.

ЗМ4. При помощи замены

t найдите

;

x x 6

x 4x 6

x 2x 5

x 3 x

x 5 4x

x 1 3x

Пример 6. Чтобы найти

, заменяем:

x 2

6x t 2 ,

t 2 ,

2 t2

d 2

t 2

tdt .

2 6x t, 2

2t dt

Подставив

1/ 3 tdt

1/ 3

1/ 6 2 t2 t

1/ 6 2 t2

2 t2

x 2 6x

находим табличный интеграл и возвращаемся к переменной x:

2 6x

C .

2 2

2 6x

Ответ:

C .

ЗМ5. При помощи замены

найдите

ax b

2x 3

dx;

6x 2

dx;

2x 3

dx;

3 4x

dx;

3 5x

dx .

Пример 7. Возьмём

dx . Заменив

t 2 ,

t 2

t 2 6 ,

d t2

2tdt 0,4tdt ,

5x 6 t,

6, x

t 2

подставим в интеграл:

0,4td

dt .

0,2 t 2

t 2

Разложим дробь на целую часть и правильную дробь:

								t2						t2			6 6 t2				6	6					1	6		,
							t2		6						t2		6			t2	6		t2		6		1	t2 6		,
	t 2
тогда 2	t 2	dt		2 1							6					dt		2 dt			2	6			dt		2t	12		1	ln		t	6	C .
	t 2 6									t 2	6											t 2 6

																													2 6			t		6
		1		6
Учтём, что 12		1		6									6 . Поскольку t											5x		6 , запишем

		2	6	6
		2	6	6

Ответ:		5x			6																5x	6			6		C .
		5x			6	dx			2			5x					6		6 ln		5x	6			6
		x
																					5x	6			6
																					5x	6			6

Пример 8. Поменяем в примере 7 знак в подкоренном выражении и найдём

5x 6 dx . Вначале отличия тоже только в знаке: x

t 2 ,

t 2

6 , x

t 2

6 ,

d t 2

2tdt 0,4tdt ,

5x 6

t 2

поэтому

0,4td

dt .

0,2 t 2

t 2

При разложении дроби получим

6 6 t2

6 t2

и отличие от примера 7 окажется в поиске табличного интеграла:

t 2

arctg

C .

t 2

Ответ:

C .

dx 2

2 6 arctg

ЗМ6. Найдите интегралы

;

3 2 x

;

x 2 1 1

x 3

x 4 3

4 x 3

2 x 3 1

;

2x 1

2x 3

4 2x 1

6x 3

3 2x

;

2 2x 1 1

3 2x 3 1

5 4 2x 1

4 6x 3 2

6 2 3 2x

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20222.03 Mб65591.pdf
#
13.11.20222.04 Mб25592.pdf
#
13.11.20222.04 Mб15593.pdf
#
13.11.20222.04 Mб105594.pdf
#
13.11.20222.04 Mб105595.pdf
#
13.11.20222.05 Mб25596.pdf
#
13.11.20222.07 Mб45597.pdf
#
13.11.20222.09 Mб45598.pdf
#
13.11.20222.1 Mб95599.pdf
#
13.11.202222.53 Кб356.doc
#
13.11.20222.1 Mб45600.pdf